Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti 2006 McGraw-Hill CAPITOLO 8 Piani fattoriali frazionari a due livelli Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Introduzione e sommario Capitolo di riferimento 8 Motivazioni per l uso di fattoriali frazionari è evidente; dato che il numero di fattori diventa sufficientemente grande per essere interessante, il numero di piani cresce molto velocemente Evidente è la selezione di fattori: identificare efficientemente i fattori con maggiori effetti Ci possono essere alcune variabili (spesso perchè noi non conosciamo molto del sistema) Quasi sempre prova come fattoriale non replicato, ma spesso con punti centrali
Perché usare i piani fattoriali frazionari? Principio della rarità degli effetti Ci possono essere molti fattori, ma solo alcuni sono importanti Il processo è sostanzialmente governato da qualcuno soltanto degli effetti principali, e da qualche interazione di basso ordine Proprietà di proiezione Qualunque piano fattoriale frazionario contiene piani fattoriali completi in meno fattori Sperimentazione Sequenziale Possono combinare le prove di fattoriali frazionari per risolvere difficoltà (o ambiguità) di interpretazione La Frazione un Mezzo del Piano2 k Paragrafo 8-2, pagina 338 Notazione: il piano ha 2 k /2 prove, perché è riferito a 2 k-1 Considerare un semplice caso reale, il 2 3-1 Nota: scegliendo le prime 4 combinazioni I =ABC
La Frazione ½ del Piano 2 k Per la frazione principale, considera quel contrasto per stimare l effetto principale A è esattamente lo stesso come il contrasto usato per stimare l interazione BC. Questo fenomeno è chiamato alias e avviene in tutti piani fattoriali Gli Alias si possono trovare direttamente dalla colonna nella tabella dei segni + e - Effetti sovrapposti nella frazione un mezzo del Piano 2 3 A = BC, B = AC, C = AB (o me = 2fi) Effetti sovrapposti (o alias) si possono trovare dalla relazione definitoria I = ABC dalla moltiplicazione: AI = A(ABC) = A 2 BC = BC BI = B(ABC) = AC CI = C(ABC) = AB Notazione del testo per effetti alias: l A + BC, l B + AC, l C + AB A B C
La Frazione Alternativa del Piano 2 3-1 I = -ABC è la relazione definitoria Implica leggere differenze di alias: A = -BC, B= -AC, e C = -AB Alcuni piani diventano della stessa famiglia, definiti da I = ± ABC Supponiamo che dopo aver provato la frazione principale, venga eseguita anche l altra I due gruppi di prove possono essere combinati per forma a fattoriali pieni un esempio di esperimento sequenziale Risoluzione del Piano Piani di Risoluzione III: nessun effetto principale è sovrapposto ad un altro, ma gli effetti principali sono sovrapposti alle interazioni doppie e le interazioni doppie possono essere sovrapposte l una con l altra Piani di Risoluzione IV: nessun effetto principale è sovrapposto né ad un altro né ad una interazione doppia, ma le interazioni doppie possono essere sovrapposte l una con l altra Piani di Risoluzione V: nessun effetto principale o interazione doppia è sovrapposto ad alcun effetto principale o interazione doppia, ma le interazioni doppie possono essere sovrapposte alle interazioni triple
Costruzione delle Frazioni un mezzo Il piano base; Il piano generatore Proiezione di Frazioni in Fattoriali Qualunque piano fattoriale frazionario contiene piani fattoriali completi in meno fattori L analogia lampeggiamento Una frazione un mezzo sarà proiettato in un fattoriale completo in alcuni k 1 di fattori significativi
Esempio 8.2 A Esempio 8.2 A Interpretazione dei risultati spesso richiede la creazione di alcune assunzioni Rasoio di Ockham La Convalida di esperimenti può essere importante Vedere la proiezione di questo piano in 3 fattori, pagina 344
