5. SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari MATEMATICA C -ALGEBRA 5. SISTEMI NON LINEARI Canterbury Cathedral by Bortescristian http://www.flickr.com/photos/bortescristian/508747705 Lecenza Attribution, Share Alike.0 SISTEMI NON LINEARI 1

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari SISTEMI NON LINEARI 1. Sistemi di secondo grado Un sistema di equazioni non è altro che l'insieme di più equazioni con le stesse incognite. L'insieme delle uzioni è dato dall'intersezione degli insiemi delle uzioni delle singole equazioni. Diamo la seguente definizione DEFINIZIONE. Il grado di un sistema di equazioni, se le equazioni che formano il sistema sono costituite da polinomi, è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Determinare il grado dei seguenti sistemi di equazioni A) x y=4 x 5 y =0 La prima equazione e la seconda equazione sono di primo grado. Il sistema è di primo grado x y=0 B) x 6 y 9=0 La prima equazione è di primo grado, la seconda equazione di secondo grado. Il sistema è di secondo grado. C) x y =0 y= x x 6=0 La prima equazione è di secondo grado, come la seconda. Il sistema è di quarto grado. I sistemi di secondo grado sono dunque composti da una equazione di secondo grado e da una equazione di primo grado. Sistemi di secondo grado numerici x y=0 x 6 y 9=0 Utilizziamo il metodo di sostituzione che abbiamo già visto per i sistemi di primo grado. Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x x 6 x 9=0 y= x x 4 x 9=0 y= x 5 x 9=0 Rivere l'equazione di secondo grado in una a incognita. Questa equazione è detta equazione rivente del sistema. 5 x 9=0 x 1 = 5 x = 5 Si sostituiscono i valori trovati per la x nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della y. Le coppie x 1 e x y se ci sono, si dicono uzioni del sistema. y= x 5 x 9=0 x1= 5 = 5 = 6 5 x= 5 y = 5 = 6 5 5 6 5 5 6 5 x y=0 Nel corso degli studi vedremo come le uzioni del sistema possono essere interpretate x 6 y 9=0 geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall'equazione y= x e l'ellisse rappresentata dall'equazione x 6 y =9. Con un software matematico come Geogebra inseriamo le due SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari equazioni e otteniamo la seguente figura. I punti A e B, intersezione tra la retta e l'ellisse corrispondono alle uzioni del sistema. 1 Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x y=1 x 5 y =6 Ricaviamo y dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione:. y= x 5 y =6 y= x 5 =6 y= 1 x =0 Rivere l'equazione rivente di secondo grado le uzioni sono x 1 =1 x = 1 1 Si sostituiscono i valori trovati per la x nella equazione di primo grado per trovare i valori 1 1 1 corrispondenti della y. x 1=1 = x = 1 1 y = Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x 5 y = Ricaviamo x dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione: x= x 5 y = x= 5 y = x= y 1 5 y =0 Rivere l'equazione rivente di secondo grado le uzioni sono = y = 1 5 Si sostituiscono i valori trovati per la y nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della x. 1 5 x 1= = x = y = 1 5 x 5 y= Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x y =4 Ricaviamo x dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione:. x= x y =4 x= y =4 x=5y 0 y=0 Rivere l'equazione rivente di secondo grado le uzioni sono =0 y = 0 7 Si sostituiscono i valori trovati per la y nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della x. x 1= =0 x = y = 0 7 0 0 7 SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari x y= x y x 1=0 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado, e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x x x x 1=0 y=x x x 1=0 Rivere l'equazione di secondo grado in una a incognita. L' equazione rivente del sistema. x x 1=0 ha il discriminante uguale a zero e due uzioni reali coincidenti: x 1 = x =1. y= x Il sistema ha due uzioni reali coincidenti, x x 1=0 x=1 1 y=1 = x y= La uzione del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di x y x 1=0 incontro tra la retta rappresentata dall'equazione y= x e la parabola rappresentata dall'equazione y= x x 1. La uzioni saranno due punti reali coincidenti. Questo punto è detto punto di tangenza tra retta e parabola. Ecco come appare la rappresentazione grafica ottenuta con Geogebra. x y=1 4 Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x y =1 Ricaviamoci x dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione:. x= 1 y x= 1 y x= 1 y x y 1 y =1 y 1=0 4 y y 4 =0 Rivere l'equazione rivente che ha il discriminante uguale a 0. Ci sono due uzioni reali coincidenti: =y =1 Si sostituisce il valore trovati per la y nella equazione di primo grado per trovare il valore corrispondente della x. x 1=x = 1 = y =1 SISTEMI NON LINEARI 4

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x y =4 x y= 9 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado,e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x x x 4=0 y= x x 4 9 x 4 x 9 4=0 y= x 1 9 x 4 x 5=0 Rivere l'equazione di secondo grado in una a incognita. Questa equazione è detta equazione 1 rivente del sistema. 9 x 4 x 5=0. Il discriminante dell'equazione è negativo: =16 60 0, quindi l'equazione non ha uzioni reali e I : S=. 9 Il sistema non ha uzioni reali e il sistema si dice impossibile. Le uzioni del sistema x y =4 possono essere interpretate geometricamente come i punti di x y= 9 l'intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le uzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva. In base al segno del discriminante dell'equazione rivente abbiamo: 0 le uzioni del sistema sono le coordinate di due punti distinti. =0 le uzioni del sistema sono le coordinate di due punti coincidenti 0 il sistema non ha uzioni reali. Retta e curva non hanno punti in comune. 0 =0 0 SISTEMI NON LINEARI 5

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari 5 x y= 5 Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x y =1 Ricaviamoci y dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione:. y= 5 x y= 5 x y= 5 x x y =1 x 5 x =1 1 4 x 15 x 1 4 =0 Riviamo l'equazione associata. In questo caso il discriminante dell'equazione è negativo. Non ci sono uzioni reali Il sistema è impossibile. x y =0 x y=0 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado,e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x x x =0 y= x x x =0 y= x 0=0 L' equazione rivente del sistema in questo caso è una identità (uguaglianza vera) e tutte le coppie formate da numeri opposti (la prima equazione ci vincola ad avere y= x ) sono uzioni del sistema: k R I.S.= k k. Il sistema ha infinite coppie di numeri reali che lo soddisfano e si dice indeterminato. x y =9 x y=0 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado,e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x x x =9 y= x x x =9 y= x 0=9 L' equazione rivente del sistema in questo caso è una contraddizione (uguaglianza falsa). Il sistema è impossibile. x y =4 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado,e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nella equazione di secondo grado a ogni occorrenza dell'incognita iata. y= x 1 x x 1 4=0 y=x 1 x x x 1 4=0 y=x 1 x=5 L' equazione rivente del sistema in questo caso è l'equazione di primo grado x 5=0, la cui uzione è x= 5. Si sostituisce il valore trovato nell'altra equazione e troviamo la uzione del sistema che in questo caso è unica: y= x 1 x=5 x= 5 y= 5 1= 5 SISTEMI NON LINEARI 6

