PROVE SCRITTE DI MTEMTIC PPLICT, NNO 5/6 Esercizio 1 Prova scritta del 14/1/5 Sia X ua successioe I.I.D. di variabili aleatorie co distribuzioe uiforme cotiua, X U(, M), ove M = umero lettere del cogome. Si deoti poi per ogi > co Y la v.a. defiita da Y = 1 max{x 1,..., X }. Per ciascu itero si calcolio E(Y ), E(Y ), V (Y ), e si trovi la desita di Y ; si studi ifie se, a cosa, e i che modo la successioe (Y ) coverge. Esercizio 1 palle umerate vegoo iserite a caso i 3 scatole, seza alcua limitazioe. Per k = 1,, 3, si deoti co X k la variabile aleatoria che deota il umero di palle capitate ella scatola k-esima. Cosiderato che le v.a. X k hao tutte la stessa distribuzioe (di tipo biomiale), si valutio le quatita : E(X 1 ), E(X 1 X = j ), E(X 1 X X = j ). Si deduca ifie la covariaza cov(x 1, X ). Esercizio 3 La seguete tabella riporta i risultati di u idagie codotta su u campioe di 6 itervistati tra i 3 e i 35 ai di ua certa regioe rispetto ai caratteri titolo di studio e stato occupazioale : Occupati Disoccupati Laureati 6 15 No laureati 135 5 a) Da u idagie precedete e oto che, tra tutti coloro che lavorao, la percetuale dei laureati e pari al 38%. Verificare tale ipotesi (H ) cotro l alterativa (H 1 ) che la percetuale sia iferiore al 38%, co u test di livello di sigificativita del 5%. b) Verificare l ipotesi di idipedeza tra il titolo di studio e lo stato occupazioale, co a =.1. (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: 1
Φ(1.645).95 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 14/1/5 Esercizio 1 F : Iazitutto, troviamo la fuzioe di ripartizioe di Y, che deotiamo co F (x) = [P ( X 1 x )] = ( x M ), aturalmete per < x < M. Ne deriva che la desita di Y é la fuzioe φ defiita da per < x < M, e ulla altrove. Ne deriva E(Y ) = M M x dx = M V (Y ) = M Di cosegueza, si ha E(Y ) = φ (x) = M x 1, M + 1, E((Y ) ) = M x+1 dx = M + M ( + 1) = M ( + 1) ( + ). M + 1, V (Y ) = M ( + 1) ( + ). Per ote regole, deotado co f la desita di Y, avremo poi +, per x [, M/], e altrove. f (x) = φ (x) = +1 M x 1, Per quato riguarda la covergeza, si sa gia per motivi teorici che (Y ) coverge q.c. e i L a M, per cui (Y ) coverge q.c. e i L a. Esercizio Evidetemete, ciascua variabile X k ha distribuzioe B(1, 1 ). 3 Di cosegueza, E(X 1 ) = 1. 3 Supposto che si abbia X = j, per le altre due scatole restao 1 j palle dispoibili, quidi la distribuzioe codizioata per X 1 é di tipo B(1 j, 1 ). Duque E(X 1 X = j ) = 1 j, e E(X 1 X X = j ) = j 1 j.
