Correti a superficie libera 5 F p (8-) La proiezioe su s della forza di ierzia è ivece pari a: d ρ A ds ρ A ds + (8-) dt Sommado le (8-3), (8-4), (8-9), (8-0), (8-), (8-) e uguagliado a zero si ottiee: + + g g FR i ρ g A ds (8-3) L ultimo termie della (8-3) rappreseta il rapporto tra la forza resistete e il peso del volume di fluido. Posto tale termie pari a J P, la (8-3) si scrive: ovvero + g Tale equazioe può ace scriversi dz f ds + + g + i g ( ) J E J P g P J P g (8-4) (8-5) (8-6) mostrado ce el moto vario, il carico idraulico E o è ecessariamete decrescete el verso delle s cresceti, come ivece avviee el moto permaete. Le equazioi (8-4) e (4-56) rappresetao le equazioi del De Sait eat e costituiscoo u sistema di equazioi differeziali alle derivate parziali elle icogite (s,t) e (s,t). Il problema matematico è completato associado a tali equazioi, le opportue codizioi al cotoro e iiziali. Tale problema può essere risolto per via umerica. Nello studio delle correti a superficie libera i moto vario, è utile far riferimeto alla celerità di propagazioe del tirate, ovvero la velocità co la quale si dovrebbe muovere u osservatore per riscotrare u valore costate del tirate. Si cosiderio pertato due profili idrici rispettivamete all istate t e t (Figura 8-9).
5 Dispese di Idraulica Figura 8-9 Per quato detto la celerità di propagazioe del tirate * sarà pari a: s * s * (8-7) t * t t Ricordado ce il differeziale totale della fuzioe (s, t) è pari a d dt + ds (8-8) ce per l osservatore solidale al tirate deve essere ullo e quidi si può scrivere d dt + ds 0 (8-9) otteedo l espressioe della celerità di propagazioe del tirate pari a ds t (8-30) dt I modo aalogo si può otteere l espressioe della celerità di propagazioe della portata o della velocità Q t Q (8-3) Q
Correti a superficie libera 53 t (8-3) Ciaramete el caso di moto permaete le celerità di propagazioe soo ulle, metre assumoo valore idefiito el caso di moto uiforme. Uo scema esemplificativo della trattazioe delle equazioi del De Sait- eat, è quello di trascurare gli effetti ierziali e le variazioi lugo s del tirate: i questo caso la (8-4) si riduce a i J (8-33) ovvero si ipotizza ce le forze di resisteza si bilacio co le forze gravitazioali. Il termie J viee solitamete espresso tramite ua formula del moto uiforme ce per alvei largissimi può essere scritta come e pertato la (8-33) si scrive k J (8-34) i (8-35) k ce diveta quidi ua fomula del moto uiforme scematizzabile come k i c (8-36) Cosiderado la largezza del caale pari B, la sezioe idrica A può scriversi quidi come ce derivata parzialmete rispetto al tempo diveta A B B (8-37) c A B A (8-38) c Nel caso di utilizzo della formula di Cezy, kk CH e /, metre l utilizzo della formula di Gauckler-Strickler, kk GS e /3.
