PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M. Bertsch, R. Dal Passo & L. Giacomelli, McGraw-Hill Editore. Appunti di lezione. Complementi in rete (http://www.math.unipd.it/ mannucci/didattica/analisi210.html). Cap. 10/11: Richiami su funzioni in più variabili Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. Definizione di limite: lim x x0 f(x) = l con x 0 R n e l R. Definizione di funzione continua. Proprietà delle funzioni continue sugli insiemi compatti. Derivate direzionali, derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione per f : X R con X R n. Regola della catena per funzioni composte. Differenziabilità di f : X R con X R n. Teoremi del differenziale totale. Significato geometrico della differenziabilità: costruzione del piano tangente. Derivate successive per f : X R con X R n. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz sulle derivate miste. Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di minimo e massimo locale; definizione di punto stazionario o critico. Teorema: ogni punto di estremo locale interno dove f è derivabile è critico. Richiami sulle matrici simmetriche: matrici definite positive, definite negative, semidefinite e indefinite. Teoremi su condizioni necessarie e condizioni sufficienti di secondo ordine affinchè un punto critico sia di estremo locale. Cap. 12: Curve e integrali curvilinei Definizione di curva in R n : curva piana, curva nello spazio, sostegno di una curva. Orientazione di una curva. Curva chiusa e curva semplice in R n ; curve piana di Jordan e suo orientamento positivo/negativo. Curva di classe C 1. Definizione di velocità vettoriale e di velocità scalare. Curva regolare in R n. Significato fisico e geometrico della definizione. Costruzione del versore tangente e della retta tangente in forma parametrica in R n. Definizione del versore normale ed equazione implicita della retta tangente per le curve piane. 1
Curve di classe C 1 a tratti e curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva e rettificabilità. Teorema 12.2 sulla formula della lunghezza per curve C 1. Definizione di curve equivalenti e di curve orientate nello stesso verso o verso opposto. Teorema 12.3 sulla lunghezza di curve equivalenti (con dim.). Integrale curvilineo di prima specie: definizione e proprietà. Definizione di ascissa curvilinea e sue proprietà (con dim.) Definizione di baricentro (appunti a lezione). Definizione di forma differenziale lineare e di integrale curvilineo di seconda specie. Teorema 12.4 su come varia l integrale curvilineo di seconda specie per curve equivalenti (con dim.) Definizione di forma differenziale esatta e di potenziale. Teorema 12.5 sul valore dell integrale di una forma esatta su una curva (con dim.). Teorema 12.6 di caratterizzazione delle forme esatte, tramite gli integrali sulle curve (con dim.) Definizione di forma differenziale chiusa e relazione con la definizione di forma esatta. Definizione di omotopia e di curve omotope. ( No per il Canale 1, si veda appunti in rete) Definizione di insieme semplicemente connesso, con alcuni esempi. Teorema 12.7 sulle forme chiuse negli insiemi semplicemente connessi. Teorema 12.8 sugli integrali di forme chiuse su curve omotope. Nel caso di forme e campi vettoriali nello spazio tri-dimensionale (n = 3), definizione di campo conservativo e di campo irrotazionale. Cap. 13: Funzioni implicite ed estremi vincolati Teorema del Dini per f : X R con X R 2, (13.3) (con dim. solo dell esistenza e unicità della funzione g). Per n = 2: definizione di punto regolare per f; definizione di curva di livello. tangente alla curva di livello. Retta Teorema del Dini per f : X R con X R 3, (13.5). Per n = 3: definizione di punto regolare per f; definizione di superficie di livello. Piano tangente alla superficie di livello. Definizione di punto di minimo o massimo vincolato per f : X R con X R 2. Definizione di punto critico vincolato di f, per f funzione di due variabili (def. 13.3). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per f : X R con X R 2, 13.8 (con dim.). 2
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per f : X R con X R 3, con vincolo g : X R, g(x) = 0. (par. 13.4). Ricerca degli estremi di funzioni di due variabili su insiemi chiusi con interno non vuoto. Cap. 14: Integrali multipli Definizione di integrale doppio su un rettangolo Q = [a, b] [c, d]: suddivisione di Q, somme inferiori e superiori, definizione di integrale doppio di Riemann di f limitata su Q; f R(Q). Significato geometrico di Q f per f 0. Teorema: f continua su Q è in R(Q). Definizione di integrale doppio nel caso generale: Ω R 2, Ω limitato e f : Ω R, f limitata. Definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan di Ω R 2, Ω limitato. Definizione di area di Ω, Ω. Proprietà dell integrale doppio: linearità, monotonia, additività, teorema della media. Definizione di dominio semplice o normale. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali, 14.12. Caso particolare: formule di riduzione per f R(Q) a variabili separabili, f(x, y) = g(x)h(y). Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali doppi, 14.14 Cambiamenti di variabili più comuni: trasformazioni lineari, coordinate polari, coordinate ellittico-polari, altri cambiamenti (par. 14.3.1 e 14.3.2) Definizione di integrale triplo su un parallelepipedo. Definizione di integrale triplo nel caso generale: Ω R 3, Ω limitato e f : Ω R, f limitata. Definizione di volume di Ω, Ω. Definizione di dominio semplice o normale. Formule di riduzione per gli integrali tripli su domini normali, 14.16. Volume dei solidi di rotazione (Esempio 14.23) ed integrazione per strati. Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione. Teorema di Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali tripli e cambiamenti di variabili più comuni: coordinate cilindriche e sferiche (par. 14.4.2). Cap. 15: Superfici e integrali di superficie; teoremi della divergenza e del rotore Definizione di parametrizzazione regolare di una superficie e di superficie regolare. 3
Superficie in forma parametrica e in forma cartesiana. Definizione di area di una superficie. Formula dell area nel caso di una superficie cartesiana. Definizione di integrale superficiale. Definizione di superficie di rotazione e Teorema di Guldino per il calcolo dell area di una superficie di rotazione. Versore normale e piano tangente ad una superficie regolare in forma parametrica e in forma cartesiana. Orientamento positivo del bordo di un dominio regolare del piano. Formule di Gauss-Green nel piano (con dim. di una formula nell hp. che D sia dominio normale sia rispetto ad x) Teorema di Stokes nel piano. Calcolo di aree mediante le formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza nel piano (con dim.) Definizione di flusso di campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della divergenza in R 3. Definizione di superficie con bordo. Teorema di Stokes o del rotore in R 3. Cap. 16: Equazioni differenziali ordinarie Definizione di equazione differenziale di ordine n e di soluzione di tale equazione. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: definizione di equazione omogenea associata. Struttura dell integrale generale dell equazione omogenea (con dim.). Soluzione dell equazione non omogenea. Metodo di variazione delle costanti (con dim.). Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale: equazioni a variabili separabili. Teorema 16.4 sull esistenza e l unicità locale della soluzione del problema di Cauchy. Controesempio all unicità della soluzione del problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura della soluzione generale. Equazioni omogenee. Teorema 16.11 sull equazione caratteristica. Equazioni non omogenee: metodi ad-hoc per la ricerca della soluzione particolare con termine noto speciale di tipo polinomio, esponenziale, seno o coseno. Cap. 19: Serie di Fourier Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica. Determinazione dei coefficienti di Fourier per una funzione periodica, di periodo 2π continua in [ π, π]. 4
Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier per le f regolari a tratti. Serie di Fourier per funzioni periodiche di periodo T > 0; definizione della frequenza fondamentale. 5