Problema n. 1: Un velocista corre i 100 m piani in 10 s. Si approssimi il suo moto ipotizzando che egli abbia un accelerazione costante nei primi 16 m e poi un velocità costante nei rimanenti 84 m. Si determini: (a) il tempo impiegato per percorrere i primi 16 m; [.8 s ] (b) il tempo impiegato per percorrere i rimanenti 84 m; [ 7. s ] (c) il modulo dell accelerazione nei primi 16 m; [ 4. m/s ] (d) la sua velocità finale. [ 11.6 m/s ] Per x da 0 a l 1 = 16 m accelerazione a 1 = costante Per x > l 1 fino a x = 100m accelerazione a = 0 Leggi orarie 0<x<l 1 accelerazione costante x(t)=x 0 +v 0 (t t 0 ) + ½ a 1 (t t 0 ) con x 0 =0, v 0 =0 e t 0 =0 x(t) = ½ a 1 t t 1 tempo per cui x=l 1 l 1 =½ a 1 t 1 otteniamo già l espressione di a a 1 = l 1 <x<l velocità costante sappiamo che a =0 Legge oraria: x(t)=x 0 +v 0 (t t 0 ) però ora v 0 è la velocità raggiunta al tempo t 1 e il tempo di inizio del moto, chiamato t 0 nella formula, è t 1 Quindi avremo: x(t)=l 1 +v 1 (t t 1 ) v 1 è la velocità raggiunta alla fine del moto uniformemente accelerato v 1 =a 1 t 1 quindi x(t)=l 1 +a 1 t 1 (t t 1 ) ma prima abbiamo calcolato anche il valore di a 1, x(t)=l 1 + t 1(t t 1 ) = l 1 + (t t 1 ) A t =10s raggiunge l = 100m Quindi l = l 1 + (t t 1 )=l 1 + t l 1 = t l 1
Possiamo ricavare t1 (domanda a): t 1 = t =.76s.8 s Tempo di percorrenza tra l 1 e l (domanda b): Δt = t t 1 = 10 t 1 = 7. s Accelerazione a 1 (domanda c): a 1 = = = = 4.3 m/s 4. m/s Velocità finale (domanda d): v FIN = v 1 (dopo l acc è nulla) = a 1 t 1 = 11.6 m/s
Problema n. : L'automobile A viaggiando con velocità costante di 18 km/h su una strada rettilinea sorpassa l'automobile B, che è ferma ad un segnale di stop. Nell'istante in cui A e B sono affiancate, B accelera con un'intensità costante di 4.6 m/s. Determinare: (a) il tempo necessario a B per raggiungere A; [. s ] (b) la distanza percorsa da B in tale intervallo di tempo; [ 10.9 m ] (c) il modulo della velocità di B quando sorpassa A. [ 10.0 m/s ] Per prima cosa passiamo al sistema internazionale. V a = 18 Km/h = = 5 m/s Risposta alla domanda a) Tempo t 1 per cui x a =x b considerando t 0 il momento in cui sono affiancate allo stop Legge oraria di a: va = costante x a = x 0a + v a t = 0 + v a t Legge oraria di b: x b = x 0b + v b t + ½ a b t = 0 + 0 + ½ a b t partiva da ferma, v b =0 Poniamo x a =x b a t=t 1 v a t 1 = ½ a b t 1 v a t 1 ½ a b t 1 =0 t 1 (v a ½ a b t 1 ) = 0 t 1 = 0 oppure t 1 = v a / a b =.17 s.s Risposta b) Distanza percorsa da b x b = ½ a b t 1 = ½ a b = 10.9 m Risposta c) Velocità di b al punto di sorpasso V = a b t 1 =a b = 10,0 m/s
Problema n. 3: Un uomo lascia cadere dalla sommità di una torre un sasso di massa m = 0.5 kg. Dopo 5.36 s l'uomo ode il tonfo dovuto all'impatto del sasso con il suolo. Assumendo che la velocità del suono nell'aria v S sia di 340 m/s e l'accelerazione di gravità g sia 9.8 m/s, si calcoli: (a) l altezza della torre; [1.5 m] (b) la velocità d impatto del sasso con il suolo; [49 m/s] Due moti: sasso che cade e suono che risale fino all uomo Sasso che cade x(t)=x 0 +v 0 (t t 0 ) + ½ a 1 (t t 0 ) con t 0 =0 v 0 =0, a= 9.8m/s x 0 =altezza torre h t c = tempo di caduta quando cade x(t c ), chiamata x c è uguale a 0 quindi 0 = h ½ gt c h = ½ gt c Suono che risale (velocità suono costante) t s = tempo in cui il suono risale Legge oraria: x(t)=x 0 +v 0 (t t 0 )= x c +v s (t t c )= 0 + v s (t t c ) al tempo t s, x è di nuovo uguale ad h h= v s (t s t c ) Mettiamo a sistema i due risultati: ½ gt c = v s (t s t c ) v s t s v s t c ½ gt c =0 t c = t c1 = 5s t c = 74s (impossibile perchè negativo) h = ½ gt c = 1.5 m velocità di impatto : v = at c = g( = 49 m/s
Problema n. 4: Un piccolo razzo viene lanciato in direzione verticale dalla superficie terrestre e si allontana da terra con un accelerazione verticale costante pari a 4.5 ms per 0 secondi. In tale intervallo di tempo il combustibile viene completamente consumato e il razzo continua poi il suo volo come una particella libera. Assumendo che l attrito dell aria sia trascurabile, calcolare: (a) la velocità posseduta dal razzo nell istante in cui in combustibile si esaurisce; (b) la quota raggiunta in tale istante; (c) la massima altezza raggiunta dal razzo rispetto al suolo; a y = 4.5 m/s t 1 = 0s t>t 1 combustibile esaurito 0<t<t 1 y(t)=y 0 +v 0 (t t 0 ) + ½ a(t t 0 ) = ½ at v(t)= v 0 + at = 0 + at Nel punto y 1 il carburante si esaurisce (tempo t 1 ) y 1 = ½ at 1 = ½ 4.5 m/s (0s) = 4900 m (domanda b) v 1 = at 1 = 490 m/s (domanda a) t 1 <t<t t momento di massima altezza y(t)=y 0 +v 0 (t t 0 ) + ½ a(t t 0 ) = y 1 +v 1 (t t 1 ) ½ g(t t 1 ) v(t)= v 1 g(t t 1 ) la velocità nel punto di massima altezza è nulla v =0 quindi 0= v 1 g(t t 1 ) otteniamo t = (gt 1 +v 1 )/(g)=70s massima altezza: y = y 1 +v 1 (t t 1 ) ½ g(t t 1 ) e sostituendo otteniamo: = ½ at 1 + v 1 {[(gt 1 +v 1 )/(g)] t 1 } 1/g[(gt 1 +v 1 )/(g)] t 1 } = 17150 m (domanda c)