RICHIAMI SULLE ONDE. Geeralità La propagazioe odulatoria è uo tra i feomei più diffusi i fisica: si pesi alle ode sulla superficie di u liquido, oppure alle ode acustiche, oppure alle ode elettromagetiche o ache alla rappresetazioe odulatoria delle particelle microscopiche come gli elettroi. Pur essedo la atura dei feomei odulatori così varia, essi soo descritti co lo stesso formalismo matematico. I questa sezioe itrodurremo alcui cocetti fodametali iereti la propagazioe per ode che potrao poi di volta i volta essere applicati a casi particolari. I tutti i casi l oda è caratterizzata da ua perturbazioe. La perturbazioe rappreseta lo spostameto di ua certa gradezza fisica rispetto al suo valore di equilibrio. La atura fisica della perturbazioe varia a secodo del particolare tipo d oda cosiderato: ad esempio, el caso di u oda che si propaghi lugo u filo teso, la perturbazioe rappreseta lo spostameto di u elemeto di lughezza dl del filo rispetto alla codizioe di equilibrio (filo teso orizzotale), el caso di u oda acustica che si propaghi ell aria la perturbazioe rappreseta la variazioe della desità locale dell aria rispetto al suo valore all equilibrio, el caso di u oda elettromagetica rappreseta la variazioe del campo elettromagetico rispetto al suo valore di equilibrio. Si potrebbe cotiuare acora a lugo co gli esempi. I ogi caso è vero sempre che la perturbazioe, che rappreseta u oda i movimeto ello spazio, è fuzioe sia del vettore posizioe r che. Nel caso i cui l oda si propaghi i ua precisa direzioe idividuata dall asse x, il vettore posizioe va sostituito co l ascissa x. La fuzioe può assumere le forme più svariate (vedi ad esempio Figura.-). del tempo t: ( r,t) c (x,t) X Figura.- Nel caso idicato i figura la perturbazioe si sposta, ad istati successivi, verso destra co velocità c. Abbiamo ora due possibilità: la forma della perturbazioe rimae immutata al variare del tempo e quidi l oda trasla rigidamete verso destra mateedo immutata la sua forma; la traslazioe è accompagata da ua distorsioe della forma d oda I geerale soo possibili etrambi i casi a secoda del particolare problema di propagazioe per ode cosiderato. Nel caso i cui sia verificata la prima alterativa diremo che l oda si sta propagado i u mezzo o dispersivo, metre el secodo caso diremo che l oda si propaga i 3
Perturbazioe y y u mezzo dispersivo. L origie del termie dispersivo, riferito al mezzo di propagazioe, sarà chiarito più avati. Suppoiamo ora che l oda si propaghi i u mezzo o dispersivo e che quidi la forma d oda o cambi el tempo (fig..-) I Figura.- è rappresetata ua perturbazioe progressiva (che si muove el verso positivo dell asse x) i due istati successivi t o e t o + t. la forma della perturbazioe o cambia: essa è semplicemete traslata di c t dove c rappreseta la velocità di propagazioe dell oda. Cosideriamo ora, accato al sistema di riferimeto fisso x,y u sistema x, y i movimeto co la stessa velocità dell oda c. Se il mezzo è o dispersivo la perturbazioe apparirà cogelata el sistema di riferimeto mobile: la forma della perturbazioe o si modifica al passare del tempo. I queste codizioi la sarà esclusivamete fuzioe dell ascissa x e o dipederà dal tempo ((x )). D altro cato, la legge di trasformazioe delle coordiate, quado si passa dal sistema di riferimeto fisso (x,y) al sistema mobile (x,y ) è (avedo ipotizzato che all istate iiziale t o 0 le origii dei due sistemi di riferimeto coicidao) xx +ct, da cui si ricava x x-ct. Poiché la forma d oda el sistema di riferimeto fisso ed i quello mobile coicidoo ((x,t) (x )), possiamo esprimere la fuzioe el sistema fisso come (x-ct), avedo sostituto x co x-ct. Nel caso i cui l oda si propaghi el verso egativo dell asse