SOLUZIONE PROBLEMA DI AGOSTO 2003 Il problema si colloca nell ambito dell analisi indeterminata. Premettiamo quindi il teorema principale per le equazioni di Diofanto lineari in due incognite e una serie di corollari propedeutici alla soluzione del problema. TEOREMA 1. Un equazione del tipo: con a, b e c interi e primi tra loro ha soluzioni intere sse a e b sono primi tra loro. Se la coppia di interi (x 0, y 0 ) è una soluzione, allora ogni soluzione ha la forma: dove h è un intero arbitrario. (x 0 + bh, y 0 ah) Caso 1): a = 0. se inoltre b =1 allora a e b sono primi tra loro. L equazione si riduce a: y=c che ha come soluzione particolare la coppia (0, c) e come soluzione generale le coppie del tipo ( h, c ) = ( 0 + bh, c ah ) dove h è un intero arbitrario; se inoltre b 1 allora a e b non sono primi tra loro e l equazione si riduce a: by=c che non ha soluzioni intere (altrimenti a, b e c non sarebbero primi tra loro); Caso 2): b = 0. Analogo al caso 1). Caso 3): a > 0 e b 0. Se l equazione ( ) ha una soluzione (x, y ) allora si può scrivere: ax + by =c. Se ora fosse d = M.C.D.(a,b) > 1 allora d dividerebbe anche c, e a,b e c non sarebbero primi tra loro. Viceversa sia d = M.C.D.(a,b) = 1. Consideriamo le divisioni per a: c ib = aq i + r i con 0 r i < a dove i = 0, 1,, (a 1). I resti r i sono tutti diversi; infatti se per h e k con 0 h < k (a 1) risultasse: r h = r k si avrebbe: a (q h q k ) = aq h aq k = c hb r h ( c kb r k ) = kb hb = (k h) b da cui (a e b sono primi tra loro) ne seguirebbe che (k h) è un multiplo positivo di a: ma questo è impossibile perché k h < k < a. Concludendo dovendo essere tutti diversi, uno dei resti varrà 0. Se r j = 0 allora: c jb = aq j aq j + jb = c la coppia di interi (q j, j) è una soluzione dell equazione ( ). Supponiamo ora che la coppia di interi (x 0, y 0 ) sia una soluzione dell equazione ( ). Se la coppia di interi (x, y ) è una generica soluzione, allora:
ax 0 +by 0 =c e ax +by =c a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 a(x x 0 ) = b(y 0 y ) quindi b divide a(x x 0 ) ed essendo primo con a dovrà dividere (x x 0 ): esiste cioè h intero tale che: x x 0 = bh, da cui: x = x 0 + bh e abh + b(y y 0 ) = 0 ah + y y 0 = 0 y = y 0 ah Viceversa per ogni coppia di interi della forma (x 0 + bh, y 0 ah) dove h è un intero arbitrario si ha: a(x 0 + bh) + b(y 0 ah) = ax 0 + abh + by 0 bah = ax 0 + by 0 =c, cioè la coppia: (x 0 + bh, y 0 ah) è una soluzione dell equazione ( ). Caso 4): a < 0, b 0. Si utilizza il caso 3) introducendo l equazione: ax + by=c e tenendo presente che: a,b,c e in particolare a e b sono primi tra loro sse lo sono rispettivamente a,b,c e a e b; la coppia di interi (x, y ) è una soluzione dell equazione: ax + by=c sse la coppia di interi ( x, y ) è una soluzione dell equazione: ax + by=c; e si sfrutta infine il fatto che nella tesi del teorema h è un intero generico. COROLLARIO 1. Se a, b N + (insieme dei numeri naturali diversi da zero) sono tali che M.C.D. (a,b) =1, l equazione nelle incognite x e y: ax by = 1 ( ) ha soluzioni in N + N +. Per il teorema 1 (a, b, 1 sono primi tra loro come lo sono a e b ) l equazione ( ) è risolubile in Z Z, e se (x 0, y 0 ) è una soluzione particolare, tutte le soluzioni sono della forma: (x 0 bh, y 0 ah) con h Z Scegliamo ora h Z t.c.: h < infatti: x0 y0 min,. La soluzione (x 0 bh, y 0 ah ) sta in N + N + ; b a h < b x 0 bh < b b x 0 = x0 0 < x 0 bh h < a y 0 ah < a a y 0 = y0 0 < y 0 ah