Conclusione www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Se l'equazione rivente è di secondo grado in base al discriminante abbiamo: 0 : l'equazione rivente è impossibile: in questo caso anche il sistema risulta essere impossibile. =0 : l'equazione rivente ha due uzioni coincidenti: in questo caso il sistema si completa sostituendo il valore trovato nell'equazione di primo grado. Il sistema ha due uzioni coincidenti. La uzione è una coppia ordinata di numeri reali. 0 : l'equazione rivente ha due uzioni distinte: si sostituisce allora ciascuno dei due valori trovati nell'equazione di primo grado. Le due coppie ordinate di numeri reali trovate sono entrambe uzioni del sistema. Se l'equazione rivente risulta essere una equazione di primo grado o una uguaglianza vera o falsa. se si ottiene una uguaglianza vera, il sistema è indeterminato se si ottiene una uguaglianza falsa il sistema è impossibile l'equazione rivente è di primo grado determinata, da essa si ricava il valore dell'incognita e si sostituisce tale valore nell'altra equazione. Il sistema ha una a uzione (in questo caso non si parla di due uzioni coincidenti, come nel caso di =0 ). SISTEMI NON LINEARI 7

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivere i seguenti sistemi di secondo grado 6 x y = x y= 7 4 x y 6=0 x= y 8 y y= x y y= x 9 5 x y 4 y x =0 x y=1 10 x y =5 4 x y 7=0 x y= 11 x 4 x y y x y 1=0 x y= 1 x x y y =0 1 x 4 x y 4 y 1=0 x= y 14 x 4 x y 4 y 1=0 x= y 15 x x y 7 x y= 6 x y= x y=1 16 x y x y= x y 7=0 17 x x y=4 x y=0 18 x y x 10=0 19 x y x y x y 4=0 x y 4=0 0 x 4 y =0 4 x 7 y= x y=1 1 x y x=1 x y=1 x y x y y =0 9 x 1 x y 4 y x 6 y=8 x y= x y=4 4 x y =1 5 x y =1 x y=10 6 x y = x y= x y= 7 x y =1 1 1 5 1 x 4 y x=0 x y=1 1 1 1 1 x 6 x y=x x 5 y= 0 6 9 x y x y = y x x y=0 1 1 1 4 1 0 5 1 4 1 4 0 0 5 1 1 4 44 5 117 5 1 1 10 7 11 14 1 1 1 5 89 5 50 y= x x, y R 0 1 7 5 1 8 15 4 5 5 4 4 5 4 4 15 15 10 1 10 5 5 10 1 10 5 1 1 4 9 41 8 6 4 5 4 16 4 1 4 1 1 1 4 5 41 16 9 41 5 41 8 4 6 4 1 1 SISTEMI NON LINEARI 8

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Sistemi di secondo grado letterali y k x= Determinare le uzioni del seguente sistema si secondo grado letterale y x = L'equazione si rive come nel caso precedente. Bisognerà nell'equazione rivente discutere per quali valore del parametro si otterranno uzioni reali. Ricaviamo la y dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda equazione: y=k x k x x = y=k x x k x 4=0 Riviamo l'equazione di secondo grado x k x 4=0 equivalente a x k x 4=0, con la discussione del parametro k sulla base del segno del discriminante. 0 k 4 k 4 x 1 = k k 16 x = k k 16 =k 16 =0 k= 4 k=4 x 1 = x = k 0 4 k 4 Sostituiamo i valori della x trovati per i valori del parametro k che ammettono uzioni reali distinte o coincidenti nell'equazione di primo grado trovando così le uzioni del sistema. l'equazione di secondo grado trovata nel sistema e operiamo come al ito per trovare la uzioni: y k x= y x = 1 = se k 4 k 4 x k k 16 = k 4 k k 16 = x k k 16 y = k 4 k k 16 SISTEMI NON LINEARI 9

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivere i seguenti sistemi, dopo aver eseguito la discussione sul parametro x y= 8 x y =k 9 k y x=4 x y= se k 9 k 9 x 1 = k 9 = x 1 =1 1 k se k 1 = 1 k 1 k 9 = x k 9 y = =1 1 k x y = 1 k 1 y=k x 1 0 y k x 1=0 y=k x k 1 x y x= y x =0 4k y 4 x 9=0 y= x k y= x x se 0 k 1 1 k se k 1 k 9 se k 1 1 x 1 = k k k k k = 1 k k k 1 k R = x 1 =0 x = k 1 y = k k x 1 = k k 8 k 9 = k 4 k 8 k 9 x 1 = 1 1k 1 6 = 6 k 1 1k 1 6 = x k k k k k y = 1 k k k 1 k = x k 8 k 9 y = k 4 k 8 k 9 = x 1 1k 1 6 = 6 k 1 1k 1 6 4 y= x k x y 1=0 se k x 1 = k k = k k x = k k y = k k y= x 5 y x k=0 y x k=0 6 xy kx ky 6 k =0 y x k=0 7 y x 4 x =0 1 4 k 7 se k 7 x 4 1 = 4 k 7 = k R x 1=x = k = y = k 1 4 k 7 = x 4 k 7 y = se k 1 x 4 1 = 5 1 4 k x = 5 1 4 k 5 k 1 4 k 5 k 1 4 k = y 1 = SISTEMI NON LINEARI 10

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Sistemi di secondo grado frazionari x y= Determinare le uzioni del seguente sistema frazionario: x y = x. y 5 Il sistema dà origine a un'equazione di secondo grado. Nel caso dei sistemi frazionari occorre procedere alla definizione del campo di esistenza dell'equazione frazionaria, discutendo i denominatori della equazione. Determiniamo le condizioni di esistenza dell'equazione frazionaria: C.E. y y 5 Trasformiamo l'equazione frazionaria nella sua forma canonica di equazione intera x y = x x y 5 x y =0 xy 5 x xy x=0 xy x=0 y 5 Sostituiamo l'equazione di secondo grado trovata nel sistema e operiamo come al ito per trovare y= x la uzioni: x y x=0 y= x x x x=0 y= x x x=0 x x=0 è l'equazione rivente del sistema con uzioni x 1 =0 x = 1 sostituiamo le uzioni trovate nell'equazione di primo grado ottenendo le uzioni del sistema 0 1 1 y= x x x=0 x 1=0 x = 1 = y = 1 La uzione 0: non soddisfa le C.E.. Il sistema ha uzione 1 1. Trova le uzioni dei seguenti sistemi frazionari x y =4 8 x y x 1 = [ C.E. x 1 0 6 5 8 5 ] 9 x y x y =4 x y x y=1 40 x y x y = x y y=1 x y = 1 x 41 x y 1 x y=1 4 x y x = y 1 y= x 4 x 1 y = y 1 x 1 x y= 44 y 1 x y =x x y=0 45 x 1 y 1 = y y x= 4 [ C.E. x y 5 1 5 1 ] [C.E. x y ] [C.E. x 0 y 1 4 7 ] [ C.E. x 1 0 10 6 ] [ C.E. x 1 y 5 4 ] [C.E. x y ] [ C.E. y 1 1 9 5 ] SISTEMI NON LINEARI 11