x (oda regressiva), si otterrà, aalogamete (x+ct). Tutto ciò si può riassumere dicedo che ua geerica perturbazioe che si propaghi i u mezzo o dispersivo deve essere fuzioe della combiazioe lieare della variabile posizioe e del tempo (x±ct) dove c rappreseta la velocità di propagazioe dell oda metre il sego meo e più si riferiscoo, rispettivamete, ad ode progressive e regressive. Queste semplici cosiderazioi ci cosetoo di cocludere che ua geerica fuzioe della posizioe e del tempo f(x,t), può rappresetare u oda soltato se le a c t t 0 t 0 + t xx' Figura.- Perturbazioe i due istati successivi i u mezzo o dispersivo variabili x e t appaioo i combiazioe lieare. Ad esempio, quidi, la fuzioe f(x,t)a(x-ct) è atta a rappresetare u oda metre o lo è la fuzioe f(x,t)a(x -ct ).. Ode trasversali e logitudiali Figura.- c Ua prima classificazioe delle ode può essere fatta i base all agolo che la direzioe della perturbazioe e la direzioe di propagazioe dell oda formao tra di loro. Nel caso i cui queste due direzioi siao parallele le ode vegoo dette logitudiali, metre el caso esse siao mutuamete perpedicolari le ode vegoo dette trasversali. U esempio di oda trasversale è rappresetato da ua perturbazioe che si propaga lugo u filo teso: ogi elemeto del filo si sposta ella 4
direzioe perpedicolare al filo stesso metre l oda si propaga ella direzioe del filo. U esempio di oda logitudiale è rappresetato dalle ode acustiche ei gas: i questo caso la perturbazioe (variazioe della desità del gas rispetto al valore di equilibrio) è diretta parallelamete alla direzioe i cui si propaga l oda. La differeza tra ode trasversali e logitudiali è illustrata i Fig..- cosiderado il caso di ua fila di puti materiali di massa m separati, i codizioi di equilibrio, da ua distaza a e legati alla posizioe di equilibrio da forze di tipo elastico. Nella figura i alto le masse soo ferme ella posizioe di equilibrio; ella figura itermedia le masse soo ivestite da ua perturbazioe che si propaga lugo la catea spostado le masse stesse parallelamete alla direzioe di propagazioe; ifie, i basso, è rappresetata ua perturbazioe tale che lo spostameto è perpedicolare alla direzioe di propagazioe dell oda stessa..3 L equazioe d oda I u gra umero di sistemi o dispersivi, caratterizzati da u preciso valore all equilibrio della gradezza fisica rilevate (ad esempio la desità i gas oppure la posizioe di u elemeto di lughezza dl i u filo teso) si osserva che, el caso i cui il sistema vega perturbato, la perturbazioe, ovverosia lo spostameto () della gradezza fisica rilevate dal suo valore i codizioi di equilibrio soddisfa la seguete equazioe alle derivate parziali: c t Eq..3- quest equazioe prede il ome di equazioe d oda. I questa forma essa è valida el caso di propagazioe i ua dimesioe (asse x). Si può verificare a posteriori che u oda viaggiate qualsiasi, rappresetata da u geerica fuzioe ( x ± ct), è soluzioe dell equazioe d oda. Per provarlo sostituiamo la fuzioe all itero dell equazioe d oda. A questo scopo è ecessario calcolare prevetivamete le derivate parziali della rispetto alla posizioe x ed al tempo t. Idicado co ( ) la derivata prima (secoda) della fuzioe rispetto al suo argometo, abbiamo per la regola di derivazioe di fuzioe di fuzioe: ' ' ( x ± ct) e '' ' ' '' ( x ± ct) ( c) e c t t t Queste espressioi, sostituite ell equazioe d oda.3-, la redoo soddisfatta. Ricaviamo ora l equazioe d oda per u caso particolare. Cosideriamo il problema di masse putiformi m disposte lugo ua retta. Iizialmete le masse soo i equilibrio distaziate di a (vedi Figura.3- ). Suppoiamo che le masse siao collegate tra di loro da molle ideali tutte uguali, di costate elastica K e lughezza a riposo a. Iizialmete ogi puto materiale è i equilibrio. Ad u certo istate uo dei puti viee spostato dalla codizioe di equilibrio avviciadolo, per esempio, al puto alla sua destra. Lo spostameto darà luogo ad ua perturbazioe che si propagherà i- i i+ i- i- i i+ i+ Figura.3- Perturbazioe i ua catea d atomi ivestita da u oda logitudiale. 5