Ora, si puo calcolare E(X 1 X ), come segue: E(X 1 X ) = 1 j= E(X 1 X X = j )P ( X = j ) = 1 j= j 1 j ( ) 1 ( 1 j 3 )j ( 1 3 )1 j = = 5E(X ) 1 E(X ) = 5 3 1 (V (X ) + E (X )) = 5 3 1 ( 9 + 1 9 = 1. Ifie, cov(x 1, X ) = E(X 1 X ) E(X 1 )E(X ) = 1 1 9 ) = 1 9. Esercizio 3 a) Viee richiesto u test uidirezioale dove l ipotesi ulla e H : p = p =.38, cotro l ipotesi alterativa H 1 : p < p. Essedo grade si puo sfruttare l approssimazioe ormale. Si rifiuta pertato l ipotesi ulla se p (1 p ) p < p z a dove = 195 e, dalla tabella, risulta z a 1.645, duque la zoa di rifiuto e R = {ˆp : ˆp <.3}. Poiche, dai dati del campioe, risulta ˆp.38, l ipotesi ulla va rifiutata e si propede per ua dimiuzioe della percetuale. b) Completado la tabella co le margiali si ottiee Occupati Disoccupati Totale Laureati 6 15 75 No laureati 135 5 185 Totale 195 65 6 Viee richiesto u test per l idipedeza, duque la statistica test e X = r s ( i,j i,,j /) j=1 i,,j / che puo essere approssimata co ua χ co (r 1)(s 1) = 1 gradi di liberta. Pertato la zoa di rifiuto del test e R = {X : X > χ a} dove, essedo a =.1, e χ a = χ.1 = 6.63. Sulla base dei dati risulta X = (6 75 195/6) + 75 195/6 (15 75 65/6) + 75 65/6 duque si accetta l ipotesi ulla di idipedeza. (135 185 195/6) (5 185 65/6) + 185 195/6 185 65/6 1.45, Prova scritta del 11/1 /6 3
Esercizio 1 Si deoti co B il umero di lettere del cogome. Siao X e Y due variabili aleatorie idipedeti, co distribuzioe cotiua, di tipo U(, 1). Posto U = log X, e Z = Y + U, si determii la desita di Z, e si calcoli la probabilita che risulti Z < B. Esercizio Sia il umero delle lettere del ome. U recipiete cotiee iizialmete palle biache e 4 ere. Si effettua ua prima estrazioe casuale, e si poe X 1 = 1, se esce palla biaca, altrimeti X 1 =. Successivamete, si aggiugoo el recipiete altre 4 palle ere, e si procede ad ua secoda estrazioe casuale: si porra X = 1 se ella secoda estrazioe esce palla biaca, e altrimeti. Si prosegue i questo modo, raddoppiado ogi volta il umero di palle ere ell ura, e lasciadovi sempre palle biache, e segado X = 1 se all estrazioe -esima esce palla biaca, altrimeti. Posto per ogi : si calcoli S = X i, a) se e a cosa coverge q.c. la successioe (X ) ; b) se e a cosa coverge q.c. la successioe delle medie (X ) = ( S ) ; c) se e a cosa coverge la successioe umerica E(S ). Esercizio 3 Si cosideri la fuzioe f(x; λ, θ) = { λe k(x θ), x θ, x < θ co k IR, λ >. Dopo aver determiato k tale che f(x; λ, θ) sia la fuzioe di desita di ua variabile aleatoria X, si chiede di (a) determiare h IR tale che Y = X + h, co Y exp(λ); (b) forire uo stimatore di λ co il metodo della massima verosimigliaza sulla base di u campioe casuale X 1,..., X ; (c) forire uo stimatore di θ co il metodo della massima verosimigliaza sulla base di u campioe casuale X 1,..., X. Soluzioi compito 11/1 /6 4
Esercizio 1 E oto che la variabile U ha distribuzioe Γ(1, 1), co desita { e u, u > f U (u) =, u <. Poiché X e Y soo idipedeti, lo soo ache U e Y, e quidi, per determiare la desita di Z, basta usare la formula di covoluzioe: f Z (z) = + f U (z y)f Y (y)dy = 1 f U (z y)dy, i quato la desita di Y o é altro che la fuzioe idicatrice dell itervallo [, 1]. Ioltre, poiché f U é o ulla solo quado l argometo é positivo, dobbiamo vicolare l itegrale alla codizioe y < z (e duque z >, com é aturale). L itegrale da risolvere é quidi 1 z e y z dy = e z (e 1 z 1), dove sta per miimo. Duque, z < f Z (z) = 1 e z, < z < 1 e z (e 1), z > 1. La probabilita che risulti Z < B o é altro che l itegrale Esercizio B f Z (z)dz = 1 (1 e z )dz + B 1 (e 1)e z dz = eb e + 1 e B. Chiaramete, ciascua variabile X ha distribuzioe B(1, p ), ove p 1 = 4 +, p = 8 + = 4 +, p 3 = Di cosegueza, risulta E(X ) = +1 +, V (X ) = per ogi. Da cio segue subito che : 4 +,..., p = +1 + (1 +1 + ), E(S ) = +1 +,... j=1 + j+1 1) la serie delle variaze di X é covergete; di cosegueza, dato ache che lim E(X ) =, e segue che la successioe (X ) coverge quasi certamete a. Pertato, ache la successioe delle medie (X ) coverge q.c. a. ) + =1 E(X ) coverge; di cosegueza, la successioe (E(S )) coverge alla somma di tale serie. 5