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Sistemi di secondo grado in tre incognite Quanto detto si può estendere ai sistemi di secondo grado di tre o più equazioni con altrettante incognite. Per rivere uno di tali sistemi si cercherà, operando successive sostituzioni ricavabili dalle equazioni di primo grado, di eliminare dall'equazione di secondo grado tutte le incognite tranne una. Si otterrà così, in genere, un'equazione di secondo grado (equazione rivente del sistema). A partire dalle eventuali uzioni di tale equazione, si determineranno poi le uzioni del sistema. x y z=0 Determinare l'insieme uzione del sistema di secondo grado x 4 y z=1 x y y z 5 y=0 Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado, e sostituiamo l'espressione a destra dell'uguale nelle altre equazioni a ogni occorrenza dell'incognita iata. z= x y z= x y z= x y x 4 y x y =1 x 4 y 4 x y 1=0 x y 1=0 xy y x y 5 y=0 x y y x 4 y=0 x y y x 4 y=0 Ricaviamo x dalla seconda equazione e la sostituiamo nelle altre z= y 1 y z=5 y x= y 1 x= y 1 y y y 4 y 4 y=0 y y =0 L'equazione y y =0 è l'equazione rivente del sistema le cui uzioni sono = y = 1 Si sostituiscono i valori trovati per la y nelle altre equazioni per trovare i valori corrispondenti della x e della z. z=5 =8 x= 1= y= x 1 z 1 x y z 8 1 7 x y z=0 x 4 y z=1 x y y z 5 y=0 z=5 1 = 7 x= 1 1= y= 1 SISTEMI NON LINEARI 1

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivere i seguenti sistemi di secondo grado in tre incognite 46 x y z=0 x y z=9 x y z=1 x y=1 47 x y z=0 x x y z=0 x y=5 48 x y z=9 x y z =1 x y z= 4 49 x y z=6 4 x x z y =6 x y z= 1 50 x y z=1 x y z = 51 x y z=1 x y z=0 x y z= x y z= 5 x y z=1 x y z=1 x y= 5 5 y z=1 x y z =1 x y z= 54 x y z= x y z =9 4 5 17 1 1 1 0 1 1 0 7 1 7 1 infinte uzioni 47 46 5 5 0 05 7 1 0 7 1 SISTEMI NON LINEARI 1

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari. Sistemi simmetrici Un sistema di due equazioni in due incognite è detto simmetrico se rimane invariato scambiando le incognite. : consideriamo il sistema di secondo grado: x y=1 y x=1 otteniamo y x yx 5=0 x y xy 5=0. Se scambiamo la x con la y che per la proprietà commutativa della addizione e del prodotto è identico al precedente. In questo caso le uzioni del sistema sono x 1= = x = y = x e la y vengono scambiate nella uzione. e come si può notare la Osservazione: Se il sistema è simmetrico trovata una uzione del sistema otteniamo la simmetrica assegnando il valore trovato per la x alla y e viceversa. Sistemi simmetrici di secondo grado x y= s Consideriamo il sistema x y= p Per rivere questo sistema è sufficiente ricordare che, nell equazione di secondo grado con coefficiente direttivo uguale a 1 del tipo x b x c=0, la somma delle radici è uguale all opposto del coefficiente di primo grado, mentre il prodotto è uguale al termine noto in sostanza, basta rivere la seguente equazione, detta equazione rivente: t s t p=0. In base al segno del discriminante abbiamo: 0 se t 1 e t sono le uzioni dell'equazione rivente, il sistema iniziale ammette le uzioni: x 1=t 1 =t x =t y =t 1 =0 l'equazione rivente ha due radici reali coincidenti t 1 =t. Anche le uzioni del sistema saranno due uzioni coincidenti x 1=t 1 =t 1 =t x 1 y =t 1 0 l'equazione non ammette uzioni reali. Il sistema è impossibile. x y= s Il sistema è detto sistema simmetrico fondamentale. x y= p x y=10 x y=1 Otteniamo l equazione rivente t 10 t 1=0 Troviamo le uzioni dell'equazione rivente: t 1 = t =7 Le uzioni del sistema sono le seguenti: x 1= =7 x =7 y =. Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione x y=10 interseca l iperbole equilatera xy=1 nei due punti A 7 e B 7. SISTEMI NON LINEARI 14

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari x y= 4 x y=11 Otteniamo l equazione rivente t 4 t 11=0 L'equazione rivente ha discriminante negativo e non ha uzioni reali Il sistema è impossibile Interpretando la situazione nel piano cartesiano, possiamo osservare che la retta x y= 4 non interseca l iperbole equilatera xy=11. Rivere i seguenti sistemi simmetrici 55 x y=4 xy= 56 x y=1 xy=7 57 x y=5 xy=6 58 x y= 5 xy= 6 59 x y= xy= 4 60 x y= xy= 61 x y= 4 xy=4 6 x y=6 xy=9 6 x y= xy=10 64 x y=7 xy=1 65 x y=1 xy= 1 66 x y= 5 xy= 14 67 x y=5 xy= 14 68 xy= x= y=1 x=1 y= x= y= x= y= x=1 y= 6 x= 6 y=1 x=4 y= 1 x= 1 y=4 x= y=1 x=1 y= x= y= x= y= x=4 y= x= y=4 x=1 y= 1 x= 1 y=1 x= y= 7 x= 7 y= x=7 y= x= y=7 69 x y= 1 4 xy= 8 x= 4 x= 1 y= 1 y= 4 SISTEMI NON LINEARI 15

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari 70 x y=4 xy=0 71 x y= xy= 10 7 x y= 5 xy= 7 x y= 4 xy= 1 x=0 y=4 x=4 y=0 x=1 11 y=1 11 x=1 11 y=1 11 x= 5 17 y= 5 17 x= 4 4 6 y= 4 4 6 x= 5 17 y= 5 17 x= 4 4 6 y= 4 4 6 74 x y= 5 xy= 7 x=7 x= 1 y= 7 y= 1 75 x y= 5 xy= 9 x y= 76 xy= 1 77 x y=1 xy= x= 5 97 4 y= 5 97 4 x=1 y=1 x= 1 1 y= 1 1 x= 5 97 4 y= 5 97 4 x=1 y=1 x= 1 1 y= 1 1 78 x y= 6 5 xy= 9 5 x= 5 y= 5 79 x y=4 xy= 50 80 x y=4 xy=50 x= 6 y= 6 x= 6 y= 6 SISTEMI NON LINEARI 16

