1 MATEMATICA FINANZIARIA

1 MATEMATICA FINANZIARIA 1.1 26.6.2000 Data la seguente operazione finanziaria: k = 0 1 2 3 4 F k = -800 200 300 300 400 a. determinare il TIR b. detreminare il VAN corrispondente ad un interesse periodale i=8.5%. a. 800 = 200 (1 + i) + 300 (1 + i) 2 + 300 (1 + i) 3 + 400 (1 + i) 4 800 (1 + i) 4 200 (1 + i) 3 300 (1 + i) 2 300 (1 + i) 400 = 0 4+17i +39i 2 +30i 3 +8i 4 =0 7500 5000 2500 0-5 -2.5 0 2.5 5 TIR i poichè i flussi di cassa cambiano segno una sola volta, allora, come mostrato in figura, il TIR esiste ed è unico. Infatti l unico valore accettabile è quello positivo. b. VAN = 200 (1 + 0.085) + 300 (1 + 0.085) 2 + 300 (1 + 0.085) 3 + 400 (1 + 0.085) 4 =962.67 1

1.2 5.6.2000 a) Determinare il fattore di montante r(t) corrispondente ad una legge di capitalizzazione la cui intensità istantanea di interesse è data da ρ(t) = α ; 1 αt per quali valori di t la relazione è finanziariamente accettabile? b) Data la seguente operazione finanziaria: k = 0 1 2 3 F k = C R R R+ C mostrare che il TIR vale R. C a) R t r (t) =e0 α 1 ατ dτ = e [ ln(1 ατ)]t 0 = e ln(1 αt) = 1 = e = 1 ln(1 αt) 1 αt r(t) è un fattore di montante quando α>0 poichè devono valere le condizioni: r(0) = 1 r 0 α (t) = (1 αt) 2 > 0 La relazione è finanziariamente accettabile quando t< 1 poichè in questo α caso il fattore di montante è positivo. b) C = R 1+i + R (1 + i) 2 + R + C (1 + i) 3 C (1 + i) 3 R (1 + i) 2 R (1 + i) R C =0 C 1+i 3 +3i +3i 2 R 1+i 2 +2i R (1 + i) R C =0 si sostituisce R al posto del tasso d interesse che verifica la proprietà e C che è appunto il TIR e si ottiene: C 1+ R3 C +3R 3 C +3R2 R 1+ R2 C 2 C +2R R 1+ R R C =0 2 C C 2

C 3 + R 3 +3RC 2 +3R 2 C C R C 3 C 2 + R 2 +2RC C 2 R C + R C R C =0 C 3 + R 3 +3RC 2 +3R 2 C RC 2 R 3 2R 2 C RC 2 R 2 C RC 2 C 3 =0 1.3 22.5.2000 0=0 a) Determinare la rata costante annua anticipata da versare oggi per rimborsare un prestito di 65.800.000 lire di durata 5 anni al tasso del 7,6%. b) Un appartamento del valore di 240 milioni può essere pagato in due modi: 1) tre rate da 92.5 milioni: una alla stipula del contratto, la seconda dopo 2 anni e la terza dopo 3 anni; 2) con un unico pagamento di 300 milioni dopo 4 anni. Quale pagamento è più conveniente per l acquirente? c) Determinare il TIR per i seguenti flussi di cassa: 1) 5 periodi: -180, 30, 45, 80, 95 2) 4 periodi: 230, -82, -90, -110 a) R (1 + 0.076) 65800000 = 1 (1 + 0.076) 5 0.076 R = 15138708.94 b) 1) 2) 240 = 92.5+ 92.5 (1 + i) 2 + 92.5 (1 + i) 3 147.5(1+i) 3 92.5(1+i) 92.5 =0 147.5(1+x) 3 92.5(1+x) 92.5 =0 240 = 300 (1 + i) 4 (1 + i) 4 = 300 240 3

1+i = 4 r 300 240 i = 4 r 5 4 1=11.8% c) 1) 2) 180 = 30 (1 + i) + 45 (1 + i) 2 + 80 (1 + i) 3 + 95 (1 + i) 4 180 (1 + i) 4 30 (1 + i) 3 45 (1 + i) 2 80 (1 + i) 95 = 0 230 (1 + i) 3 82 (1 + i) 2 90 (1 + i) 110 = 0 4

