Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Grandee scalari e vettoriali In isica tutte le grandee si suddividono in quantità scalari, vettoriali, o ancora più complesse (es. matrici). Come conseguena di questa classificaione in ogni legge fisica del tipo: A = B A e B debbono essere sempre grandee omogenee: scalare = scalare oppure vettore = vettore Grandee scalari: per essere completamente definite hanno bisogno di un solo numero: temperatura, massa, lunghea sono grandee fisiche scalari Grandee vettoriali: per essere completamente definite hanno bisogno di più numeri; esempi sono la posiione nello spaio, lo spostamento, la velocità, l acceleraione, la fora

Grandee scalari e vettoriali Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti, basta dire: sono alto 180 cm, non serve aggiungere altro, poiché l altea è una grandea scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posiione nello spaio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posiione in generale è un VETTORE una dimensione due dimensione tre dimensioni

Vettori Per definire una grandea vettoriale abbiamo bisogno dei vettori. Un vettore si indica mediante una freccia. Il vettore è definito da 3 proprietà: lunghea o modulo direione ovvero la retta su cui il vettore giace verso indicato dalla punta della freccia La freccetta sopra il simbolo v indica che si tratta di un vettore e non di uno scalare A volte nelle formule invece della freccetta si usa indicare il vettore scrivendo il simbolo in grassetto: in tal caso v indica il vettore, mentre v indica il suo modulo

Componenti del Vettore Un vettore può essere decomposto in componenti usando un sistema di riferimento, detto anche riferimento Cartesiano (dal grande matematico francese René Descartés) La Hae en Touraine 1569 Stoccolma 1650 In dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da due assi e ortogonali che si incrociano in un punto detto origine, In 3 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da tre assi ortogonali,,,,,,, si dicono componenti o coordinate cartesiane del vettore

Somma dei vettori: metodo matematico G S G S G S Siano dati vettori = (,, ) e G = (G, G, G ). Calcolariamo il vettore somma dei due vettori; chiamiamolo S = (S, S, S ),, G G G G S La somma di e G è un vettore S le cui componenti sono la somma delle componenti corrispondenti di e G 4 G 4 6 6 S ESERCIZIO in D: dati e G, calcolare il vettore somma S = (4, ); G = (, 3) S = (6, 5) 1 3 5 0 1 3 5

Somma dei vettori: metodo grafico Metodo del parallelogramma: dati due vettori e G connessi in un punto, si disegna un parallelogramma di lati e G; il vettore S è dato dall asse diagonale del parallelogramma, ovvero dal segmento che parte dal punto in comune e termina nel vertice opposto G S G S G S Metodo punta-coda: si trasla G nello spaio in modo che l origine di G coincida con la punta di ; il vettore somma S connette l origine di con la punta di G S S G G G S

Differena di vettori D G G, G, G G G G D il vettore differena D è dato dall asse diagonale che connette le punte di e G Per verificare che ciò è vero, basta considerare il fatto che: G D Applichiamo il metodo punta-coda per sommare G + D: si vede immediatamente che G + D =

Modulo del vettore 3 Il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti lungo gli assi. 4 Ad esempio, nel caso in figura si ha =, = 4, = 3 ; il modulo è dato da: 4 3 4 16 9 9 5.38 3 Nel caso bidimensionale a fianco = (6,3) 36 9 45 6.7 6

Operaioni vettoriali Prodotto di vettore per scalare a a a a a, a, a a a G G G Prodotto scalare tra vettori = (,, ) e G = (G, G, G ); si indica con un puntino tra i vettori G G G G Gcos G Molto utile per calcolare l angolo formato dai vettori

Operaioni vettoriali Eserciio: calcolare l angolo formato dai vettori: 5,1 G 0,5 Dalle componenti calcolo il prodotto scalare e i moduli dei due vettori: G G G 5 G G G 5 6 5.1 G 1 5 Per ricavare l angolo utilio la formula: G Gcos G 5 cos 0. G 5.15 196 o 0.196 78 cos 1

Cinematica del punto materiale La cinematica descrive il moto dei corpi nel tempo e nello spaio. Il corpo è descritto come un punto materiale sena dimensioni proprie, che si muove nello spaio. La posiione è sempre definita rispetto a un sistema di riferimento e anche il cambio di posiione (spostamento) è relativo al sistema di riferimento. Dal punto vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi. Esempio: una persona siede in un treno ed una è ferma sul binario; se il sistema di riferimento è solidale col binario, la persona sul treno si muove; ma se il sistema di riferimento è solidale col treno, è la persona ferma sulla banchina a muoversi!!

Vettore spostamento La posiione è definita da un vettore. Il vettore spostamento è la differena di due vettori posiione; il vettore spostamento è particolarmente utile in cinematica poiché è indipendente dall origine del riferimento. Se cambia l origine i vettori posiione cambiano ma non lo spostamento.

Traiettoria e legge oraria del moto Consideriamo un piano (,) ed un moto bidimensionale. Il punto P indica ad esempio la posiione della nostra automobile sulla mappa. Indichiamo con P 1, P, P 3, P N i punti della traiettoria percorsa dall auto agli istanti t 1, t, t 3, t N. L insieme dei punti dello spaio occupati nel tempo da P è detto traiettoria Il moto del punto P nel piano si esprime mediante una funione: P ( t), ( t) Per conoscere completamente la traiettoria di P ad ogni istante t devo conoscere l evoluione nel tempo delle sue componenti,, ovvero devo conoscere la legge oraria del moto di P che significa?

0 1 3 4 Traiettoria e legge oraria del moto Esempio: costruire la traiettoria dei punti P relativi alla seguente tabella oraria del moto: P 3 P 0 (0,1) P P 1 (1,) P (,3) P 3 (3,4) P 0 P 1 0 1 3 4 è un moto rettilineo uniforme: rettilineo poiché percorre una linea retta; uniforme perché ogni secondo P percorre un segmento di uguale lunghea: ovvero la velocità di P è costante

Velocità in 1 dimensione Si consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posiione = 0 a t = 0 e =5 m a t = s In un intervallo di tempo t = s il corpo ha effettuato uno spostamento =5 m Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realiato nel verso concorde alla freccia. La direione è quella della retta Definiamo velocità all istante t=0 il rapporto tra lo spaio percorso ed il tempo impiegato 3 5m m 10 Km v.5.53600 9 t s s h Km h Si noti che in 1D velocità e spostamento sono quantità scalari

Velocità in 3 dimensioni In più dimensioni, o 3 (piano o spaio) lo spostamento è un vettore, e dunque anche la velocità è un vettore: v t, t, t s t In or 3 dimensioni la velocità è un vettore le cui componenti sono date dal rapporto tra le componenti dello spostamento e l intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento Velocità e spostamento hanno stessa direione e verso v v v

Velocità in 3 dimensioni Eserciio: calcolo la velocità di un moto 3D t(s) X(m) Y(m) Z(m) 10 100 100 100 15 600 600 00 3 500m m 10 Km v 100 1003600 360 t 5s s h Km h v v v v 360 Km h v p v 100m m v 0 7 t 5s s Km h v v v v v 514 Km h v v v p 510 Km h

Velocità della luce nel vuoto La luce nel vuoto viaggia ad una velocità costante (si indica con c) c velocità della luce: t t c c Km 300000 310 s Eserciio: calcolare il tempo impiegato dalla luce ad arrivare sulla Terra partendo dal Sole. E un problema inverso in 1 D: conosco la velocità e la distana percorsa e voglio calcolare il tempo impiegato 8 m s ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo distana Terra-Sole: 6 15010 Km Il tempo impiegato dalla luce: 6 15010 Km t s 500s 5 310 Km

Velocità della luce nel vuoto Eserciio: calcolare la distana percorsa dalla luce in 1 ora c t ct ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo 5 Km 310 3600s 1.110 s 9 Km In un ora la luce percorre un miliardo di Km! Plutone, il pianeta più esterno del Sistema Solare, dista circa 6 miliardi di Km, dunque la luce che parte dal Sole impiega circa 6 ore per raggiungerlo

Velocità classica e relativistica Secondo la teoria della relatività di Einstein, la velocità della luce è la massima velocità ammessa dalle leggi della fisica; inoltre soltanto entità prive di massa (come ad esempio i neutrini) possono pareggiare la velocità della luce Le leggi della meccanica classica sono valide per velocità inferiori a circa 10 5 m/s = 100 Km/s. Al di sopra di questo limite bisogna applicare la relatività di Einstein. Nessun oggetto meccanico (un rao, una navicella spaiale) può minimamente avvicinare queste velocità, per cui la meccanica classica va benissimo. La relatività entra in gioco quando abbiamo a che fare con le onde elettromagnetiche, o particelle molto veloci come gli elettroni; per esempio i ricevitori satellitari gps usano onde elettromagnetiche, oppure negli acceleratori di particelle elementari

Conseguene della relatività Se un corpo viaggiasse a velocità vicine a quella della luce, succederebbero cose incredibili!! nel regime relativistico tutta una serie di principi validi per la meccanica classica non valgono più. A velocità relativistiche succede che: la massa di un corpo non è più costante: può tramutarsi in energia e viceversa (E=Mc ) tempo e lo spaio non sono più dimensioni indipendenti; esse sono interconnesse, ed esiste una sola entità in 4 dimensioni: lo spaiotempo; se ci si muove a velocità relativistiche le lunghee si contraggono e il tempo rallenta!! v t t 0 1 c Se un astronauta parte con una navicella che viaggia a v = 80 Km/s e dopo un tempo t 0 = 40 anni torna sulla terra, il tempo da lui trascorso sull astronave è t =14.36 anni; lui sarà ancora giovane, mentre il fratello gemello sarà molto invecchiato