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici algebrici, possono essere trasformati, in modo equivalente, in sistemi simmetrici del tipo precedente. x y=a Verificare che il sistema x y bx by=c è equivalente al sistema x y= s xy= p È possibile trasformare il sistema appena scritto in un sistema simmetrico fondamentale: vediamo ora come. Ricordando l identità x y = x y xy, il sistema può essere riscritto così: x y=a x y bx by=c x y=a x y xy b x y =c x y=a x y=a a xy ba=c xy= a ab c Posto a= s e p= a ab c x y=a i sistemi x y bx by=c e x y= s risultano equivalenti. xy= p Di seguito vengono presentati vari esempi di sistemi simmetrici che possono essere riti con questi metodi. x y=7 x y =5 Ricordando l identità x y = x y xy, il sistema può essere riscritto così: x y=7 x y =5 x y=7 x y xy=5 x y=7 7 xy=5 x y=7 xy=5 49 x y=7 xy=1 x y=7 I sistemi x y =5 e x y=7 sono equivalenti, riviamo il sistema simmetrico xy=1 fondamentale. Otteniamo l equazione rivente t 7 t 1=0 Troviamo le uzioni dell'equazione rivente: t 1 = t =4 Le uzioni del sistema sono le seguenti: x 1= =4 x =4 y = 81 Determinare le uzioni del seguente sistema: x y =7 Ricordando l identità x y =, il sistema può essere riscritto così: x y =7 xy= xy= xy= I sistemi x y e =7 sono equivalenti e a questo punto possiamo rivere xy=6 l ultimo sistema scritto, che risulta essere simmetrico. Otteniamo l equazione rivente Troviamo le uzioni dell'equazione rivente: t 1 =t = Le uzioni del sistema sono le seguenti: x 1= = x = y = x y= 5 x y =10 Dividendo per( ) la prima equazione, per la seconda e ricordando l identità x y = x y xy otteniamo: SISTEMI NON LINEARI 17

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari x y= 5 x y =10 x y=5 x y =5 x y= 5 I sistemi x y =10 l ultimo sistema scritto. e x y=5 x y xy=5 x y= 5 xy= 10 9 Otteniamo l equazione rivente t 5 t 10 9 =0 Troviamo le uzioni dell'equazione rivente: t 1 = 5 65 6 Le uzioni del sistema sono le seguenti: x y= 5 xy=5 5 x y= 5 xy= 10 9 sono equivalenti e a questo punto possiamo rivere x 1 = 5 65 6 = 5 65 6 t = 5 65 6 = x 5 65 6 y = 5 65 6 Rivere i seguenti sistemi riconducibili al sistema simmetrico fondamentale 8 x y=1 x y =1 x y= 8 x y = x y= 84 x y =5 x y= 85 x y x y=1 x y= 86 y x xy=101 x=1 y=0 x=0 y=1 x=1 y=1 x= y=1 x=1 y= x 1= 5 =4 x =4 y = 5 4 x 4 y= 44 87 x y xy=74. x 1=8 = x = y =8 88 x y= x y=4 89 x y =8 x y 4 x 4 y=5 x y=7 90 x y =9 x y= 91 4 x 4 y =5 x y = 4 9 x y = 15 4 x y= 9 x y= 94 x y x y=4 x y 5 x y=7 x=4 y= 1 x= 1 y=4 x= y= x= y=5 x=5 y= x= y= x= y= x=1 y= 1 x=1 y=1 x=0 y= x= y=0 x=1 y= 4 x= 4 y=1 SISTEMI NON LINEARI 18

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari x y= 6 95 x y x y=84 x y= 5 96 x y 4 x y 5 x 5 y=6 x y= 7 97 x y 6 x y x y=44 98 x y = 1 x y=6 99 x y =1 x y= 7 100 x y =18 x y=6 101 x y 4 x y 6 x 6 y=1 x y=1 10 x y =8 x y= x= y= 8 x= 8 y= x=1 y= 6 x= 6 y=1 x= 1 x= 1 y= 1 y= 1 x= y= x= 1 5 y= 1 5 x= 7 y= 7 x= 1 5 y= 1 5 x= 7 y= 7 Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono rivere anche con la procedura ita di sostituzione per i sistemi di secondo grado. x y=8 Determinare le uzioni del sistema: xy= 15 x y '=8 I passo: mediante la sostituzione y '= y otteniamo che è un sistema simmetrico xy '=15 fondamentale x y '=8 II passo: riviamo il sistema simmetrico con la procedura nota.. Le uzione sono xy '=15 le seguenti: x 1= '=5 x =5 y '= III passo: dall'uguaglianza y '= y y= y ' otteniamo le uzioni del sistema iniziale x 1= = 5 x =5 y =. Determinare le uzioni del sistema cercando di trasformalo in un sistema simmetrico e con la procedura di sostituzione per i sistemi di secondo grado: x y=8 xy= SISTEMI NON LINEARI 19

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Riduzione a un sistema simmetrico Mediante la sostituzione x '= x e y '= y x= x ' e y= y ' x ' y '=8 otteniamo x ' y ' equivalente a = x ' y '=8 che è un sistema simmetrico x ' y '= 1 fondamentale. x ' y '=8 Riviamo il sistema simmetrico x ' y '= 1 con la procedura nota.. Le uzione sono le seguenti: x 1 '=4 7 '=4 7 x '=4 7 y '=4 7 Dalle uguaglianza x= x ' e y= y ' otteniamo le uzioni del sistema iniziale 4 7 = 7 x1= = 4 7 = x 4 7 = 7 y = 4 7 Procedura di sostituzione Iiamo una delle due incognite nell'equazione di primo grado e la sostituiamo nell'altra equazione x 8 y= xy= y= x 8 x x 8 = x 8 y= x 8 x 6=0 Rivere l'equazione di secondo grado in una a incognita: x 8 x 6=0 equivalente a x 4 x =0. Applicando la formula ridotta otteniamo: x 1 = 7 x = 7 Si sostituiscono i valori trovati per la x nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della y x 1= 7 = 4 7 x = 7 y = 4 7 10 x y=1 x y =5 104 x y= xy=1 (-1 -), (1) x 1 = 17 4 = 17 = x 17 4 y = 17 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo Introduciamo le seguenti trasformazioni di formule dette di Waring, dal nome del matematico che le ha formulate per primo, che potranno essere utili per rivere i sistemi simmetrici. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come s somma delle variabili e p il loro prodotto queste sono le prime formule fino alla potenza quinta. a b = a b ab= s p a b = a b a b a b = a b ab a b = s ps a 4 b 4 = a b 4 4 a b 6 a b 4 ab = a b 4 6 a b 4 ab a b = = s 4 6p 4p s p =s 4 4 ps p a 5 b 5 = a b 5 5 a 4 b 10 a b 10 a b 5 ab 4 = a b 5 5 ab a b 10 a b a b = =s 5 5p s ps 10 s p = s 5 5 ps 5 p s x y=1 Rivere il seguente sistema simmetrico di terzo grado x y xy= Ricordando l identità x y = x y xy x y, il sistema può essere riscritto così: SISTEMI NON LINEARI 0