lugo la catea. Se idichiamo co s lo spostameto del geerico puto dalla posizioe di equilibrio, la forza che agisce sul puto iesimo potrà essere espressa come F i i i i+ K( ) K( ) per il secodo pricipio della diamica ma t m K( i + i ) + Eq..3- i L accelerazioe è stata espressa tramite ua derivata parziale rispetto al tempo poiché la perturbazioe è ache fuzioe della posizioe. Suppoiamo ora che la lughezza d oda λ della perturbazioe sia molto maggiore della separazioe spaziale tra i puti (λ>>a). I questo caso, detto limite del cotiuo, si cosidera la variabile posizioe come ua variabile cotiua. Si potrà quidi esprimere la perturbazioe el modo seguete: ( x) ( x a) ( x a), Eq..3- i i, i+ + Ioltre, poiché la lughezza d oda è molto maggiore di a, la perturbazioe varierà di poco quado ci si sposta di a. I queste codizioi la perturbazioe potrà essere sviluppata i serie di Taylor ell itoro di x coservado soltato i termii più importati dello sviluppo: ( x a) a ( x) a + a +... ( x + a) ( x) + a + +... Eq..3-4 Sostituedo le espressioi.3-3 e.3-4 ell equazioe.3- otteiamo m Ka t per cofroto co l espressioe.3-, che rappreseta l equazioe di propagazioe delle ode, verifichiamo facilmete che la velocità di propagazioe delle perturbazioi lugo la catea è c a K m.4 Ode siusoidali Le ode possoo assumere le forme più svariate. U caso particolarmete importate, per motivi che sarao chiari successivamete, è quello delle ode che hao forma siusoidale. I questo caso la perturbazioe si riscrive come ( x ± ct) Asi[ ( x ± ct) ]. La costate (detta umero d oda), deve essere misurata i rad/m i modo tale che l argometo del seo risulti u agolo misurato i radiati.. Nel caso di u oda siusoidale vegoo defiiti la lughezza d oda λ ed il periodo T. Queste due gradezze soo legate dalla relazioe c λ, dove c prede il ome di T velocità di fase. Per preservare la periodicità spaziale i λ della perturbazioe è ecessario che la π costate sia defiita come. La pulsazioe ω dell oda viee defiita come ω π. Si λ T π defiisce ora il vettore d oda come il vettore che ha modulo (umero d oda), direzioe λ parallela e verso cocorde alla direzioe di propagazioe dell oda. La velocità di fase c può essere 6
ω ache espressa come c. Co le covezioi esposte sopra la perturbazioe può essere scritta come π π Asi x ± ct Asix ± t Asi( x ± ωt) Eq..4- λ T dove ω viee detta pulsazioe. x±ωt rappreseta la fase dell oda siusoidale ed A la sua ampiezza. Il sego + si riferisce ad ode siusoidali regressive, metre il sego a quelle progressive. L oda siusoidale scritta come Asi( x ± ωt) implica che all istate iiziale (t0), la ell origie (x0) sia ecessariamete ulla. Ovviamete questa circostaza o sempre è verificata. Per o perdere di geeralità ell espressioe dell oda siusoidale si aggiuge u agolo ϕ o, che rappreseta la fase iiziale (t0, x0), all argometo della fuzioe seo: ( x ω ) si t + ϕ 0 A Eq..4- λ -6-4 - 0 4 6 8 0 c t Figura.4- Rappresetazioe di u oda siusoidale di velocità c i due istati successivi Le ode siusoidali si prestao bee per studiare gli effetti di iterfereza. Osserviamo ifatti che, essedo l equazioe differeziale delle ode lieare, se due fuzioi f(x,t) e g(x,t) soo separatamete soluzioi dell equazioe, ache la loro combiazioe lieare lo è. Questa circostaza viee espressa el cosiddetto pricipio di sovrapposizioe che afferma che se due ode attraversao la stessa regioe di spazio la perturbazioe totale risultate è costituita dalla somma delle perturbazioi idividuali: + Nel caso delle ode siusoidali questa circostaza permette alcue iteressati cosiderazioi. Suppoiamo iizialmete che due ode siusoidali aveti lo stesso vettore d oda, la stessa pulsazioe e la stessa ampiezza A ma fase iiziale diversa, si propaghio etrambe el verso positivo dell asse x. La perturbazioe totale sarà allora espressa come: 7
