Matematica di base per l Acustica lacustica - Parte 4 Massimo Garai DIENCA - Università di Bologna http://acustica.ing.unibo.it Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 1 2009 Numeri naturali Numeri 123 1, 2, 3,... Numeri relativi + a = b = b - a 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 2 Matematica di base per l'acustica 1
Numeri Numeri raionali Massimo Garai - DIENCA, a = Università b = b/a di Bologna (a 0) - Copyright 2009 Numeri irraionali 2,, e Numeri reali raionali + irraionali Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 3 2009 Numeri immaginari Non esiste un numero reale che sia soluione dell equaione equaione (4.3) Massimo Garai - DIENCA, Università 2 + 1 = di 0 Bologna - Copyright 2009 Poiché dovrebbe essere 2 = -1??? Allora si introduce l unità immaginaria i i i i 2 = -1 per definiione 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 4 Matematica di base per l'acustica 2
Numeri complessi (rappresentaione algebrica) Sono del tipo (4.5) Massimo Garai - DIENCA, Università a + ib di Bologna - Copyright 2009 Parte reale Re[a + ib]=a Parte immaginaria Im[a + ib]=b Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 5 2009 Numeri complessi (rappresentaione algebrica) Numeri ireali Massimo Garai - DIENCA, b Università = 0 a + di ib Bologna = a - Copyright 2009 Numeri immaginari puri Massimo Garai - DIENCA, a Università = 0 a + di ib Bologna = ib - Copyright 2009 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 6 Matematica di base per l'acustica 3
Numeri complessi Eguagliana a + ib = c + id a= c e b= d Addiione (4.7) (a + ib) + (c + id)=(a + c) + i(b+ d) Moltiplicaione (4.8) (a + ib)(c + id)=ac + iad +ibc + i 2 bd = Massimo Garai =(ac - DIENCA, - bd) +i(ad Università + bc) di Bologna - Copyright 2009 Zero complesso (4.9) 0 = 0 + 0i Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 7 2009 Esempio (4.10) Si confrontino i due numeri complessi 1 = 8 + 2i e 2 = 3 + 9i 8 > 3 ma 2 < 9??? Massimo Garai La - DIENCA, proprietà di Università ordinamento di Bologna non è valida - Copyright 2009 per i numeri complessi 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 8 Matematica di base per l'acustica 4
Modulo (4.11) a ib a b (4.12) Massimo Garai (4.13) - DIENCA, 1Università 1 di Bologna - Copyright 2009, 2 0 2 2 12 1 2 2 2 Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 9 2009 Modulo Massimo Garai (4.14) - DIENCA, Università 1 2 di 1 Bologna 2 - Copyright 2009 (4.15) 1 2 1 2 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 10 Matematica di base per l'acustica 5
Rappresentaione algebrica astratta Numeri complessi = coppie ordinate di numeri reali del tipo (a,b) L ordine della coppia è esseniale (2,3) (3,2) Massimo Garai Eguagliana - DIENCA, (4.16) Università di Bologna - Copyright 2009 (a,b)=(c,d) a= c e b= d Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 11 2009 Rappresentaione algebrica astratta Addiione (4.17) Massimo Garai - DIENCA, (a,b) + Università (c,d)=(a di + c Bologna, b+ d) - Copyright 2009 Moltiplicaione (4.18) (a,b) (c,d)=(ac - bd, ad + bc) Moltiplicaione li i per uno scalare (4.19) m(a,b)=(ma, mb) 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 12 Matematica di base per l'acustica 6
Esempi Numero reale 1 (1,0) Numero reale -1 (-1,0) Numero reale 0 (0,0) Unità immaginaria i (0,1) (0,1)(0,1) = (-1,0) Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 13 2009 Rappresentaione geometrica Numero complesso (a,b) (,y) Massimo Garai Coordinate - DIENCA, di Università un punto del di Bologna piano - (,y) Copyright 2009 Vettore bidimensionale (,y) Rappresentaioni t i iequivalenti ti oggetti equivalenti 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 14 Matematica di base per l'acustica 7
parte immaginaria Piano di Argand-Gauss y coordinate di un punto (,y) = numero complesso vettore parte reale Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 15 2009 Complesso coniugato iy iy Massimo Garai - DIENCA, Università y di Bologna - Copyright 2009 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 16 Matematica di base per l'acustica 8