1.4 Es. 1 Un piccolo appartamento del valore di 200 milioni può essere pagato in due modi: 1) due rate da 120 milioni, una alla stipula del contratto, l altra dopo 2 anni; 2) con un unico pagamento di 290 milioni dopo 3 anni. Quale pagamento è più conveniente per l acquirente? Il confronto viene fatto rispetto ai tassi d interesse composti e alla data odierna: 1) 200 = 120 + 120 (1 + i 1 ) 2 2) i 1 = 80 (1 + i 1 ) 2 = 120 q (1 + i 1 ) 2 = r 120 80 r 120 80 1=22.47% 200 = 290 (1 + i 2 ) 3 200 (1 + i 2 ) 3 =290 q r 3 290 (1 + i 2 ) 3 = 3 200 r 290 i 2 = 3 200 1=13.18% E più conveniente la seconda forma di pagamento. 1.5 Es. 2 Unneopensionatohaaccumulatoinunalungavitadilavoro500milioni. Desidera una pensione posticipata annua di 45 milioni, per quanti anni, al tasso composto del 7%, il capitale accumulato gli garantisce da un punto di vista finanziario la pensione desiderata? 5

ln 500 = nx i=1 45 1+ 7 i 100 500 = 45 0.07 45 1 1.07 n 500 = 45 0.07 1 500 0.07 1 500 0.07 45 1 1.07 n 45 =1.07 n =ln 1.07 n n =22.23 1.6 Es. 3 Un lavoratore risparmia alla fine di ogni mese 150.000 e le versa in un fondo di accumulazione che rende il 13% all anno. Ricavare il montante accumulato dopo 15 anni. tasso mensile=i 12 = 1+ 13 1 12 1=0.0102 100 1.7 Es. 4 X179 M = 150 1+ 13 i12 =76.990.577, 28 100 i=0 Determinare il tasso annuo composto che rende equivalenti 98 milioni tra un anno e 104 milioni tra un anno e mezzo. 98 1+i = 104 (1 + i) 1,5 2 104 i = 1=12.62 % 98 6

1.8 Es. 5 Un impresa vende ad una società finanziaria due crediti.il primo credito scade tra nove mesi per un importo nominale di 15 milioni. Il secondo credito scade tra 18 mesi per un importo nominale di 70 milioni. Calcolare l importo versato dalla società finanziaria dato che il tasso d interesse annuo composto èdel16%. 15 70 Importo versato= V = + = 69.448.619, 09 milioni (1 + 0.16) 9 12 (1 + 0.16) 18 12 1.9 Es. 6 Dato un titolo obbligazionario a 2 anni con valore facciale 100 e cedola annua posticipata 4, determinare il suo prezzo sapendo che il tasso annuo a pronti per scadenza un anno è il 6% e il tasso annuo a pronti per scadenza 2 anni è il 14%. 4 Prezzo dell obbligazione = P = (1 + 0.06) 1 + 104 (1 + 0.14) 2 =83.798 1.10 Es. 7 Al tasso del 12% annuo in regime di capitalizzazione semplice, valutare una rendita costituita da 4 termini annui posticipati di 120, 210, 320, 400. Valore della rendita = V = 120 1+0.12 + 210 1+2 0.12 + 320 1+3 0.12 + 400 1+4 0.12 = 782.06 1.11 Es. 8 Si suppone che un impresa generi su un orizzonte temporale infinito un utile di fine anno di 5 miliardi. Quale tasso di rendimento comporta un valore corrente dell impresa pari a 7 volte il suo utile annuo? Si tratta di un problema risolubile con il concetto di rendita perpetua e quindi: Valore dell impresa = utile tasso i = 5 35 =14.29% 7

1.12 Es. 9 Il tasso annuo di interesse in regime di capitalizzazione continua è il 12.7%. E piùconvenientericevere2600tra3mesio2950tra6mesi? Qualeèil tasso annuo che rende finanziariamente equivalenti i due ammontari? Il confronto viene fatto sui valori attuali. V 1 =2600e 0.127 3 12 =2518.75 V 2 = 2950e 0.127 6 12 =2768.5 E più conveniente ricevere 2950 tra 6 mesi. Il tasso che rende equivalenti i due ammontari è: 1.13 Es. 10 2600e i 3 12 =2950e i 6 12 e i 3 12 e i 6 12 e i ( 3 12 + 6 12) = 2950 ³ ln e i 1 4 1 4 ln e i =ln 2950 2600 i =ln = 2950 2600 2600 1 2950 ei 4 = 2600 2950 =ln 2600 2950 2600 / 1 4 =50.51% Determinare la rata costante annua anticipata da versare oggi per rimborsare un prestito di 55 milioni di durata 5 anni al tasso del 7%. R = 55 = 4X i=0 R 1+ 7 i 100 55 0.07 =12.53 milioni 1.07 1.07 4 8

