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Esempi di atto di moto rotatorio Consideriamo un disco che ruota attorno al centro fisso. Sia R il raggio del disco e P il punto generico della periferia. j v P v = wl(p-) = f kl(p-) P i R f P In modulo: v = Rf P Tutti i punti della periferia del disco hanno il modulo della velocità uguale. Se consideriamo un punto interno generico Q, si ha: v = f kl(q-) posto (Q-)=r Q abbiamo v = rf, cioè la velocità del punto Q dipende linearmente dalla distanza dal centro. v Q r Q Quindi il profilo di velocità si può scrivere graficamente come segue: v v P P v Quanto abbiamo detto non vale solo per il disco, ma per qualsiasi corpo rigido piano con centro fisso (fig.1). Se abbiamo le velocità v e v di due punti e e v non è parallelo a v, possiamo trovare il centro di istantanea rotazione C, mandando da a le due perpendicolari a v e v (fig.2).(risultato dovuto a Chasles). v P f P C v fig.1 v fig.2 8

Esempi di atto di moto rotatorio v j C w R f v v D i Disco con asse fisso in. Raggio R. Velocità angolare w = f k v = wl(-) = f klri=f Rj v = wl(-) = f klrj= -f Ri v C D Tutti i punti a distanza R dal centro hanno in modulo la stessa velocità. Il vettore velocità, essendo ortogonale al raggio, è tangente alla periferia del disco. Se si prendono altri punti interni, la loro velocità in modulo è proporzionale alla distanza dal centro del disco. Cioè il modulo della velocità cresce proporzionalmente alla distanza del punto dal centro, come illustrato in figura. v P Disco che rotola senza strisciare v E v E G C v G D v D É un disco che ha il punto di contatto con la guida di velocità nulla, per cui ruota attorno a tale punto. Il profilo di velocità è illust ato in figura. Si intende che la guida è fissa. 9

Vincoli I vincoli sono dispositivi che eliminano i gradi di libertà (gdl) del sistema, collegando tra di loro parti del sistema stesso, oppure il sistema a un riferimento fisso o ad altri corpi. Elenchiamo i vincoli che ci saranno utili: INCSTR: CERNIERE: Si tratta di un vincolo triplo, che sopprime tutti e tre i gdl di un corpo rigido. Esempio: una mensola incastrata nel muro. Dal punto di vista della statica o della dinamica tale vincolo genera un sistema di reazioni vincolari, costituito da un momento e da una forza scomponibile in due direzioni. Sopprime due gradi di libertà del corpo. Permette la rotazione del corpo attorno all asse passante per la cerniera. Si può avere una cerniera che unisce due corpi rigidi. CRRELL: x q Si tratta di un vincolo semplice, in quanto sopprime solo la componente di spostamento in direzione ortogonale al vincolo. L unica reazione vincolare sviluppata è una forza di direzione perpendicolare allo scorrimento permesso. PTTIN: x q fisso Si tratta di un vincolo doppio, perchè sopprime due gdl. Impedisce la rotazione del corpo e lo spostamento in direzione perpendicolare alla direzione di scorrimento permessa. Il sistema delle reazioni vincolari è quindi costituito da un momento e da una forza in direzione perpendicolare alla direzione dello scorrimento permesso dal vincolo. 10

Vincolo di puro rotolamento Si prendono in considerazione due corpi rigidi in contatto tra loro. Se si impone che la velocità di strisciamento è nulla, cioè che i punti di contatto sono in quiete relativa, si ottiene il vincolo di puro rotolamento. Si è già visto l esempio di un disco che rotola senza strisciare su di una guida fissa. Illustriamo in figura l esempio di un disco, che rotola senza strisciare su di un asta che ruota. Cenni sul caso tridimensionale In 3 dimensioni le formule di Poisson sono: di dt dj dt = j dk = wl i wl dt = wl k w velocità angolare, è meno intuitiva, comunque, noti i(t), j(t), k(t), si può trovare l espressione. Infatti: di j = wl i j = i L j w = k w = w Z dt dj dt k= wl j k = w i j L k = w = w x dk dt kl i = w= w y i = wl k i = w j E quindi: w = w x i +w y j +w z k Esempio grafico: consideriamo un cono fisso di sezione circolare e un secondo cono che rotola senza strisciare sul primo. w è diretto secondo la direttrice comune. w 11

Riassunto In generale l atto di moto di un corpo rigido è rototraslatorio, dato dalla formula: v v = + wl(-) Se v =0 Se w=0 abbiamo un atto di moto puramente rotatorio. abbiamo un atto di moto puramente traslatorio. 12