( x ωt + ϕ ) + A ( x ω ϕ ) + si si A t + Eq..4-3 Grazie all idetità trigoometrica A + B A B si A + si B si cos Eq..4-4 ϕ ϕ ϕ + ϕ l Eq..4-5 potrà essere riscritta come A cos six ωt +. Quest espressioe rappreseta acora u oda viaggiate co lo stesso vettore d oda e la stessa ϕ + ϕ pulsazioe ω, ma co fase iiziale pari a ϕ ed ampiezza cos ϕ A. I particolare osserviamo che se la differeza tra ϕ e ϕ è pari a π, co umero itero qualsiasi, allora l ampiezza dell oda sarà pari a A (ode i fase), metre ivece, se la differeza di fase è (+)π, allora l ampiezza è ulla (ode i cotrofase). U altro caso iteressate è quello i cui iterferiscao due ode siusoidali di uguale ampiezza, di uguale vettore d oda ed uguale pulsazioe che si propaghio lugo l asse x i versi opposti. I questo caso la perturbazioe totale potrà essere espressa come: ( x ωt + ϕ ) + A ( x + ω ϕ ) + A si si t + Utilizzado la stessa idetità trigoometrica.4-3 otterremo questa volta ϕ + ϕ ϕ ϕ A six + cosωt + Eq..4-6 La perturbazioe è riportata i figura.4- a diversi istati successivi, ell ipotesi che etrambe le fasi iiziali siao ulle. La perturbazioe così otteuta o rappreseta più u oda viaggiate, ifatti le variabili posizioe e tempo o compaioo i combiazioe lieare ma soo separatamete argometo delle fuzioi si e cos. La defiita ell equazioe viee detta oda stazioaria. t0 tt/8 t(/4)t t(3/8)t tt/ odi vetri Figura.4- Evoluzioe di u oda stazioaria i fuzioe del tempo x Dall aalisi dell equazioe.4-7 si osserva che l ampiezza dell oda stazioaria evolve el tempo come idicato i figura.4-. All istate iiziale l ampiezza è massima. Decresce divetado ulla a u quarto di periodo e diveta massima egativa a metà periodo. Successivamete la perturbazioe evolve ciclicamete co periodo T. I puti ei quali l ampiezza delle oscillazioi è sempre ulla vegoo detti odi, i puti i cui l ampiezza dell oscillazioe è massima vetri. I odi rimagoo fermi el tempo e questa circostaza implica che o vi sia propagazioe di eergia collegata co le ode stazioarie. U ulteriore classificazioe delle ode può essere effettuata i base alla forma del frote d oda. Il frote d oda è defiito da tutti quei puti ello spazio che, ad u certo istate, hao la stessa fase. Per esempio se si getta u sasso i uo specchio d acqua traquillo si geerao dei froti d oda circolari (ode circolari). I fig..4-3 soo rappresetate due ode particolarmete rilevati: ode sferiche (geerate da ua sorgete putiforme) ed ode piae (geerate da ua sorgete molto lotaa). I etrambi i casi la lughezza d oda λ corrispode alla distaza tra due froti d oda 8
λ cosecutivi. La direzioe di propagazioe, idividuata dal vettore d oda è defiita uivocamete el caso di ode piae, metre varia da puto a puto ed è sempre diretta radialmete el caso di ode sferiche. Figura.4-3 Froti d oda sferici e piai.5 Ode siusoidali tramite espoeziali di argometo immagiario A volte può essere particolarmete comodo rappresetare le ode siusoidali tramite espoeziali di argometo immagiario. A questo proposito richiamiamo le equazioi di Eulero: iϕ iϕ iϕ iϕ e e e + e se( ϕ), cos( x) Eq..5- i combiado le due equazioi isieme si ottiee iϕ iϕ e cos( ϕ) + ise( ϕ), e cos( ϕ) ise( ϕ) L espoeziale di argometo immagiario è quidi u umero complesso la cui parte reale è rappresetata dalla fuzioe cos(ϕ ) e la parte immagiaria dalla fuzioe se(ϕ ). Il suo modulo è ϕ e i ( seϕ ) + ( cos ) ϕ I Fig..5- viee rappresetata la fuzioe e iϕ el piao complesso. L espoeziale di argometo immagiario è rappresetato da u vettore di modulo uitario che forma u agolo ϕ co l asse Re. Al variare di ϕ tra zero e π l apice del vettore percorre ua traiettoria circolare. La perturbazioe siusoidale sarà quidi espressa come i x ωt+ ϕ0 x, t Ae Eq..5- ( ) ( ) dove ϕ 0 rappreseta l evetuale fase iiziale. Im ϕ Re Figura.5- Parte reale ed immagiaria dell espoeziale di argometo immagiario L ampiezza dell oda siusoidale sarà quidi rappresetata dalla parte reale (o dalla parte immagiaria) dell espoeziale e iϕ. La rappresetazioe tramite espoeziali di argometo immagiario risulta particolarmete vataggioso i riferimeto ai pacchetti d oda. Le perturbazioi reali che si propagao ei mezzi fisici o soo mai rappresetate da ode siusoidali ideali. I pratica i mezzi di propagazioe reali hao ecessariamete dimesioi fisiche fiite. I queste codizioi o è possibile immagiare al suo itero la propagazioe di u oda siusoidale ideale. Nella realtà le perturbazioi hao u estesioe limitata ello spazio come, ad esempio, quella idicata i fig..-. Le perturbazioi reali predoo il ome di pacchetto d oda. Il perché del termie pacchetto d oda sarà chiaro più avati. L importaza delle ode siusoidali deriva dalla circostaza che le perturbazioi reali possoo essere cosiderate come la sovrapposizioe di u certo umero di ode siusoidali aveti opportua ampiezza. 9
Cosideriamo ifatti ua fuzioe periodica f(x) co periodo, quale ad esempio quella rappresetata i Fig..5-. Se soo soddisfatte le codizioi di Dirichelet allora questa fuzioe potrà essere sviluppata i serie di Fourier πx f ( x) c expi, co umero itero. π Ovvero, avedo defiito, c ( i x) f ( x) exp Eq..5-3 L equazioe.5-3 esprime la circostaza che ua perturbazioe periodica co periodo può essere espressa come la sovrapposizioe di u umero elevato (idealmete ifiito) di ode siusoidali, co umero d oda multiplo itero di π, ed ampiezza c (compoeti di Fourier). Spesso però soltato u umero limitato di compoeti cotribuiscoo effettivamete, le altre avedo u ampiezza c trascurabile. exp i ' x, co umero Moltiplichiamo ora l equazioe.5-3, primo e secodo membro, per ( ) itero ed itegriamo l espressioe risultate tra -/ e /. Otteiamo così exp ( i x) f ( x) dx c exp( i( ) x) ' ' Eq..5-4 π co ( ' ' ) dx π m, co m a sua volta umero itero. π ora è facile mostrare che l itegrale expi mxdx è pari a se m0 ( ) ed è ullo se m 0 ( ). Ifatti, se m0 l espoeziale è pari a e l itegrale f(x) dx. Ivece, se m 0, dal calcolo dell itegrale si ottiee π exp i mx π i m exp ( iπm ) exp( iπm ) π i m 0 π i m. I base a questa proprietà, ella somma a secodo membro ell equazioe.5-4 rimae solo il termie, tutti gli altri essedo ulli: Figura.5- Perturbazioe periodica co periodo x exp ( i x) f ( x) ' dx c A questo puto o è più ecessario mateere l apice al umero itero. ' 0
Potremo quidi esprimere i coefficieti c come: c exp ( i x) f ( x) dx E possibile ora sostituire quest espressioe dei coefficieti c ell equazioe.5-3 f ( x) exp( i x) f ( x) dx exp( i x) π π Ora, poiché, segue che + L equazioe.5-5 si potrà riscrivere el modo seguete: Eq..5-5 f ( x) ( i x) f ( x) dx ( i x) exp exp π suppoiamo ora che il periodo della fuzioe f(x) diveti molto grade, i queste circostaze, potrà essere cosiderata ua variabile cotiua e la somma potrà essere sostituita co u itegrale: ( x) g( ) ( ix) f exp dove g( ) f ( x) exp( ix) dx π La f(x) e la g() predoo il ome rispettivamete di itegrale di Fourier e trasformata di Fourier Spesso si ridefiisce la trasformata di Fourier G( ) ( π ) g( ) F( x) G( ) exp( ix) π itegrale di Fourier e otteedo ifie: Eq..5-5 G( ) F( x) exp( ix) dx Eq..5-6 π trasformata di Fourier. La rappresetazioe dei pacchetti d ode tramite l itegrale di Fourier diviee trasparete se si moltiplica la F(x) per il fattore di dipedeza temporale exp(-iωt). I questo caso otteiamo: G() o Figura.5-3 Trasformata di Fourier a gradio di semilarghezza a 0