Possibilità per un secondo stadio di sperimentazione dopo un primo esperimento fattoriale frazionario Frazione un quarto del piano 2 k
Frazione un quarto del piano 2 6-2 Relazione definitoria completa: I = ABCE = BCDF = ADEF Frazione un quarto del piano 2 6-2 Usare le frazioni alternative E =± ABC, F =± BCD Proiezione del piano in alternativa delle sei variabili originali Alcuni subset delle sei variabili originali che non sono una parola della relazione completa definitoria risulteranno in un piano fattoriale completo Considerare ABCD (fattoriale completo) Considerare ABCE (replicato frazionario un mezzo) Considerare ABCF (fattoriale completo)
Frazione un quarto del piano 2 6-2 : Esempio 8.3 A, Pagina 355 Processo di stampaggio ad iniezione con sei fattori Progettare la matrice, pagina 355 Calcolo degli effetti, grafico della probabilità normale degli effetti Due fattori(a,b) e l interazione AB sono importanti Analisi residui indica che ci sono dispersioni degli effetti (vedere pagine 355-359) Il Piano Generale Fattoriale Frazionario 2 k-p Paragrafo 8.4, pagina 359 2 k-1 = frazione un mezzo, 2 k-2 = frazione un quarto, 2 k-3 = frazione un ottavo,, 2 k-p = 1/2 p frazione Aggiungere p colonne al piano base; scelta p generatori indipendenti Importante selezionare generatori tali da massimizzare la risoluzione, vedere Tabella 8-14 pagina 363 Proiezione (pagina 366) un piano di risoluzione R contiene fattoriali completi in alcuni R 1 dei fattori Blocchi nei fattoriali frazionari (pagina 366)
Il piano Generale 2 k-p : Risoluzione non potrebbe essere Sufficiente Piano ad aberrazione minima Piani di Risoluzione III: Paragrafo 8-5, pagina 337 Piani con effetti principali sovrapposti con interazioni a due-fattori Usati per selezionare (5 7 variabili in 8 prove, 9-15 variabili in 16 prove, per esempio) Un piano k = N 1 variabili si dice saturo Vedere Tabella 8.19, pagina 372 per un 7 2 4 III
Piani di Risoluzione III Piani di Risoluzione III Assemblaggio sequenziale di frazioni per separare gli effetti sovrapposti (pagina 375) Cambiare i segni in una colonna fornisce la stima di quel fattore e di tutte le sue interazioni a duefattori Cambiare i segni in tutte le colonne non sovrappone tutti gli effetti principali dalla sua interazione a due-fattori (fold-over completo) Definire relazione per un piano fold-over. Stare attenti queste regole solo per lavorare con piani di Risoluzione III Ci sono altre regole per piani di Risoluzione IV, e altri metodi per aggiungere prove a frazioni per non sovrapporre effetti di interesse
Piani Plackett-Burman Questi sono una diversa classe di piani risoluzione III Il numero di prove, N, bisogna che sia un multiplo di quattro N = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, I piani dove N = 12, 20, 24, etc. sono chiamati piani non geometrici PB Vedere libro, pagina 378 per commenti sulla costruzione di piani Plackett-Burman Piani Plackett-Burman Vedere l analisi di questi dati, pagina 381. Alcuni effetti sono grandi.
Piani Plackett- Burman Proiezione di un piano 12 prove in piano a 3 e 4 fattori Tutti i piani PB hanno proiettività 3 (contrasto con altri piani risoluzione III frazionari) Piani Plackett-Burman La struttura alias è complessa nei piani PB Per esempio, con N = 12 e k = 11, ogni effetto principale è confuso con ogni interazione doppia (2FI) che non lo coinvolge direttamente Ogni 2FI alias principale ha 45 interazioni doppie Parzialmente sovrapposto può avere un interpretazione molto complicata Interazioni possono essere particolarmente distruttive Usare molta, molta cautela (forse mai)