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari x y=1 x y xy x y xy= x y=1 1 xy 1 xy= x y=1 x y=1 I sistemi x y xy= fondamentale. x y=1 e xy= 5 Otteniamo l equazione rivente t t 5 =0 5 t 5 t =0 Troviamo le uzioni dell'equazione rivente: t 1 = 5 65 10 Le uzioni del sistema sono le seguenti: Rivere i seguenti sistemi simmetrici di terzo grado 105 x y = 1 x y= 106 x y xy= 5 x y= 6 107 x y = 4 x y=8 108 x y =15 x y=1 1 5 xy= xy= 5 sono equivalenti, riviamo il sistema simmetrico x 1 = 5 65 10 = 5 65 10 t = 5 65 10 = x 5 65 10 y = 5 65 10 x 1=0 = 1 x = 1 y =0 x 1 = 5 10 5 = 5 10 5 (1-7), (-71) x 1= =5 x =5 y = = x 5 10 5 y = 5 10 5 Rivere il seguente sistema simmetrico di quarto grado x 4 y 4 = 7 Ricordando l identità x 4 y 4 = x y 4 4 xy x y x y, il sistema può essere riscritto così: x y 4 4 xy x y x y = 7 1 4 4 xy 1 x y = 7 x y 4 xy 5 =0 I sistemi x 4 y 4 = 7 e x y 4 xy 5 =0 sono equivalenti, ma quello trasformato non corrisponde al sistema simmetrico fondamentale. Introduciamo l'incognita ausiliaria u= x y. L'equazione x y 4 xy 5 =0 diventa u 4 u 5 =0 che ha come uzioni u 1 = 1 u = 5 xy= 1 xy=5. Il sistema di partenza è equivalente all'unione dei due sistemi simmetrici fondamentali xy= 1 xy= 5 SISTEMI NON LINEARI 1

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Troviamo le uzioni del sistema xy= 1 con equazione rivente t t 1 =0 : t 1 = 1 t = 1 con uzioni x 1 = 1 = 1 x = 1 y = 1 Troviamo le uzioni del sistema xy= 5 con equazione rivente t t 5 =0 L'equazione ha 0 e l'insieme uzione è vuoto. Anche il sistema non ha uzioni reali. Le uzione del sistema x 4 y 4 = 7 Rivere i seguenti sistemi di quarto grado 109 x y= x 4 y 4 =17 110 8 x 4 8 y 4 =41 x y= 111 x 4 y 4 = x y=5 11 x 4 y 4 =57 sono x 1 = 1 = 1 x = 1 y = 1 x 1=1 = x = y =1 R x 1 = = 1 x = 1 y = x 1=1 =4 x =4 y =1 Rivere il seguente sistema simmetrico di quarto grado xy= x y =1 Ricordando l identità x y = x y xy, il sistema può essere riscritto così: xy= x y xy=1 xy= x y =1 xy= x y =9 Il sistema xy= x y =9 fondamentali xy= x y= xy= x y=. equivalente al sistema di partenza è equivalente all'unione dei due sistemi Riviamo il sistema xy= x y= con equazione rivente t t =0 : t 1 = 17 t = 17 Riviamo il sistema xy= x y= con uzioni t 1 = 17 con uzioni x 1 = 17 = 17 = x 17 y = 17 con equazione rivente t t =0 t = 17 17 x 1 = y = 17 = x 17 y = 17 SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Le uzioni del sistema xy= x y =1 sono 17 x1= = 17 = x 17 y = 17 = x 17 y = 17 Rivere i seguenti sistemi simmetrici di quarto grado 11 x y =5 x y= 114 x y =4 x y=15 115 x y=1 x y x y=5 116 x y=1 x y =5 117 x y=1 x y 4 x y= 118 x y =5 x y= 119 x y =18 x y=9 10 x y =8 x y= 11 x y x y=10 x y=6 1 x y 5 x y x y= x y=1 1 x y 6 x y x y= x y= 14 x y 5 x y x y= 6 x y= 15 x y 5 x y x y= 5 4 x y= x= 14 y= 14 4 = x 17 y 4 = 17 x= y=1 x=1 y= x= y= 1 x= 1 y= x= y=5 x=5 y= x= y= 5 x= 5 y= x=1 y=1 x= 1 y= 1 x= y=4 x=4 y= x= y= 4 x= 4 y= x=1 y=1 x= 1 y= 1 x= y= x= y= x= 14 y= 14 x=1 y=1 x= 14 y= 14 x= 14 y= 14 x= y=1 x=1 y= x= 7 y= 7 x= 7 y= 7 x=1 y= x= y=1 x= y= x= y= x= 1 4 y= 1 4 x= 1 4 y= 1 4 Rivere il seguente sistema simmetrico di quinto grado x 5 y 5 = 11 Ricordando l identità x 5 y 5 = x y 5 5 xy x y 5 x y x y, il sistema può essere riscritto in questo modo: x y 5 5 xy x y 5 x y x y = 11 1 5 5 xy 1 5 x y 1 = 11 5 x y 5 xy 10=0 SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari I sistemi e sono equivalenti, ma quello trasformato x 5 y 5 = 11 5 x y 5 xy 10=0 non corrisponde al sistema simmetrico fondamentale. Introduciamo l'incognita ausiliaria u= x y. L'equazione 5 x y 5 xy 10=0 diventa 5 u 5 u 10=0 che ha come uzioni u 1 = 6 u =7 xy= 6 xy=7. Il sistema di partenza è equivalente all'unione dei due sistemi simmetrici fondamentali xy= 6 xy=7 Troviamo le uzioni del sistema xy= 6 t 1 = t = con uzioni x 1= = x = y = con equazione rivente t t 6=0 : Troviamo le uzioni del sistema con equazione rivente t t 7=0 xy=7.l'equazione ha 0 e l'insieme uzione è vuoto. Anche il sistema non ha uzioni reali. Le uzione del sistema x 5 y 5 = 11 sono x 1= = x = y = Rivere i seguenti sistemi simmetrici di quinto grado 16 x y= 1 x 5 y 5 = 1 4 x y=1 17 x 5 y 5 = x y=1 18 x 5 y 5 7 xy=17 R x 1 = = 1 x = 1 y = x 1= 1 = x = y = 1 Determinare le uzioni del seguente sistema di sesto grado riconducibile a un sistema simmetrico: x y =51 xy= 14 Se eleviamo al cubo la seconda equazione otteniamo il sistema equivalente x y =51 x y = 744 Mediante le sostituzioni u= x e v= y otteniamo u v=51 che è un sistema simmetrico u v=744 fondamentale Riviamo il sistema simmetrico seguenti: u 1=8 v 1 =4 u =4 v =8 Dalle uguaglianze u= x iniziale x 1= = 7 x =7 y =. u v=51 u v=744 con la procedura nota.. Le uzioni sono le x= v e v= y y= v otteniamo le uzioni del sistema SISTEMI NON LINEARI 4