Esercizio 3 Osserviamo iazitutto che si deve avere quidi k = λ. + θ λe k(x θ) dx = λ k = 1, (a) E immediato verificare che F Y (y) = F X (y + h), per cui la desita di Y é f Y (y) = { λe λ(y+h θ), y θ h, y < θ h e duque Y ha ua distribuzioe espoeziale co parametro λ se h = θ. (b) I virtu dell idipedeza la fuzioe di verosimigliaza é e duque L(x 1,..., x ; λ, θ) = λ e λ(x i θ), log L(x 1,..., x ; λ, θ) = log λ λ Dallo studio della derivata prima si ha mi x i θ 1 i, mi 1 i x i < θ (x i θ). λ log L(x 1,..., x ; λ, θ) = λ (x i θ) = se ˆλ = Essedo λ log L(x 1,..., x ; λ, θ) = λ <, lo stimatore di massima verosimigliaza di λ é ˆλ = x i θ. x i θ. (c) Voledo massimizzare rispetto a θ, si osserva immediatamete che la fuzioe di verosimigliaza é crescete al crescere di θ, fitato che θ mi x i, metre 1 i si aulla o appea θ > mi x i. Cio implica che lo stimatore di massima 1 i verosimigliaza é ˆθ = mi x i. 1 i Prova scritta del 4/3 /6 6
Esercizio 1 Ua gallia depoe ogi gioro N uova, dove N ha distribuzioe di Poisso co parametro λ. Ciascu uovo ha, idipedetemete da ogi altro, probabilita p di schiudersi dado vita ad u pulcio. Detto X il umero di pulcii ati, si determii E(X). Si dica ioltre se X ha distribuzioe di Poisso, e co quale parametro. Esercizio Siao X e Y due v.a. idipedeti, etrambe di tipo N(, 1). Si determii la distribuzioe della v.a. Z = X + Y, e se e valutio valor medio e variaza. Si trovi ifie la mediaa di Z, ossia quel valore reale x m tale che P (Z < x m ) = P (Z > x m ). Esercizio 3 Su ati i u ospedale i u ao, 9 bambii hao i capelli chiari, di cui co gli occhi scuri; tra i bimbi co i capelli scuri, hao gli occhi chiari. a) Nell ambito dei bambii co gli occhi scuri, costruire u itervallo di cofideza al 95% per la proporzioe di quelli che hao i capelli scuri. b) Sia p la probabilità di ascere co i capelli chiari e ˆp la sua stima campioaria. ssumedo che la variaza campioaria sia.4/, quato deve essere grade il campioe affiché l errore ˆp p sia iferiore a.1 co probabilità.98? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.645).95 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 4/3/6 Esercizio 1 Utilizzado il teorema del valor medio iterato, si ha E(X) = + j= E(X N = j)p (N = j) = + j= pj λj e λ j! = pe(n) = pλ. Per determiare la distribuzioe di X, si puo procedere i maiera aaloga: si ha, per ogi itero k : P (X = k) = + j=k P (X = k N = j)p (N = j) = 7 + j=k ( j )p k j k λj (1 p) k j! e λ =
+ = h= (pλ) k k! λ h (1 p) h h! e λ = (pλ)k k! Cio dimostra che i effetti si ha X P (λp). e λ e λ(1 p) = (pλ)k k! e (λp). Esercizio Com é oto, la v.a. U = X + Y ha distribuzioe χ, quidi ha desita f U (u) = 1 e u, aturalmete per u >. Per determiare la distribuzioe di Z = U, cerchiamo la sua fuzioe di ripartizioe: F Z (z) = P (U z ) = F U (z ) (sempre co z > ). Duque, la desita di Z é f Z (z) = zf U (z ) = z e z, z >. Per valutare E(Z), basta itegrare: E(Z) = + z e z dz = + v 1 e v dv = Γ( 3 ) = π. Chiaramete poi si ha E(Z ) = E(U) =, da cui V (Z) = E(Z ) E (Z) = π. Ifie, la mediaa x m di Z si trova mediate la relazioe: 1 xm = u e u / du = 1 e x m /. Risolvedo, si ha facilmete il risultato: x m = log. Esercizio 3 a) Se X è la variabile aleatoria dei bimbi co i capelli scuri, all itero della popolazioe co gli occhi scuri, X ha ua distribuzioe biomiale co probabilità di successo p. Sfruttado l approssimazioe ormale, l itervallo di cofideza ha ˆp(1 ˆp) estremi ˆp±z a, dove ˆp = 8/11 =.8, = 11 e, dalla tabella, z a 1.96. Pertato l itervallo di cofideza cercato è [ ].8..8..8 1.96,.8 + 1.96 [.75,.875]. 11 11 8