54 Dispese di Idraulica metre rispetto all ascissa s diveta A A L equazioe di cotiuità (4-56) può scriversi ce tramite le (8-38) e (8-39) diveta ovvero A (8-39) A A + A + 0 (8-40) + A + + + A 0 0 foredo la celerità di propagazioe della velocità (8-4) (8-4) t + ( + ) (8-43) Essedo valida la (8-35), sussiste u legame biuivoco tra velocità e tirate e pertato la celerità di propagazioe della velocità media di portata coicide co quella del tirate e quidi ( + ) (8-44) Da tale equazioe risulta ce il frote dell oda ce si propaga preseta u altezza massima, o colmo di piea, ce o si atteua; l oda ioltre si irripidisce a mote metre si alluga a valle. U altro scema ce preseta ua soluzioe ciusa delle equazioi del De Sait-eat, è quello della rimozioe istataea di uo sbarrameto (argie) di u caale rettagolare orizzotale, a mote del quale al tempo t0 l acqua sia i quiete e co tirate pari a 0 (Figura 8-0). Tale problema è stato affrotato e risolto, ell ipotesi di resisteze trascurabili, per la prima volta da Ritter. I tali ipotesi la (8-4) si scrive + + g g 0 (8-45)
Correti a superficie libera 55 metre l equazioe di cotiuità (4-56) può scriversi + 0 (8-46) Figura 8-0 Se si ipotizza ce la velocità sia fuzioe uivoca del tirate, ovvero ce la vari solo co si può scrivere e d d d d Sostituedo la (8-47) e la (8-48) ella (8-45) si ottiee d g d + + g d d 0 da cui è possibile ricavare la celerità di propagazioe del tirate (8-47) (8-48) (8-49)
56 Dispese di Idraulica d + g (8-50) d Sostituedo ivece la (8-47) e la (8-48) ella (8-46), la celerità di propagazioe del tirate è pari a d + (8-5) d Uguagliado la (8-50) co la (8-5) si ottiee d d ce itegrata forisce l espressioe g ± (8-5) ± g + cost (8-53) Sostituedo ioltre la (8-5) ella (8-5) si ottiee ce tramite la (8-53) diveta g (8-54) ± ±3 g + cost (8-55) Il valore della costate si ottiee impoedo ce ella (8-53) per 0 la 0 ovvero permettedo di riscrivere i defiitiva la (8-53) come cost m g (8-56) 0 ± g m g (8-57) 0 e la (8-55) come ± 3 g m g (8-58) 0
Correti a superficie libera 57 Poicè il feomedo di moto vario ce cosegue alla rimozioe istataea dello sbarrameto comporta tirati miori di 0 e velocità positive (supposto l asse s positivo verso destra), i segi da assegare soo quelli superiori e quidi la velocità si può esprimere tramite la relazioe g 0 g (8-59) metre la celerità di propagazioe dei tirati si scrive come g 0 g (8-60) 3 L ascissa s alla quale si stabilisce u determiato tirate si può valutare tramite l espressioe s t ( g 0 3 g )t (8-6) esprimibile ace come g 0 s (8-6) g 3 3 t Tale relazioe permette di valutare il profilo idrico per ogi istate di tempo t: si ota ce oguo di essi è parabolico e passate per il puto ce ad ascissa ulla fa corrispodere il tirate 4/9 0 (Figura 8-0). Ioltre dalla (8-60) si ota ce il puto di passaggio dalle codizioi di quiete a quelle di moto ( 0 ) si sposta co celerità pari a g 0 0 (8-63) ovvero verso poicé egativa. Il puto al quale ivece corrispode u tirate ullo si muove co celerità g 0 0 (8-64) ovvero verso valle poicé positiva e i modulo doppia rispetto a quella del tirate 0. Al fie di tracciare la liea dei carici, si cosideri il carico idraulico valutato rispetto al fodo del caale H pari a ce tramite la (8-59) diveta H + (8-65) g
58 Dispese di Idraulica H + 3 + 0 4 0 (8-66) g Per valori di 0, H 0 ; per 4/9 0, H/3 0 ; metre per 0, H 0. La liea dei carici, tratteggiata i Figura 8-0, è pertato ua parabola co vertice sulla posizioe al tempo t0 dell argie. Dall adameto della liea dei carici si ota ce, cotrariamete a quato avviee el moto permaete, o ecessariamete l acqua si muove el seso declive della liea dei carici. 8.4. Correti lete e veloci La defiizioe del carico idraulico H, cosete di itrodurre u importate suddivisioe tra le correti ce possoo defluire i u alveo a parità di portata. I Figura 8- è rappresetata la fuzioe H() il cui adameto preseta due asitoti: uo verticale per tedete a zero i quato la velocità va all ifiito e co essa l altezza cietica, ed uo obliquo, coicidete co la bisettrice del primo quadrate, per tedete all ifiito, i quato l altezza cietica tede ad aullarsi. Pertato la fuzioe preseta u puto di miimo relativo ce idividua codizioi cosiddette di stato critico. I tale puto il carico H mi, è il miimo possibile ed è detto carico critico metre il tirate corrispodete è detto tirate critico. Figura 8- Le correti ce presetao tirati iferiori al tirate critico predoo il ome di correti veloci percé caratterizzate da velocità medie di portata