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivi i seguenti sistemi di grado superiore al secondo 19 x y =9 x y= 10 x y = 4 x y= 6 11 x y =5 x y=5 1 x 4 y 4 = x y=0 1 x4 y 4 =17 x y= 14 x y = 5 x y=6 15 x y = 6 x y= 16 x 4 y 4 = x y=1 17 x 4 y 4 =17 x y= 18 x5 y 5 =64 x y=4 19 x5 y 5 = 88 x y= 140 x5 y 5 = x y=0 141 x5 y 5 =1 x y= 14 x 4 y 4 =7 x y=1 14 x y = 511 8 x y= x= y=1 x=1 y= x=1 y= 7 x= 7 y=1 x= y= x= y= x=1 y= 1 x= 1 y=1 x= 1 y= x= y= 1 x= y= x= y= x=1 y= x= y=1 x=1 y=1 x=1 y=1 x=1 y= x= y=1 x= 1 y= x= y= 1 x= y= x= y= 5 x= 5 y= x= y= 1 x= 1 y= x= y=4 x=4 y= x= y= 4 x= 4 y= x=4 y= 1 x= 1 y=4 SISTEMI NON LINEARI 5

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari. Sistemi omogenei di secondo grado Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l'eccezione dei termini noti, hanno, hanno tutti i termini con lo stesso grado. I sistemi omogenei di secondo grado sono quindi della forma: ax bxy cy =d a ' x b ' xy c ' y =d ' Primo caso se d=0 e d' =0 Il sistema si presenta nella forma ax bxy cy =0 a ' x b ' xy c ' y =0 Un sistema di questo tipo ha sempe almeno la uzione nulla (0 0). Per trovare le uzioni del sistema poniamo y=tx ax btx ct x =0 a ' x b ' tx c' t x =0 da cui x a bt ct =0 x a' b' t c' t =0 Supponendo x 0 possiamo dividere le due equazioni per x, otteniamo due equazioni nell'incognita t che possiamo rivere, se le due equazioni ammettono qualchhe uzione comune allora il sistema ammette uzione. Va poi analizzato a parte il caso x=0. x xy y =0 x 5xy 6y =0 Applichiamo la sostituzione y=tx, il sistema diventa x tx t x =0 x 5tx 6t x =0 Dividendo per x otteniamo t t =0 1 5t 6t =0. La prima equazione è rita per t 1 =1 t = 1. La seconda equazione è rita per t 1 '= 1 t '= 1. Le due equazioni hanno una radice in comune t= 1. Pertanto oltre alla uzione (00) il sistema ammette infinite uzioni che possono essere scritte come x=k y= 1 k. x 6xy 8y =0 x 4xy 5y =0 Per mezzo della sostituzione y=tx il sistema diventa x 6tx 8t x =0 x 4tx 5t x =0 Dividendo per il x sistema diventa 1 6t 8t =0. Rivendo le due equazioni si trova che non 1 4t 5t =0 hanno alcuna uzione in comune, pertanto il sistema ha o la uzion enulla (0 0). 4x 7xy y =0 1x 1xy 6y =0 Sostituendo y=tx e dividendo per x il sistema diventa 4t 7t t =0 1 1t 6t =0 stesse uzioni, che sono t 1 =4 t = 1 x=k y=4k x=k ' y= 1 k '. Le due equazioni hanno le. Il sistema ammette quindi infinite uzioni che sono date da. Al variare di k e k' si ottengono tutte le uzioni del sistema. SISTEMI NON LINEARI 6

Secondo caso se www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari d =0 d ' 0 Il sistema si presenta nella forma ax bxy cy =0 a ' x b ' xy c ' y =d ' Ponendo y=tx si ha ax btx ct x =0 a ' x b ' tx c' t x =d '. Dividiamo per x la prima equazione si ha a bt ct =0 x a' b' t c' t =d ' Si rive la prima equazione nell'incognita t, si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di x, infine si possono ricavare anche i valori di y. x xy 6y =0 x xy y = 6 Sostituendo y=tx il sistema diventa 1 t 6t =0 x 1 t t = 6 La prima equazione ha per uzioni t 1 = 1 e t = 1. Sostituendo t= 1 nella seconda equazione si ha x=± da cui x 1= =1 x = y = 1 Sostituendo t= 1 si ottengono le uzioni x 1 = 66 11 Le uzioni del sistema sono Terzo caso se d =0 d ' 0 x = 66 11 y = 66 11 4 = x 66 11 y 4 = 66 11 Il sistema si presenta nella forma ax bxy cy =d a ' x b ' xy c ' y =d ' Ponendo y=tx si ha x a bt ct =d x a' b' t c' t =d ' Dividiamo membro a membro le due equazioni, otteniamo e x = 66 11 a bt ct a ' b' t c ' t =d d ' da cui d ' a bt ct =d a ' b' t c' t da cui cd ' c' d t bd ' b ' d t ad ' a ' d=0 che è una equazione di secondo grado nell'incognita t. Trovate le uzioni t 1 e t dobbiamo poi rivere i sistemi y=t 1 x a ' x b ' xy c ' y =d ' y=t x a ' x b' xy c ' y =d ' x xy y = 68 x xy y =88 Sostituendo y=tx il sistema diventa x 1 t t = 68 x t t =88 da cui 1 t t 68 = t t 88., da cui l'equazione 9t 8t 1=0. Le uzioni di quest'ultima equazione sono t 1 = 4 9 t =. A questo punto dobbiamo rivere i due sistemi: y=4 9 x x xy y =88 y= x x xy y =88 Il primo sistema è impossibile, il secondo ha uzioni x 1= =6 x = y = 6. Queste sono le uniche uzioni del sistema. SISTEMI NON LINEARI 7

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivi i seguenti sistemi simmetrici 144 x x y y =0 x x y y =0 x=0 y=0 145 x x y y =0 x x y y =0 x=t y=t 146 x x y y =0 4 x x y 6 y =0 147 x 5 x y 6 y =0 x 4 x y 4 y =0 148 x 5 x y 6 y =0 x x y 8 y =0 149 x x y y =0 x 5x y 6 y =0 150 x 7 x y 1 y =0 x x y 6 y =0 151 x 6 x y 8 y =0 x 1 x y 16 y =0 15 x x y y =0 x x y y =0 x= 4t y=t x=t y= t x=t y=t x=t y=t x= t y=t x=0 y=0 x= t y=t x= t y=t 15 x 4 x y=0 x x y 4 y 4=0 x= 4 y=1 x=4 y= 1 154 x 8 x y 15 y =0 x x y y =1 x= y= 1 x= y= 1 x= 5 4 y= 1 4 x= 5 4 y= 1 4 155 4 x y =0 x y = 156 x x y y =0 x x y y = 157 x 4 x y 4 y =0 x y = 1 158 6 x 5 x y y =1 x 4 x y y =6 159 x x y y =0 x 4 x y y =6 160 x y = x x y y = x= 1 y=1 x=1 y= x= 1 y= x= 1 y= x=1 y= 1 x= y= x=1 y= x= y= impossibile x=1 y=1 x= 1 y= 1 x= 6 y= 4 6 x= 6 y=4 6 x= y=0 x= y=0 x=1 y= 1 x= 1 y=1 x=0 y= x=0 y= SISTEMI NON LINEARI 8

