CAPITOO 9 a meccaica quatistica QUESITI Quesito A ogi particella materiala co ua quatità di moto! p corrispode ua lughezza d oda, detta di De Broglie, data da: λ = h p. () Nel modello corpuscolare di Bohr l elettroe percorre ua delle orbite permesse, di raggio r, seza irradiare eergia. Nel modello odulatorio l elettroe è u oda stazioaria che si richiude su se stessa, cioè riacquista dopo u giro la stessa fase. Perché l oda si richiuda a ogi giro, la lughezza π r dell orbita o può essere arbitraria, ma deve essere u multiplo della lughezza d oda dell elettroe: π r = λ. () oda che el modello di de Broglie descrive u elettroe i orbita attoro al ucleo è u oda stazioaria lugo ua circofereza, aaloga all oda meccaica che si produce quado u sottile aello metallico è fatto vibrare a ua delle sue frequeze di risoaza: a tale frequeza corrispode ua lughezza d oda che soddisfa la (). Cofrotado la () co la (), e scrivedo p al posto di p, si ottiee π r p = h, che è proprio la codizioe di quatizzazioe di Bohr per u orbita circolare dell atomo di idrogeo. Quesito Nell esperimeto ipotizzato si avrebbe, el caso estremo, m ( ) 5 0 3 Δp Δx = mδv Δx =,67 0 7 kg Il valore umerico di! è, ivece ( ) = 3 0 35 J s. s 4 0 m! = h 4π = 6,63 0 34 J s = 5,8 0 35 J s. 4π Questo dato è maggiore del valore umerico ipotizzato per il prodotto Δp Δx, per cui la precisioe proposta sulla misura della velocità del protoe o è realizzabile. 3 Quesito assorbimeto di u eergia uguale a quella di ioizzazioe libera l elettroe meo legato (quello co = 3). Quidi la cofigurazioe dello ioe Na + è s s p 6. Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica 4 Quesito a. a lughezza d oda di de Broglie di ua particella co quatità di moto p è λ = h/p. Nel caso i esame p = h l = 6,63 0 34 J s 6,5 0 7 s =,0 0 7 kg m/s. b. Utilizzado la formula classica per la quatità di moto p = mv si ha v = p m =,0 0 7 kg m/s 9, 0 3 kg =,km/s. a velocità dell elettroe è molto miore della velocità della luce, per cui si tratta di u elettroe o relativistico. PROBEMI 5 Problema a. I umeri quatici degli elettroi del carboio soo: s : =, l = 0, m = 0, m s = ±, s : =, l = 0, m = 0, m s = ±, e i due elettroi el livello p possoo scegliere tra le segueti cofigurazioi elettroiche =, l =, m =, m s = ± oppure =, l =, m =, m s = ±, che, i asseza di u campo magetico estero, soo eergeticamete equivaleti. b. Tale cofigurazioe o è possibile per via del pricipio di esclusioe di Pauli: i u atomo due elettroi o possoo avere lo stesso isieme di valori dei quattro umeri quatici. Nel livello s soo dispoibili soo due cofigurazioi, distite dal valore del umero quatico di spi dell elettroe. c. Stato fodametale dell azoto N: s s p 3. d. a formula geerale per atomi o ioi co u solo elettroe orbitate itoro a u ucleo di carica Z è data da Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica E = ( 3,6 ev) Z. o ioe di elio He + ha effettivamete u solo elettroe orbitate itoro al ucleo (quidi la formula si applica) e il ucleo è composto da protoi, ovvero Z =. e. elettroe rimasto ha umero quatico pricipale =. eergia di legame è data da E = ( 3,6 ev) 4 = 54,4 ev. eergia ecessaria a strappare l uico elettroe è duque 54,4 ev. U fotoe di lughezza d oda 37 m ha eergia ( )( 3 0 8 m/s) E = h f = hv λ = 6,63 0 34 J s 37 0 9 m = 5,3 0 8 J = 33eV (miore di 54,4 ev), quidi o abbastaza da strappare l uico elettroe dello ioe di elio. 6 Problema ( )( 3,00 0 8 m/s) a. ΔE = h f = hc λ = 6,63 0 34 J s 6,7 0 7 m I ev: ΔE =,96 0 9 J =,85 ev.,60 0 9 J/eV =,96 0 9 J. b. a cofigurazioe è s s. a cofigurazioe s 3 è vietata dal pricipio di Pauli, secodo il quale due elettroi di uo stesso atomo o possoo avere gli stessi umeri quatici. Nello stato s 3 almeo due elettroi dovrebbero avere gli stessi umeri quatici pricipali ( = ), orbitali (l = 0), magetici (m = 0) e di spi (o / o /). c. o ioe litio i + ha ua carica q = e =,6 0 9 C. Attraversado ua differeza di poteziale di 50 V acquista u eergia cietica K = e V = 50 ev o, equivaletemete, K = q V =(,6 0 9 C) (50 J/C) =,4 0 7 J. d. Per particelle o relativistiche, λ = h mk = 6,63 0 34 J s,6 0 6 kg ( )(,4 0 7 J) = 8,9 0 3 m. e. No. a lughezza d oda degli ioi litio è molto miore delle dimesioi del forellio, per cui o si rilevao apprezzabili feomei di diffrazioe. 