Complesso coniugato (4.22) 1 2 1 2 (4.23) 1 2 1 2 (4.24) 1 / 2 1 / 2 (4.25) 2 2 y 2 Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 17 2009 Rappresentaione trigonometrica y 2 2 y r y, tan r cos y r sin y r (,y) = 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 18 Matematica di base per l'acustica 9
Rappresentaione trigonometrica Massimo Garai (4.28) - DIENCA, Università iy r cos di Bologna i sin- Copyright 2009 r modulo di Massimo Garai 0- DIENCA, < 2 Università argomento g di Bologna principale p- Copyright di 2009 Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 19 2009 Formula di Eulero y B (0, 1) P T C (-1, 0) A (1, 0) O M D (0, -1) 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 20 Matematica di base per l'acustica 10
Formula di Eulero (4.29) e i cos i sin e i vettore di modulo uno ruotato di in senso antiorario Massimo Garai e- i DIENCA, operatore Università di rotaione di Bologna di in - senso Copyright 2009 antiorario Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 21 2009 Formula di Eulero y e i O 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 22 Matematica di base per l'acustica 11
Generaliaione i (4.30) re r cos i sin = + iy e w = u + iv w uiv Massimo Garai - DIENCA, iy euniversità e di ebologna cos v - i Copyright sin v 2009 r = e u e = v (4.30). Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 23 2009 u Esempio Massimo Garai Quale - DIENCA, rotaione Università è rappresentata di Bologna - Copyright 2009 dall operatore e i? y i Massimo Garai e - DIENCA, 1 Università di Bologna e 1 - Copyright 0 2009-1 e i O 1 i 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 24 Matematica di base per l'acustica 12
Onda piana it i it i( t ) (4.40) 40) p ( t ) Pe P 0 e e P 0 e ampiea complessa P i ampiea reale P 0 P P0 e Massimo Garai fase - DIENCA, iniiale iiil Università di Bologna - Copyright 2009 i( t ) p( t) ReP e P cos( t ) Re 0 0 Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 25 2009 Onda piana y P 0 e i(t+) P 0 e i O 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 26 Matematica di base per l'acustica 13
Impedena acustica specifica p i r i e Massimo Garai - DIENCA, Università u di Bologna - Copyright 2009 resistena reattana Massimo Garai Analoga - DIENCA, alla legge Università di Ohm di dell elettrotecnica Bologna - Copyright 2009 v( t) Z i( t) Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 27 2009 Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Impedena d acustica caratteristica ti 0,754 0, 732 Massimo Garai - DIENCA, Università 0 f di Bologna - Copyright 0 f 2009 Z0( f ) 0c1 0,0571 i0, 087 r r Costante di propagaione p resistività al flusso Massimo Garai - DIENCA, Università 0,700 di Bologna - Copyright 0, 595 2009 f 0 ( ) 1 0,0978 0 0, 189 f f ik i r r 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 28 Matematica di base per l'acustica 14
Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Impedena d acustica di superficie i (strato t poroso di spessore d su fondo rigido) Z( f ) Z0( f )coth( ( f ) d) Massimo Garai Cotangente - DIENCA, iperbolica Università di Bologna - Copyright 2009 e e coth( ) e e Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 29 2009 Esempio: modello di Delany & Baley per materiali fibrosi Coefficiente i t di assorbimento acustico 2 Massimo Garai - DIENCA, Università Z( f ) 0c di Bologna - Copyright 2009 n( f ) 1 Z( f ) 0c Condiione di validità Massimo Garai - DIENCA, 0 f Università di Bologna - Copyright 2009 0,01 1 r 20/05/2009 Massimo Garai - Università di Bologna 30 Matematica di base per l'acustica 15
Matematica di base per l Acustica lacustica - Parte 4 Fine Massimo Garai - DIENCA, Università Massimo Garai di Bologna - Copyright 2009 DIENCA - Università di Bologna http://acustica.ing.unibo.it Massimo Garai 20/05/2009 - DIENCA, Massimo Università Garai - di Bologna - Copyright 31 2009 Matematica di base per l'acustica 16