Velocità uniforme e istantanea Se la velocità è uniforme, essa si calcola come: Dalla velocità si ottiene lo spostamento nel tempo mediante la formula inversa: s v t s v t Consideriamo la traiettoria del punto P in figura: la direione cambia istante per istante: non è un moto con velocità costante s P Se calcolassimo la velocità dividendo lo spostamento s tra punto iniiale e punto finale della traiettoria per il tempo t faremmo un errore grossolano quando la velocità non è costante dobbiamo ricorrere al concetto di velocità istantanea

Velocità istantanea Per calcolare la velocità istantanea, decomponiamo la traiettoria in piccolissimi segmenti ds, percorsi dal punto P in un piccolissimo intervallo di tempo dt; durante quell intervallino la velocità si può considerare costante in modulo, direione e verso. La velocità istantanea si può ancora definire come il rapporto tra spostamento e tempo impiegato, ma nel limite di piccolissimi intervalli di tempo. v( t) ds ds dt In ogni punto della traiettoria i vettori v e ds hanno sempre stessa direione e verso; dunque la velocità è sempre tangeniale (ovvero diretta tangenialmente) alla traiettoria in ogni suo punto In generale la velocità istantanea (chiamiamola velocità) varia istante per istante in modulo, direione e verso; dunque la esprimiamo come un vettore dipendente dal tempo v(t)

Velocità media del tragitto In generale la velocità cambia continuamente in modulo e direione lungo un percorso; si dice velocità media, indicata con <v>, il valor medio del modulo della velocità calcolato istante per istante durante il tragitto Se misuriamo N volte la velocità durante il percorso, il valor medio è la somma dei valori misurati diviso il numero di misure v v( t ) v( t) v( t3) v( t4) N 1... v ( t 4 ) v ( t 3 ) v v ( t ) ( t 1 ) Nel caso del moto rettilineo uniforme, la velocità media coincide con la velocità istantanea in un istante qualsiasi v v( t1) v( t) v( t3) v( t4) v ( t 1 ) v ( t ) v ( t 3 ) v ( t 4 )

a v t Acceleraione Se la velocità cambia in modulo, direione, o verso significa che il moto è accelerato; si definisce acceleraione (si indica con a) il rapporto tra la variaione di velocità ed il tempo si misura in: Eserciio in 1 dimensione: data la legge oraria di un treno in fase di partena, si calcoli la velocità e l acceleraione in funione del tempo m s t(s) X(m) 0 0 5 0 10 100 15 00 0 400 5 600 v(m/s) v(km/h) 0 0 4 14.4 16 57.6 0 7 40 144 40 144 a(m/s ) 0 0.8.4 0.8 4 0

v 0 Acceleraione Moto rettilineo uniforme: ad ogni istante di tempo la velocità è uniforme, per cui la variaione della velocità è sempre nulla a 0 v ( t 1 ) v ( t ) v ( t 3 ) v ( t 4 ) Moto uniformemente accelerato: ad ogni istante l acceleraione è uniforme, ovvero costante in modulo, direione e verso a v t costante Se a è costante si ha che: v a t Acceleraione variabile: velocità e acceleraione variano liberamente nel tempo, e si calcolano nel limite di spostamento infinitesimo in un determinato istante di tempo a( t) dv( t) dt

Moto parabolico Il moto parabolico è un moto uniformemente accelerato. Esempio: un cannone posto ad un altea h dal livello del mare spara palle di ferro con velocità v parallela al suolo; il proiettile è sottoposto all aione della fora di gravità che imprime un acceleraione uniforme in direione verticale rivolta verso il basso, uguale in modulo all acceleraione di gravità g La velocità oriontale resta uguale a v lungo tutto il tragitto, mentre la velocità verticale orientata verso il basso v aumenta secondo la legge: v = gt La traiettoria percorsa dall oggetto è la parabola blu in figura h a g v g t v

Moto circolare uniforme Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo e tangente alla traiettoria circolare in ogni punto. Poiché la direione della velocità cambia da punto a punto, la velocità non è costante, e dunque il moto è accelerato In ogni punto della traiettoria l acceleraione è sempre diretta verso il centro del cerchio, e per questo è detta centripeta (a c ). Se v è il modulo della velocità ed r il raggio del cerchio, si può dimostrare che l acceleraione centripeta in modulo è data dalla formula: v a c r v Il moto circolare uniforme ha enorme importana poiché ricorre in molti fenomeni naturali ed applicaioni tecnologiche. Approssimativamente, il moto dei corpi celesti attorno al proprio centro di gravità può considerarsi circolare uniforme. r a c