Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di Pianificazione Finanziaria Evoluzione della teoria del rischio finanziario da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM 1 Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz ha mostrato l esistenza della Frontiera Efficiente Ma quale portafoglio sulla Frontiera è preferibile? Dipende dall avversione/propensione al rischio dell investitore (la scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza) E (R) X Y Portafogli oggettivamente dominanti σ 2 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 3 1

Investimento al tasso privo di rischio Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi Tobin ipotizza ora l esistenza di titoli caratterizzati da rischio nullo (σ = 0) che garantiscono quindi un rendimento sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate (Rf). E ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di rischio (B) σ² p = a² σ² A +b² σ² B +2 a b σ A σ B ρ AB σ² p = a² σ² A a= σ p / σ A E(R p ) = σ p / σ A E(R A ) + (1- σ p / σ A ) Rf E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p/ σ A La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita da portafogli con minor rischio a parità di rendimento 4 Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una spezzata E (R p ) Rf x x A A m y σ p E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p σa 5 Indebitamento al tasso privo di rischio Abbiamo ipotizzato la possibilità di investire al tasso privo di rischio Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di rischio Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso Risk Free, e investire al rendimento offerto dal portafoglio di mercato (= effetto di leva finanziaria maggior rendimento e maggior rischio) Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente che diventa una semiretta 6 2

La nuova frontiera efficiente: una semiretta E (R) y Rf x m P x p y σ 7 La Capital Market Line E (R) R(m) Rf CML m σ(m) R(m) - Rf R(p) = Rf + σ(m) σ(p) σ p Pendenza CML Rf = Risk Free Rate R(m)= rendimento atteso del portafoglio di mercato σ(m)= sqm del portafoglio di mercato 8 Il portafoglio di mercato Il portafoglio m, detto Portafoglio di Mercato, è oggettivamente il migliore portafoglio di soli titoli rischiosi e domina qualsiasi altro portafoglio di soli titoli rischiosi. La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è detta Capital Market Line (CML). Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato da una quota del titolo privo di rischio e da una quota del portafoglio di mercato. La scelta del portafoglio rischioso è oggettiva: non dipende dalla propensione al rischio dell investitore. La quota di portafoglio rischioso da detenere è soggettiva: dipende dalla propensione al rischio del singolo investitore. i due momenti decisionali sono separati 9 3

Il prezzo di mercato del rischio La pendenza della CML è il prezzo di mercato del rischio: esprime il premio per ogni unità di rischio misura l aumento di rendimento richiesto da un investitore per assumere una unità di rischio addizionale. il rendimento di un portafoglio efficiente è determinato dall equazione della CML R(p) = Rf + R(m) - Rf σ(m) σ(p) 10 Il teorema della separazione di Tobin L introduzione del tasso privo di rischio e la costruzione della nuova frontiera efficiente (CML) separa: l individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta oggettiva indipendente dalla propensione al rischio la scelta soggettiva di posizionamento lungo la CML, cioè la quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di indifferenza) ogni investitore razionale detiene il portafoglio di mercato per importi diversi quindi la reale composizione del portafoglio di mercato rispecchia la composizione ottimale 11 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 12 4

Il Capital Asset Pricing Model Come misurare il contributo di ogni singolo titolo al rischio complessivo del portafoglio di mercato? solo questa componente di rischio è rilevante per determinare il rendimento del titolo essendo eliminabile con la diversificazione la componente specifica, il mercato finanziario considera nella determinazione del rendimento atteso soltanto la componente non diversificabile 13 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 14 La varianza di un portafoglio di tre titoli : la matrice varianza-covarianza σ² P = a² σ² A +b² σ² B + c² σ² C + 2 a b σ AB +2 a c σ AC +2 b c σ BC A B C A a² σ² A a b σ AB a c σ AC B b a σ BA b² σ² B b c σ AC C c a σ CA c b σ CB c² σ² C a = peso del titolo A nel portafoglio b = peso del titolo B nel portafoglio c = peso del titolo C nel portafoglio 15 5

Ipotizziamo che il portafoglio di mercato sia composto da 8 titoli Matrice Varianza-Covarianza portafoglio di mercato con 8 titoli. A B C D E F G H A B C D E F G H 16 Aggiungendo il titolo I al portafoglio Il contributo del nuovo titolo alla varianza del portafoglio di mercato è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli. A B C D E F G H I A B C D E F G H I La varianza del titolo I incide sul rischio del portafoglio soltanto per 1 / 81 = 1 / N*N se i titoli hanno tutti lo stesso peso 17 Il contributo del singolo titolo al rischio del portafoglio di mercato Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze del titolo con gli altri titoli sul mercato La varianza del titolo ha una componente minima All aumentare del numero di titoli sul mercato il contributo della sola varianza diventa sempre più piccolo: in tal modo viene realizzata la diversificazione 18 6