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari 161 x x y 5 y =1 x x y y =1 16 x y =5 x x y y =11 16 x 5 x y 4 y =10 x x y y = 11 x=1 y=0 x= 1 y=0 x=1 y= x= 1 y= x= y= x= y=1 x= y= x= y= 1 x= y= x= y= 164 4 x x y y = 1 x x y y = 1 4 165 x x y 8 y = 8 x y x y=16 166 x 6 x y y =10 x x y= 167 4 x x y y = x y 9 x y=85 168 x x y y =8 x y x y= 4 169 x 5x y 7 y = 11 x y x y = 7 x=4 y= x= 4 y= x=1 y= 4 x= 1 y=4 x=0 y= x=0 y= x= y=5 x= y= 5 x= 1 y=1 x= 1 y= 1 x=6 y= x= 6 y= x=1 y= x= 1 y= x=1 y=7 x= 1 y= 7 10 x= y= 14 18 x= 7 y= 7 7 x= 10 y= 14 x= 18 7 y= 7 7 170 x 5 x y y =7 x y 4 x y= 50 x= y= x= y= x= 4 7 y= 1 7 x= 4 7 y= 1 7 171 9 x 5 y = x 4 x y y =8 impossbile 17 x 4 x y y =18 x y x y = 18 x x y= 7 4 17 x 4 x y 4 y = 81 4 174 x 4 x y 4 y 16=0 x x y 4 y 6=0 175 x x y y 1=0 x x y y =1 x= 1 y= x= 1 y= x= y=0 x= y=0 x= 7 4 y= 11 8 x= 7 4 y= 11 8 x= y=1 x= y= 1 x=1 y=0 x= 1 y=0 SISTEMI NON LINEARI 9

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Rivi i seguenti sistemi particolari 176 x y =0 x y= x y x y =0 177 x 6 y= x y 1 x y 1 =0 178 x y=1 x y x 5 y =0 179 x x y 4 =0 180 x x x y =0 x y= x y x y 1 x y 1 =0 181 x y x y =0 18 4 x 9 y x x y y 9 =0 x y= 18 x 6 x y 9 y 4=0 x y x y 4 =0 184 x x y 8 y =0 x y x =0 185 x x y y x y 1 =0 x 4 x y y 1 x x y y =0 186 x y x 9 y =0 4 x 4 x y y y x y =0 187 x4 y 4 =0 x y 6 y 9 =0 188 y 4 y x x 15 =0 x x y y 9 x 6 x y y =0 1 1, 1, 1 1 4 1 0, 0, 6 1 x=1 y= 1 doppia x= y=0 0 1 doppia 11 doppia 5 8 1 1 4 4 1 1 1, 0, 1 1, 1 1, 1 1 10 7 8 7 0 0 doppia, 4 t t, 1, 1 5 4 5, 1 0 0 tripla, doppia,, 4 doppia, 6, 6, 1 1, 1 doppia, 6, 1 1, 1, 5 5, 5 5,, 5 15, 9 189 x y x 4 y 4 x y 1 x 5 y =0 x y x 4 y =0 0 0 doppia, 4 4, 1 0, 8 11, 9 11, 17 18 6 1, 4, 4 1, 1, 4 11 11, 4 SISTEMI NON LINEARI 0

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari 4. Problemi che si rivono con sistemi di grado superiore al primo Riprendiamo un problema già trattato nel capitolo secondo di questo volume, per notare come questo problema, come altri nella loro formalizzazione sono rivibili con sistemi di secondo grado. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico delle relazioni che coinvolgono i dati del problema. Utilizzeremo per questo problema anche un'altra strategia riutiva, per evidenziare che non esiste un o modo per rivere un problema.. Problema Il trapezio isoscele ABCD è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB di misura 5 cm determinare le misure dei lati del trapezio sapendo che il perimetro è 6 cm. La riuzione del problema si basa oltre che sulla equazione di primo grado y x 5=6 che definisce il perimetro e sulla congruenza dei segmenti KO e CH facilmente dimostrabile in quanto stessa distanza tra due rette parallele insieme all'applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli CKB e CHB rettangoli per costruzione. Naturalmente tutte le informazioni ausiliare vanno dimostrate, ma data la loro facilità la lasciamo al lettore. Importante è impostare le condizioni sulle incognite che devono essere maggiori di 0 ma anche per la x 5 perché il trapezio non diventi un triangolo e per la y 5 perché la base minore sia realmente minore. L'ultimo passo consiste nella verifica delle uzione, che nel nostro caso sono entrambe accettabili. Si hanno dunque due trapezi inscritti in quella semicirconferenza che avranno il perimetro di 6(cm), come rappresentato in figura. SISTEMI NON LINEARI 1

