Esercizio 001 Si consideri un piano inclinato di un angolo = 30 rispetto all orizzontale e di lunghezza L = 1 m. Sul piano è posta una massa m = 5, 0 kg collegata alla cima del piano tramite una molla di lunghezza di riposo l 0 = 1 cm e di costante elastica k = 1, 00 10 N/m. Inizialmente, la massa viene spinta verso la cima del piano fino a comprimere completamente la molla, cosicché la massa m viene a trovarsi sulla sommità del piano; poi essa viene lasciata libera di muoversi. Si chiede di: (a) determinare la distanza d che percorre la massa lungo il piano prima di fermarsi; (b) determinare il lavoro L mol fatto dalla molla durante la discesa della massa; (c) determinare la velocità v della massa nell istante in cui si trova a metà del percorso; (d) specificare se il moto di discesa della massa è un MRU, un MRUA o nessuno dei due (motivare la risposta). Si trascurino tutti gli attriti. Soluzione k, l 0 m L Figura 1: Il sistema descritto dal problema. In figura è rappresentata la situazione in cui la molla è a riposo. 1
m h i L Figura : Situazione iniziale. La molla è completamente compressa e la massa si trova in cima al piano. Punto (a) Nel sistema non ci sono attriti e quindi possiamo applicare la legge di conservazione dell energia meccanica. Poiché sono presenti due forze conservative, la forza di gravità e la forza elastica, l energia potenziale totale U è data dalla somma dell energia potenziale gravitazionale U g e dell energia potenziale elastica U e : U = U g + U e (1) Nel seguito, ogni volta che scriveremo l energia potenziale, dovremo tenere conto della (1) e considerare quindi sia l energia potenziale gravitazionale che quella elastica. Indicheremo, poi, con il pedice i la situazione iniziale in cui la molla è completamente compressa e la massa si trova sulla cima del piano, e con il pedice f la situazione finale in cui la molla ha terminato la sua discesa ed è ferma. L energia meccanica iniziale E i si scrive quindi: E i = E c,i + U i = E c,i + U g,i + U e,i () dove con E c,i abbiamo indicato l energia cinetica iniziale. In figura è rappresentata la situazione iniziale. Poiché inizialmente la massa è ferma, la sua energia cinetica iniziale è nulla e quindi E c,i = 0. Sulla cima del piano, la massa si trova ad una altezza h i dal suolo data da h i = L sin e quindi l energia potenziale gravitazionale iniziale è data da: U g,i = mgh i = mgl sin (3)
L d L d h f Figura 3: Situazione finale. La massa è scesa di una lunghezza d lungo il piano. Nella situazione iniziale, infine, la molla è completamente compressa e quindi l accorciamento è pari alla sua lunghezza di riposo, per cui l energia potenziale elastica iniziale è data da: U e,i = 1 kl 0 (4) Sostituendo questi valori nella (), si ottiene: E i = mgl sin + 1 kl 0 (5) Analizziamo ora la situazione finale, rappresentata in figura 3. L energia meccanica totale finale è data da: E f = E c,f + U f = E c,f + U g,f + U e,f (6) dove con E c,f abbiamo indicato l energia cinetica finale. Nella situazione finale, la massa m è scesa di una lunghezza d lungo il piano ed è di nuovo ferma. In queste condizioni, l energia cinetica finale è ancora nulla, per cui E c,f = 0. L altezza dal suolo della massa, come si può vedere dalla figura, è data da h f = (L d) sin, e quindi: U g,f = mgh f = mg(l d) sin (7) 3
La molla, infine, ha un allungamento dato dalla differenza tra la lunghezza finale d e quella a riposo l 0 e quindi l energia potenziale elastica finale è data da: U e,f = 1 k(d l 0) (8) Sostituendo questi valori nell equazione (6), si trova l espressione per l energia meccanica finale: E f = mg(l d) sin + 1 k(d l 0) (9) Imponiamo ora l uguaglianza tra l energia iniziale e quella finale: E i = E f mgl sin + 1 kl 0 = mg(l d) sin + 1 k(d l 0) (10) Abbiamo ottenuto così un equazione in cui l unica incognita è la lunghezza d richiesta. Sviluppiamo i calcoli e semplifichiamo l espressione: mgl sin 1 + kl 0 = mgl sin mgd sin + 1 1 kd + kl 0 1 k dl 0 0 = mgd sin + 1 kd kdl 0 0 = 1 kd d(mg sin + kl 0 ) Abbiamo ottenuto quindi un equazione di secondo grado spuria nell incognita d, che possiamo risolvere raccogliendo a fattor comune la d: d( 1 kd mg sin kl 0) = 0 d 1 = 0; d = (mg sin + kl 0) k Abbiamo ottenuto due soluzioni. Il significato della soluzione d = 0 è semplicemente che se la massa non si muove dalla sua posizione iniziale, l energia ovviamente non varia. La soluzione che ci interessa è invece d = d. Sostituendo i valori numerici si ottiene: Punto (b) (11) (1) d = 73 cm (13) Osserviamo che il lavoro della molla non possiamo calcolarlo tramite la formula: L mol = F mol d dove con d abbiamo indicato il vettore spostamento della massa, poiché durante il moto della massa il valore della forza F mol esercitata dalla molla non è costante. Possiamo però usare il teorema dell energia: L tot = E c (14) 4
d P Figura 4: Vettori per il calcolo del lavoro della forza peso. P Il lavoro L tot è il lavoro totale fatto sulla massa m da tutte le forze agenti su di essa e quindi è dato dalla somma del lavoro fatto dalla gravità e di quello fatto dalla molla: L tot = L gra + L mol (15) Poiché la massa è ferma sia all inizio che alla fine, la variazione di energia cinetica è nulla e quindi dalle equazioni (14) e (15) si ricava: L gra + L mol = 0 L mol = L gra (16) Il lavoro fatto dalla gravità si calcola facilmente poiché la forza di gravità è costante durante il moto. In figura 4 sono rappresentati il vettore spostamento d ed il vettore della forza peso P, scomposto lungo la direzione del piano. Essendo P orientato nel verso dello spostamento, il lavoro della gravità è positivo e quindi si ha: L gra = P d = P d = P d sin L mol = P d sin = mgd sin = 18 J (17) Punto (c) Applichiamo la conservazione dell energia, considerando come stato finale quello in cui la massa m è scesa di una lunghezza d f = d. Osserviamo che in questo caso l energia cinetica 5
finale non è nulla, ma vale E c,f = 1 mv, dove v è la velocità cercata. Si ha dunque: E i = E f mgl sin + 1 kl 0 = mg(l d f ) sin + 1 k(d f l 0 ) + 1 mv (18) Eseguendo i calcoli si ottiene: v = (mg sin + kl 0 )d f 1 m kd f (19) Sostituendo la relazione d f = d si trova: v = Punto (d) (mg sin + kl 0 ) d m 18 kd = (g sin + kl 0 kd )d m 4m = 1, 6 m/s (0) Durante la discesa della massa m, la forza di gravità agente su di essa è costante, la reazione vincolare del piano è costante mentre la forza elastica è variabile poiché cambia l allungamento o la compressione della molla. Ne segue che l accelerazione della massa, che è data dal rapporto tra la forza totale agente e la massa stessa, è variabile. Il moto della massa, quindi, non è né un MRU (che si avrebbe nel caso di forza totale nulla) né un MRUA (che si avrebbe nel caso di forza totale costante). 6