Occhi Chiari Occhi Scuri Totale Capelli Chiari 7 9 Capelli Scuri 88 18 Totale 9 11 b) Voledo per semplicità rappresetare i dati co ua tabella dove sulle righe abbiamo il carattere colore dei capelli, metre sulle coloe troviamo il carattere colore degli occhi, risulta Vogliamo determiare tale che P ( ˆp p <.1) =.98, ovvero P ˆp p.4 ˆp p.98. Essedo.4 N(, 1), dalla tabella si ottiee.1.4 = 17.156, e duque il campioe deve essere almeo di 18 bambii. <.1.4 = =.33, da cui Esercizio 1 Prova scritta del 8/9/6 Soo date tre variabili aleatorie IID, X, Y, Z, tutte co distribuzioe cotiua uiforme i [, 1]. Si calcoli la probabilita dell eveto X Y Z. Esercizio U recipiete cotiee iizialmete due pallie umerate, la.1 e la.. Si estrae ua palla a caso, e si deota co X 1 il umero della palla estratta. Idi, la palla estratta si rimette ell ura, isieme co ua terza palla, segata co il.3. lla secoda estrazioe, si deota co X il umero della palla estratta, e poi si procede allo stesso modo, cosi al mometo della terza estrazioe ell ura soo preseti 4 palle, co i umeri da 1 a 4. Si va avati cosi idefiitamete, idicado ogi volta co X il umero della palla estratta alla -esima estrazioe, umero che varia tra 1 e + 1. Posto poi Y = X +1 per ogi, si studi la covergeza delle variabili Y, per. Esercizio 3 I segueti dati campioari si riferiscoo alla durata (i migliaia di ore) di due tipi di lampadie, e B, prodotti da ua ditta. 31 33 34 4 36 37 B 34 31 8 9 33 7 9
ssumedo che le due popolazioi abbiao distribuzioe ormale co variaze σ = 1, σb = 9.5, rispettivamete, si chiede di: a) costruire u itervallo di cofideza al 99% per la durata media delle lampadie ella popolazioe ; b) sottoporre a verifica l ipotesi (H ) che i due prodotti abbiao la stessa durata media, cotro l alterativa (H 1 ) che sia u prodotto migliore di B, al livello di sigificatività a =.5. (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.645).95 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 8/9/6 Esercizio 1 Per ogi valore possibile z [, 1] si ha P ( X Y z) = 1 (1 z), come varie volte osservato. Cosiderata l idipedeza, e la distribuzioe supposta per Z, la probabilita cercata é data da: Esercizio P ( X Y Z) = 1 (1 (1 z) )dz = 1 1 3 = 3. Chiaramete, si ha X U( + 1) per ogi (distribuzioe discreta uiforme). Di cosegueza, si ha Y [, 1], sempre co distribuzioe discreta. Per ogi reale positivo t 1, avremo P ([Y t]) = P ([X ( + 1)t]) = [( + 1)t] + 1, ove la scrittura [x] sta ad idicare, per x reale, la parte itera di x, ossia il piu grade umero itero che sia miore o uguale a x. Duque, la quatita [( + 1)t] differisce da ( + 1)t al piu per 1. Ne segue che lim P ([Y t]) = t e quidi le fuzioi di ripartizioe delle Y covergoo a quella della distribuzioe cotiua U(, 1). Duque, le Y covergoo i distribuzioe alla uiforme cotiua U(, 1). 1
Esercizio 3 a) Se X è la variabile aleatoria che rappreseta la durata di, si trova che la media campioaria è pari a: X = 6 x,i 6 35.167. Sotto l ipotesi ormale si ha X X σ N(, 1), da cui l itervallo di cofideza ha estremi X ± z a cofideza cercato è [ σ, dove, dalla tabella, z a 1 1 35.167.58, 35.167 +.58 6 6.58. Pertato l itervallo di ] [31.837, 38.497]. b) Si tratta di u test uidirezioale dove l ipotesi ulla è H : µ µ B =, cotro l ipotesi alterativa H 1 : µ µ B >, idicado co µ e µ B le medie delle due popolazioi. Poiché le due popolazioi hao distribuzioe ormale, si rifiuta l ipotesi ulla se z > z a dove z = X X 6 B. Essedo X 35.167 e X B = x B,i σ 6 + σ B 3.333, risulta z.68, metre i base alla tabella z a 1.645; l ipotesi ulla pertato va rifiutata e si è portati a cocludere che è effettivamete u prodotto migliore di B. 11