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Problema L'azienda Profit intende fare una ristrutturazione riducendo il numero degli operai. Oggi spende per gli operai (tutti con lo stesso stipendio) 800 al giorno. Se si licenziassero 5 dipendenti e si riducesse lo stipendio di al giorno si avrebbe un risparmio giornaliero di 00. Quanti sono gli operai attualmente occupati nell'azienda? Dati Spesa per salari al giorno= 800 Riduzione salario giornaliero= Riduzione numero operai= 5 unità Risparmio a seguito del licenziamento e della riduzione di stipendio= 00 Obiettivo Numero operai occupati prima della ristrutturazione Incognite x = numero operai prima della ristrutturazione y = salario percepito prima della ristrutturazione Vincoli x N y R Altre Informazioni Numero operai dopo la ristrutturazione= x 5 Salario dopo la ristrutturazione= y Spesa per stipendi dopo la ristrutturazione= 800 00=600 Relazioni tra dati e incognite xy=800 x 5 y =600 xy=800 xy x 5 y 10=600 xy=800 x 5 y=10 Soluzioni x 1=5 = x =80 y =10 Verifica Entrambe le uzioni sono accettabili Naturalmente c'è una grande differenza tra percepire /giorno di salario al giorno o 10 /giorno, come avere impiegati 5 o 80 operai. Il problema va meglio definito. Basterebbe per questo un vincolo che ci dice qual'è la paga minima giornaliera di un operaio. Problema Un numero k N è composto da tre cifre. Il prodotto delle tre cifre è 4. Se si scambia la cifra delle decine con quella delle centinaia si ottiene un numero che supera k di 60. Se si scambia la cifra della unità con quella delle centinaia si ottiene un numero minore di 99 rispetto al numero k. Trovare k. Dati Il numero k è composto da tre cifre Prodotto delle tre cifre = 4 Scambiando la cifra delle decine con quella delle centinaia, il numero l che si ottiene è uguale a k 60 Scambiando la cifra delle unità con quella delle centinaia, il numero m che si ottiene è uguale a k 99 Obiettivo Trovare il numero k Incognite x = cifra che rappresenta il numero delle centinaia y = cifra che rappresenta il numero delle decine z = cifra che rappresenta il numero delle unità Vincoli x 1,,,4,5,6,7,8,9} y, z 0,1,,,4,5,6,7,8,9} Altre Informazioni k=100 x 10 y z l=100 y 10 x z m=100 z 10 y x Relazioni tra dati e incognite x y z=4 100 y 10 x z=100 x 10 y z 60 100z 10 y x=100 x 10 y z 99 x y z=4 x y= 4 x z=1 Soluzioni x1= =7 z 1 = Verifica La uzione soddisfa le condizioni il numero cercato è 7 SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari 190 In un rettangolo la differenza tra i due lati è uguale a cm. Se si diminuiscono entrambi i lati di 1 cm si ottiene un'area di 0,14 m. Calcolare il perimetro del rettangolo. [ p=144 cm] 191 Trova due numeri sapendo che la somma tra i loro quadrati è 100 e il loro rapporto 4. [ 6 8 6,8 ] 19 La differenza tra due numeri è prodotto 1 8. Trova i due numeri. 11 4 e il loro [ 4 7 7, 4 ] 19 Trovare due numeri positivi sapendo che la metà del primo supera di 1 il secondo e che il quadrato del secondo supera di 1 la sesta parte del quadrato del primo. [ 1 5 ] 194 Data una proporzione tra numeri naturali conosciamo i due medi che sono 5 e 16. Sappiamo anche che il rapporto tra il prodotto degli estremi e la 10 loro somma è uguale a. Trovare i due estremi. [ 4 0 0,4 ] 195 La differenza tra un numero di due cifre con quello che si ottiene scambiando le cifre è uguale a 6. La differenza tra il prodotto delle cifre e la loro somma è uguale a 11. Trovare il numero. [ 7] 196 Oggi la differenza delle età tra un padre e una figlia è 6 anni, mentre due anni fa il prodotto delle loro età era 56. Determina l'età del padre e della figlia. [0 4] 197 La somma delle età di due fratelli oggi è 46 anni, mentre fra due anni la somma dei quadrati delle loro età sarà 150. Trova l'età dei due fratelli. [ ] 198 Ho comprato due tipi di vino. In tutto 0 bottiglie. Per il primo tipo ho speso 54 e per il secondo 6. Il prezzo di una bottiglia del secondo tipo costa,5 in meno di una bottiglia del primo tipo. Trova il numero delle b ottiglie di ciascun tipo che ho acquistato e il loro prezzo unitario. [ I tipo=1 bottiglie II tipo=18 bottiglie] 199 In un triangolo rettangolo di area 60 m, l'ipotenusa misura 5 m. Determinare il perimetro [p=16 m]. 00 Un segmento di 5 cm viene diviso in due parti. La somma dei quadrati costruiti su ciascuna delle due parti è 65 cm. Quanto misura ciascuna parte? [15 cm e 0 cm]. 01 Se in un rettangolo il perimetro misura 16,8 m. e l'area 17,8 mq, quanto misura la sua diagonale? [ Diagonale=6 m] 0 In un triangolo rettangolo la somma dei cateti misura 10,5 cm, mentre l'ipotenusa è 7,5 cm. Trovare l'area. [ Area=1,5 cm ] 0 Quanto misura un segmento diviso in due parti, tali che una parte è dell'altra, sapendo che 4 la somma dei quadrati costruiti su ognuna delle due parti è uguale a 11 cm? [15,4 cm] 04 Un trapezio rettangolo con area di 81 m la somma della base minore e dell'altezza è 1 cm 1 mentre la base minore è della base maggiore. 5 Trovare il perimetro del rettangolo. p 1 =4 p =57 145 05 La differenza tra le diagonali di un rombo è 8 cm, mentre la sua area è 4 cm. Determinare il lato del rombo. [ 10] 06 Sappiamo che in un trapezio rettangolo con area di 40 cm la base minore è 7 cm, mentre la somma della base maggiore e dell'altezza è 17 cm. Trovare il perimetro del rettangolo. [ p=4 1] 07 Nella produzione di un oggetto la macchina A impiega 5 minuti in più rispetto alla macchina B. Determinare il numero di oggetti che produce ciascuna macchina in 8 ore se in questo periodo la macchina A ha prodotto 16 oggetti in meno rispetto alla macchina B. [ A= oggetti, B=48 oggetti] 08 Un rettangolo ha l'area equivalente a quella di un quadrato. L'altezza del rettangolo è 16 cm, mentre la sua base è di 5 cm maggiore del lato del quadrato. Determinare il lato del quadrato. [ 0 cm] 09 La differenza tra cateto maggiore e cateto minore di un triangolo rettangolo è 7 k, mentre la sua area è 60 k. Calcola il perimetro. (k>0) [p=40 k] 10 L'area di un rettangolo che ha come lati le diagonali di due quadrati misura 90 k. La somma dei lati dei due quadrati misura 14 k. Determinare i lati dei due quadrati. (k>0) [5 k, 9 k] 11 Nel rettangolo ABCD la differenza tra altezza e base è 4 k. Se prolunghiamo la base ab, dalla parte di B di k fissiamo il punto E. L'area del trapezio AECD che si ottiene congiungendo E con C è 8 k. Trovare il perimetro del trapezio. (k>0) [15 k 5] 1 In un triangolo isoscele la base è dell'altezza. La sua area misura 1 k. Trova il perimetro del triangolo. [4 4 k 10] SISTEMI NON LINEARI

www.matematicamente.it Matematica C Algebra 5. Sistemi non lineari Copyright Matematicamente.it 011 Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della Licenza Creative Commons Attribuzione - Non Commerciale - Condividi allo stesso Modo.5 Italia il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.5/it/legalcode Tu sei libero: di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare quest'opera di modificare quest'opera Alle seguenti condizioni: Attribuzione Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera. Non commerciale Non puoi usare quest'opera per fini commerciali. Condividi allo stesso modo Se alteri o trasformi quest'opera, o se la usi per crearne un'altra, puoi distribuire l'opera risultante o con una licenza identica o equivalente a questa. Autori Francesco Daddi: teoria, esercizi Riccardo Sala: teoria Claudio Carboncini: teoria, editing Anna Cristina Mocchetti: correzioni Antonio Bernardo: coordinamento Collaborazione, commenti e suggerimenti Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C o se vuoi inviare dei commenti e/o suggerimenti scrivi a antoniobernardo@matematicamente.it Versione del documento Versione 1.1 del 17.04.011 SISTEMI NON LINEARI 4