Il rischio sistematico e il rischio diversificabile Il rischio di un qualsiasi portafoglio può essere distinto in due componenti rischio non sistematico (o diversificabile) rischio sistematico Rischio non sistematico: deriva da fattori legati alla società emittente il titolo. E eliminabile con la diversificazione. Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici, è ineliminabile e corrisponde al rischio del portafoglio di mercato. 19 La riduzione della varianza di un portafoglio con la diversificazione σ Rischio non sistematico Rischio sistematico n 20 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 21 7

Diversificazione e valore La diversificazione consente di ridurre il rischio di un portafoglio Un portafoglio di n titoli ha un rendimento pari alla media ponderata dei singoli rendimenti; per contro, ha un rischio complessivo inferiore alla media ponderata dei rischi dei singoli titoli In sostanza, è meno rischioso a parità di rendimento Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma dei valori dei singoli titoli? LA RISPOSTA E : NO, NON HA UN VALORE MAGGIORE Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore del fondo è dato dalla somma del valore dei titoli presenti nel fondo stesso Il mercato non riconosce nessun premio alla diversificazione. Perché? 22 Perchè non è prezzato il rischio diversificabile Non c è premio, da parte del mercato, per chi fa semplicemente scelte razionali; è invece penalizzato chi non segue la strada della razionalità Il rischio che viene prezzato dal mercato è il contributo fornito dal singolo titolo al rischio ineliminabile del portafoglio di mercato Chi preferisce tenersi anche il rischio diversificabile, non ottiene un rendimento corrispondente a quella componente del rischio Come misurare la componente rilevante del rischio? Il σ 2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché ingloba nella misura del rischio anche la componente eliminabile tramite la diversificazione Ciò che conta è l insieme delle covarianze ponderate del singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti sul mercato E quindi necessaria una nuova misura di rischio 23 L intuizione di Sharpe: la CML e la curva del portafoglio inefficiente E (R p ) E (R m ) M I I Rf σ m σ p 24 8

Dalla CML alla Security Market Line (SML) Si ipotizza un generico portafoglio I formato da una quota i del titolo i-esimo, e da una quota (1-i) del portafoglio di mercato (M) Nel portafoglio M è già compresa la quota efficiente del titolo i- esimo Tutte le combinazioni del portafoglio I con i 0, sono inefficienti, poiché assegnano un peso al titolo i-esimo diverso da quello efficiente. Si collocano, quindi, al di sotto della CML La pendenza della curva I-I è la derivata, rispetto alla standard deviation, del rendimento del generico portafoglio I La pendenza della curva I-I, nel punto M, è pari alla pendenza della CML Uguagliando le due pendenze si ottiene una nuova equazione, che definisce il rendimento atteso del singolo titolo in funzione del contributo fornito al rischio del portafoglio di mercato. 25 β i = La Security Market Line È possibile dimostrare che E[R(i)] = Rf + [ R(m) Rf] σ (i, m) / σ 2 (m) E[R(i)] = Rf + [ R(m) Rf] β i La SML consente di stimare il rendimento atteso di un titolo in funzione del suo contributo al rischio del portafoglio di mercato Il contributo al rischio generale di portafoglio da parte del singolo titolo è misurato dall indice Beta dato dal rapporto della covarianza tra titolo e mercato con la varianza del mercato σ (i, m) σ 2 (m) β m= σ (m, m) = 1 σ 2 (m) Per visualizzare l equazione che definisce il rapporto rischio rendimento per un singolo titolo occorre passare dal piano (R,σ) al piano (R,β) 26 La Security Market Line E (Ri) Alto rendimento R(m) Basso rendimento ( 4,5%) Rf MRP ( 5,7%) Basso rischio ( 10,2%) m β(m) = 1 SML E[R(i)] = Rf + β i [ R(m) Rf] Pendenza SML Market risk Premium (MRP) Alto rischio βi 27 9

L indice Beta La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e quelli del portafoglio di mercato Il β rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato Il β del mercato è per definizione pari ad uno, poichè la covarianza tra il mercato e se stesso è pari alla varianza Il β del mercato è la media ponderata dei β dei diversi titoli presenti sul mercato 28 Il Beta e il Market Risk Premium Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio sistematico del mercato ha un β inferiore ad 1 Un titolo che fornisce un rilevante contributo al rischio sistematico del mercato ha un β superiore ad 1 Il MRP è il premio per il rischio del mercato, poiché indica quante unità di rendimento è possibile attendersi per avere assunto rischio nella misura β = 1 Uno studio di Banca d Italia, ha stimato nel 5,69% il MRP sul mercato finanziario italiano 29 L applicazione della SML la stima del costo del capitale azionario Il rendimento atteso dall azionista è costo opportunità per l impresa per non distruggere valore, l impresa deve remunerare l azionista in misura coerente con il rischio assunto e con il rendimento atteso Rendimento atteso dagli azionisti R(i) = Rf + β i [ R(m) Rf] Costo del capitale azionario 30 10