0.5 a) 0.5 b) -5-0 -5 0 5 0 5-5 -0-5 0 5 0 5-0.5-0.5 ( x, t) G( ) exp[ i( x ωt) ] Eq..5-7 π I pratica l espressioe.5-7 rappreseta la sovrapposizioe di ode siusoidali co diverso. Il peso relativo delle compoeti di diverso è dato dalla trasformata di Fourier G(). Si può vedere facilmete che più è stretta la fuzioe G() ello spazio dei, meo è localizzata, ello spazio reale, la perturbazioe. I particolare assumiamo che la fuzioe G() sia defiita el modo seguete: G()0 per < o - e > o + G()A per o - < < o + I questo caso la (x) potrà essere rappresetata da + 0 ( x) Aexp( ix) 0 - Figura.5-4 Due pacchetti d oda ello spazio reale corrispodeti a due valori di. La fuzioe G() è quella idicata i Fig..5-3. Nel caso del pacchetto d oda a) è il doppio del valore di b). I figura.5-4 viee rappresetata la perturbazioe per due diversi valori di, semilarghezza i del pacchetto d oda, el rapporto a : el caso della perturbazioe a) è il doppio di quella relativa alla perturbazioe b). Si può osservare come la fuzioe G() più estesa ello spazio corrispoda al pacchetto d oda più localizzato ello spazio reale (Fig..5-4 a)..6 Velocità di fase e velocità di gruppo Abbiamo visto come la velocità co la quale si muove ua perturbazioe siusoidale di pulsazioe ω ω e umero d oda, sia pari a c. Questa velocità prede il ome di velocità di fase. I alcui casi la velocità di fase dipede dalla lughezza d oda λ della perturbazioe. Se questo avviee si dice che il mezzo di propagazioe è dispersivo. Il rapporto tra pulsazioe e umero d oda o è più costate, ovvero la dipedeza tra pulsazioe e umero d oda o è più espresso tramite ua semplice legge lieare. I caso di propagazioe i mezzi dispersivi sarà ecessario esprimere ω come ua geerica fuzioe di, ω(). La relazioe che lega la pulsazioe al umero d oda prede il ome di relazioe di dispersioe. La forma esplicita della relazioe di dispersioe dipederà dal particolare caso cosiderato. Esempi di propagazioe o dispersiva soo la propagazioe della radiazioe elettromagetica el vuoto e del suoo ell aria. U esempio di propagazioe dispersiva è rappresetato dalle ode elastiche ei solidi. -
ω ω (a) (b) Figura.6- Due diverse curve di dispersioe: a) mezzo o dispersivo, b) mezzo dispersivo I Fig..6- a) viee rappresetata la relazioe di dispersioe per u mezzo o dispersivo, metre i Fig..6- b) viee rappresetata la relazioe di dispersioe per u mezzo dispersivo. Nel primo 0 8 6 4 0 8 6 4 0 8 6 4-5 0 5 x 0 5 - -5 0 5 x 0 5 - -5 0 5 x 0 5 - Figura.6- perturbazioe a t0 Perturbazioe a t t Perturbazioe a t t Mezzo o dispersivo Mezzo dispersivo caso la velocità di fase è costate ed uguale alla pedeza delle semirette. Nel caso i cui si abbia propagazioe di u pacchetto d ode i u mezzo dispersivo, le diverse compoeti di Fourier del pacchetto avrao velocità di fase diversa. I queste codizioi le compoeti più veloci del pacchetto sopravazerao quelle più lete ed il pacchetto si allargherà deformadosi durate il moto. Quidi el caso di ua perturbazioe i movimeto i u mezzo dispersivo la velocità di fase o rappreseterà più la velocità della perturbazioe. I questo caso si itrodurrà ua uova gradezza, detta velocità di gruppo v g, che misura la velocità del massimo del pacchetto d ode. Si può dimostrare che, per pacchetti d oda la cui trasformata di Fourier è sufficietemete stretta itoro ad u valore medio o del vettore d oda, la velocità di gruppo è pari alla derivata delle dω pulsazioe rispetto al vettore d oda calcolata per o : vg. Nella figura.6- è mostrata l evoluzioe temporale di u pacchetto d oda. Nel caso di propagazioe i u mezzo o dispersivo il pacchetto d ode si muove seza cambiare la sua forma co ua velocità di gruppo che coicide co la velocità di fase c delle sue compoeti di Fourier. Nel caso di propagazioe i u mezzo dispersivo, le diverse compoeti di Fourier si muovoo co 3