3 Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica 7 Problema Co gli itegrali e le equazioi differeziali a. Sulla base delle premesse, la probabilità richiesta si ottiee itegrado la (B) su tutta l ampiezza della scatola. Occorre quidi calcolare l itegrale defiito [ ] πx / πx I = Ψ ( x) dx= se dx cos d x. = / 0 0 0 Possiamo ora porre πx y = dx = dy π e quidi scriviamo π x ( ) [ ] 0 π π 0 0 I = cos dx= cosy dy= y sey = π=. π π π Il risultato otteuto idica che vi è la certezza di trovare la particella all itero della «scatola». Visto che x e soo etrambe delle lughezze, per fare i modo che l argometo della fuzioe seo sia u umero puro il parametro deve a sua volta essere u umero puro. b. a fuzioe se x è periodica di periodo π. Poedo π x =π otteiamo come soluzioe x =. Quidi tra x = 0 e x = / avviee ua delle oscillazioi, tutte idetiche tra di loro, che la fuzioe itegrada Ψ (x) compie ella scatola. Di cosegueza la probabilità richiesta è uguale a /. c. Abbiamo d Ψ ( x ) π cos π = x dt e quidi troviamo h d Ψ( x) h π πx h πx h = se se ( ). = = Ψ x 8π m dt 8π m 8m 8m equazioe differeziale trovata si ricoduce alla forma (C) poedo E h = 8m. d. Il miimo valore di E, i fuzioe di, è E h 8m =. 4 Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica Tutti gli altri valori di E soo della forma E = E, cioè soo direttamete proporzioali al quadrato di. PROBEMI ESPERTI 8 Problema esperto a. Visto che è u umero puro, l uità di misura di E è J s J = = J. kg m J Quidi le quatità E soo dei valori di eergia, cotraddistiti dal valore di. Perciò, i aalogia co quato visto i relazioe all atomo di Bohr, può essere descritto come il umero quatico che distigue tra loro i vari stati del sistema. I effetti, ache le diverse fuzioi d oda (A) differiscoo tra loro solo per il valore di. b. Visto che sulla particella ella «scatola» o agiscoo forze, E dev essere u eergia cietica. Dalla relazioe K = p /(m) otteiamo, allora h h p =± me =± m =± 8m I moduli miimi di p si hao per =.. c. Dalla formula (A) troviamo 0 Ψ (0) = se π = 0 e Ψ ( ) = se π/ = 0. / Visto che la particella o può uscire dalla «scatola», ai suoi estremi la fuzioe d oda, e quidi la probabilità di trovare la particella, si aulla. a situazioe è aaloga al fatto che l ampiezza di u oda stazioaria su ua corda si aulla agli estremi. Sempre i aalogia co le ode stazioarie su ua corda, la lughezza d oda della fuzioe (A) per i vari valori di è: λ =. d. Poedo Ψ ( x ) = 0 si ottiee π x= kπ, co k itero relativo; si trova la soluzioe x= k. 5 Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica Co la codizioe 0 x, i valori di k accettabili soo gli iteri compresi tra 0 e, estremi iclusi. Quidi abbiamo + odi, compresi i due agli estremi. a fuzioe Ψ ( x) ha lughezza d oda 4 λ 4 = e quidi possiede cique odi: due agli estremi, uo el puto medio della scatola e altri due posti elle posizioi /4 e (3/4). a fuzioe d oda Ψ ( x) ha gli stessi odi, più altri quattro posti ei puti medi tra due odi 8 successivi di Ψ ( x). Però questi quattro odi o soo odi della fuzioe che si ottiee 4 sovrappoedo le due fuzioi d oda. Quidi la fuzioe Ψ ( x) possiede cique odi. 9 Problema sulle competeze a. Per u oda di de Broglie si ha λ = h p = h mv mvλ = h. a codizioe per avere ode stazioarie associate all elettroe è πr = λ r = λ π. Il mometo agolare dell elettroe è dato da = mvr = mv λ π. Utilizzado il fatto che l oda è di de Broglie, si ottiee ( ) = mvλ π = h π. b. Calcoliamo la lughezza d oda relativa alla trasizioe: λ = R 3 =, 0 7 m λ = 656 m, quidi la liea C. c. a frequeza massima corrispode al valore massimo di λ. Per + si ha = R f λ max! c = 3,3 0 5 Hz, λ ovvero ell ifrarosso. d. o spettro cotiuo i figura è lo spettro di Bremsstrahlug, emesso dagli elettroi che decelerao a causa degli urti cotro gli atomi del bersaglio. Per quato riguarda le righe, se gli elettroi che colpiscoo la targhetta di tugsteo hao eergia sufficiete da espellere elettroi el guscio K, elettroi dai gusci più esteri possoo occupare il guscio K e la trasizioe avviee accompagata dall emissioe di u fotoe X. e righe corrispodoo ai fotoi X emessi. 6 Zaichelli 06
CAPITOO 9 a meccaica quatistica 0 Problema esperto a. Gli ioi cromo preseti el cristallo assorboo la compoete verde-blu, per cui il rubio trasmette pricipalmete la compoete rossa della luce che icide su di esso. b. Sì. a frequeza e l eergia di u fotoe «blu» soo maggiori di quelle di u fotoe «verde». Per raggiugere uo stato meo legato, l elettroe dello stato fodametale deve assorbire u fotoe di eergia maggiore, quello «blu» apputo. c. a differeza di eergia è uguale all eergia del fotoe: ( )( 3,00 0 8 m/s) ΔE = h f = hc λ = 6,63 0 34 J s 6,943 0 7 m I ev: ΔE =,86 0 9 J =,79 ev.,60 0 9 J/eV =,86 0 9 J. d. Il modello B. Ifatti, per λ 700 m = 0,7 µm ha ua gradissima atteuazioe, pari a circa 0 7 volte. Al cotrario, il modello A trasmette quasi iteramete ella zoa rossa dello spettro. e. Quello a destra: poiché atteua solo la compoete blu-verde (co λ < 600 m), trasmette molto bee el rosso-giallo per cui le sue leti sembrao rossastre. 7 Zaichelli 06