COROLLARIO 2. Se a, b e c N + sono tali che M.C.D. (a,b) =1 e c > ab, l equazione nelle incognite x e y: ha soluzioni in N + N +. Per il corollario 1 esiste una coppia (u, v) N + N + tale che: au bv = 1 ma allora: auc bvc = c > ab da cui dividendo per ab: ne segue che esiste un k N + tale che: vc a uc b vc a uc < k < vc < ak e bk < uc ak vc > 0 e uc bk > 0 b > 1 La coppia (uc bk, ak vc) N + N + è una soluzione di ( ), infatti: a(uc bk) + b(ak vc) = auc abk + bak bvc = auc bvc = c. COROLLARIO 3. Se a, b N + e c Z sono tali che M.C.D. (a,b) =1 e c > ab a b, l equazione nelle incognite x e y: ha soluzioni in N N. Se c > ab allora la tesi segue immediatamente dal corollario 2. Sia dunque: ab c > ab a b da cui segue c + a + b > ab ; ma allora per il corollario 2 (osserviamo che c + a + b > ab > 0) l equazione: ax + by = c + a + b
ha soluzioni in N + N + ; sia ora (x, y ) una di queste: la coppia (x 1, y 1) N N è una soluzione dell equazione ( ), infatti: a(x 1) + b(y 1) = ax a + by b = c + a + b a b = c COROLLARIO 4. Se a, b N + sono tali che M.C.D. (a,b) =1, l equazione nelle incognite x e y: ax + by = ab non ha soluzioni in N + N +. Se per assurdo esistesse una coppia (x, y ) N + N + tale che: ax + by = ab ne seguirebbe: by < ax + by = ab y < a 0 < a y e inoltre: ax = b (a y ) da cui (essendo a e b primi tra loro) si avrebbe (a y ) multiplo positivo di a, ma questo è impossibile perché a y < a. COROLLARIO 5. Se a, b N + sono tali che M.C.D. (a,b) =1, l equazione nelle incognite x e y: ax + by = ab a b non ha soluzioni in N N. Se per assurdo esistesse una coppia (x, y ) N N tale che: ax + by = ab a b allora la coppia (x +1, y +1) N + N + sarebbe una soluzione dell equazione: ax + by = ab
infatti: a (x +1) + b(y +1) = ax +a + by + b = ab a b + a + b = ab, ma questo è assurdo in virtù del corollario precedente. Siamo ora in grado di rispondere al quesito del mese di Agosto 2003 PROPOSIZIONE Si consideri la relazione: ax + by = c. Si supponga che a e b siano due numeri naturali primi fra di loro e che x ed y siano interi non negativi. Il più grande intero c che non può essere espresso nella forma suddetta è: ab a b Indichiamo con S l insieme { c Z : l equazione ax + by = c non ha soluzioni in N N }. 1 Caso: a e b N +. Dobbiamo mostrare che: Per il corollario 5 si ha : ab a b = max S ab a b S Inoltre se c S, non può essere c > ab a b, altrimenti per il corollario 3 l equazione: ax + by = c avrebbe soluzioni in N N. 2 Caso: a=0 e b=1 (oppure b=0 e a=1) (essendo a e b primi tra loro, se uno è nullo l altro deve valere 1). La relazione si riduce a: y = c; ne segue che c può essere espresso nella forma suddetta sse c N (y è un intero non negativo). Quindi S è l insieme dei numeri interi negativi e il suo massimo è 1.