velocità di fase diversa. La perturbazioe si muove co velocità di gruppo pari a dω deformadosi. 0 Diamo ora u argometo qualitativo per spiegare perché la velocità del pacchetto d ode sia pari a dω. La forma spaziale del pacchetto d ode è causato dall iterfereza delle ode co diverso. 0 Le diverse compoeti soo arragiate i modo tale che esse iterferiscao i modo distruttivo ovuque ello spazio eccetto che ella posizioe x(t ) del pacchetto, ove l iterfereza è costruttiva. Poiché l iterfereza deve mateersi costruttiva el puto di coordiate x(t) che idividua la posizioe del pacchetto, la fase ( ϕ( ) x ω( )t ) delle diverse compoeti di Fourier i tale puto o potrà dipedere dal vettore d oda : dϕ dω 0 x( t) t d da cui segue x( t) ω t vgt..7 Esercizi Esercizio La relazioe di dispersioe delle ode elastiche lugo ua catea di atomi può essere espressa, π π 4C Ka ell itervallo < K <, dalla relazioe ω si, dove K rappreseta il vettore a a M d oda, a la distaza tra gli atomi, M la massa di ciascu atomo e C la costate elastica di iterazioe tra due atomi vicii. Si calcoli la velocità di gruppo e la velocità di fase delle ode el caso i cui λ sia molto maggiore di a. Nel limite λ>>a abbiamo Ka<<. La fuzioe si può essere espressa tramite lo sviluppo i serie di Ka Taylor come. Ca Quidi ω K. M ω dω La velocità di fase e la velocità di gruppo coicidoo e soo etrambe uguali a K dk Ca. M Esercizio La relazioe di dispersioe approssimata per le ode i acqua profoda è data da T 3 ω g + ρ dove g è l accelerazioe di gravità, ρ è la desità dell acqua e T la tesioe superficiale dell acqua (7. 0-4 N). Si calcoli per quale valore della lughezza d oda la velocità di fase e la velocità di gruppo soo coicideti. La velocità di gruppo delle ode è pari a 4
ω 3T d g + ρ. ω Perché la velocità di gruppo sia uguale alla velocità di fase è ecessario che Questa codizioe è verificata se T g + 3 ω ρ T 3 D altro cato sappiamo che ω g + ρ Dal cofroto di queste due equazioi otteiamo dω ω ρg T λ π. 7cm T ρg Esercizio 3 Quali tra queste fuzioi possoo rappresetare u oda che si propaga i u mezzo o dispersivo? 3 f x, t x + ct f f f ( ) ( ) ( x, t) x ct ( x, t) x + ct Atg L x L ct L ( x, t) Asi B cos Esercizio 4 Per molte applicazioi tecologiche è ecessario depositare uo strato sottile (detto film) su u supporto fisico avete proprietà differeti (detto substrato). Ua tecica per misurare lo spessore del film cosiste ell iviare u fascio di radiazioe elettromagetica, collieare e moocromatica, ad u agolo di icideza θ rispetto alla superficie del film. Parte della radiazioe sarà riflessa dalla superficie del film e parte dall iterfaccia. Aumetado l agolo di icideza si avrao feomei di iterfereza che darao luogo a modulazioi dell itesità della radiazioe riflessa. Suppoedo che la lughezza d oda della radiazioe icidete sia pari a 0.5µm e che il primo massimo dell itesità riflessa si osservi per θ M 0, si calcoli lo spessore d del film (si suppoga il coefficiete di rifrazioe del film pari a ). La differeza di cammio ottico tra il raggio riflesso dalla superficie del film e quello riflesso dal substrato è l si( θ ) dove l rappreseta lo spessore del film. Il primo massimo dell itesità diffratta si otterrà quado tale differeza di cammio ottico sarà pari alla lughezza d oda della radiazioe: λ l.44µm si θ ( ) θ film substrato 5