1.14 Es. 11 Un impresa argicola acquista concimi e disserbanti all inizio di ogni trimestre per 15 milioni. Il fornitore propone all impresa agricola un unico acquisto a inizio d anno con uno sconto del 30%. Sapendo che il tasso composto annuo per l impresa è del 7%, stabilire se la proposta del fornitore è conveniente per l impresa. 15 (1 + 0.07) 0 + 15 15 15 + + 42 (1 + 0.07) 1 4 (1 + 0.07) 2 4 (1 + 0.07) 3 4 58.49 42 la proposta è conveniente per l impresa. 1.15 Es. 12 Calcolare il tasso annuo d interesse di un investimento di 24 milioni che dopo 5 anni garantisce il montante di 38 milioni in capitalizzazione continua. 38 24 = 38e i5 ln 24 i = =9.19 5 1.16 Es. 13 Calcolare la rata costante anticipata da versare all inizio di ogni anno per ottenere tra 15 anni, al tasso composto annuo del 6%, un capitale di 60 milioni. R = 60 = 15X i=1 R 1+ 6 i 100 60 0.06 1.06 16 1.06 = 2431854.56 9

1.17 Es. 14 La struttura per scadenza in regime composto è la seguente: SCADENZE TASSI 1anno 7% 2anni 8% 3anni 8.5 % determinare il prezzo corrente di un titolo che dà diritto ad incassare 14, 14 e 114 tra 1,2 e 3 anni. Prezzo = 1.18 Es. 15 14 (1 + 0.07) 1 + 14 (1 + 0.08) 2 + 114 (1 + 0.085) 3 =114.34 Luigi investe 100 milioni in un fondo obbligazionario che rende il 15% composto all anno. Alla fine di ogni anno Luigi preleva il doppio degli interessi maturati nell anno. Dopo quanti anni il capitale del fondo scende sotto i 10 milioni? Azione di Luigi ogni anno: 1.19 Es. 16 100 (1 + 0.15) 100 0, 15 2=100(1 0.15) 100 (1 0.15) t 10 0.85 t 0.1 t ln 0.1 ln 0.85 =14.17 Un commerciante può pagare una fattura di 900000 tra 60 giorni oppure subito con uno sconto del 5%. Quale è il tasso d interesse annuo implicito nel pagamento a scadenza nel regime semplice con anno commerciale? 900000 0.95 = 900000 1+ 60 360 i i =31.58 10

1.20 Es. 17 Un buono postale fruttifero raddoppia l importo versato dopo 42 mesi. Calcolare il tasso di rendimento annuo composto per un investimento di durata 42 mesi. Calcolare inoltre il tasso annuo composto netto nell ipotesi che dopo 42 mesi gli interessi siano tassati con aliquota 12,5%. 2C = C (1 + i) 7 2 2 2 7 =(1+i) i =21.90% C +(2C C) 0.875 = C (1 + i) 7 2 (1.875) 2 7 =(1+i) i =(1.875) 2 7 1 1.21 Es. 18 Al tasso del 12% annuo in regime di capitalizzazione continua, valutare una rendita costituita da 3 termini annui anticipati di 160, 370, 110. Valore della rendita = V = 160 + 370e 0.12 +110e 0.12 2 =574.69 1.22 Es. 19 Un imprenditore tessile ottiene in prestito una somma e dopo 3 anni una somma doppia della precedente. Dopo altri 3 anni restituisce 250 milioni estinguendo il debito. Sapendo che il tasso semestrale composto è del 3%, calcolare la somma iniziale. i =(1+0.03) 2 1=6.09% 1.23 Es. 20 X (1 + 0.0609) 6 +2X (1 + 0.0609) 3 = 250 X = 65565000 Determinare l importo ottenuto in prestito da un impiegato che ha uno stipendio annuo di 40 milioni e ha chiesto alla sua azienda un prestito di durata triennale cedendo alla fine di ogni anno un quinto dello stipendio e considerando un tasso d interesse composto dell 11% 11

X = 3X i=1 8 1+ 11 i = 19549717.72 100 12