Corso di Risk Management S

Corso di Risk Management S Marco Bee marco.bee@economia.unitn.it Dipartimento di Economia Università di Trento Anno Accademico 2007-2008

Struttura del corso Il corso può essere suddiviso come segue: 1. presentazione di alcuni concetti, matematici e finanziari, indispensabili per il seguito; 2. alcuni elementi di teoria delle opzioni: il modello binomiale ad un periodo, la formula di Black & Scholes, le Greche; 3. concetti di base di risk management; 4. rischio di mercato; 5. rischio di credito. In generale, l accento è su metodi e tecniche, più che sull applicazione a specifici strumenti.

Un po di storia Prima del 1973 la finanza era affrontata con concetti e strumenti contabili (cioè aritmetici, o almeno non stocastici); eccezioni: teoria del portafoglio di Markowitz; Capital Asset Pricing Model. La disciplina nasce con i lavori di Black & Scholes (1973) e Merton (1973). Essi sono i primi a determinare il prezzo di un derivato tramite il principio di non arbitraggio, ipotizzando una precisa evoluzione stocastica del sottostante. Da questo momento gli strumenti probabilistici assumono un ruolo di primo piano in finanza.

Testi di riferimento Hull, J.C. (2005), Options, Futures, and Other Derivatives, London, Prentice-Hall. McNeil, A.J., Frey, R. e Embrechts, P. (2005), Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton Series in Finance, Princeton, Princeton University Press. Bluhm, C., Overbeck, L. e Wagner, C. (2002), An Introduction to Credit Risk Modeling, New York, Chapman and Hall. Ngai, H.C. e Wong, H.Y. (2007), Simulation Techniques in Financial Risk Management, New York, Wiley. Sironi, A. (2005), Rischio e Valore nelle Banche, Milano, EGEA.

Rendimenti Sia P t il prezzo di un attività finanziaria; la variazione percentuale di prezzo (rendimento netto) è data da il rendimento lordo è dato da R t 1,t = P t P t 1 P t 1 ; R l t 1,t = P t P t 1 ; il rendimento logaritmico è dato da ( ) r t 1,t = log(rt) l Pt = log = log(p t ) log(p t 1 ) = p t p t 1, P t 1 dove p t = log(p t ).

Rendimenti (continua) Teorema 1. Il rendimento netto è un approssimazione lineare del rendimento logaritmico. Teorema 2. Il rendimento logaritmico relativo a n periodi è dato da r 0,n = log(p n /P 0 ) = r 0,1 + r 1,2 + + r n 1,n.

Distribuzione lognormale P ha distribuzione lognormale di parametri a e b 2 se dove Z N(0, 1) e quindi r N(a, b 2 ). P = e r = e a+bz, (1) Dalla (1) segue che log(p) = r, dunque il logaritmo naturale di una lognormale è distribuito normalmente. Quando possibile, conviene sfruttare questa caratteristica per le procedure inferenziali e di simulazione. Valore atteso e varianza della (1): E(P) = e a+ b2 2, var(p) = e 2a+2b 2 e 2a+b2. (2)

Distribuzione lognormale 0.0 0.5 1.0 1.5 f a = 1, b = 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f a = 0, b = 1 0.000 0.010 0.020 0.030 f a = 3, b = 1 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 0 20 40 60 80 100 x x x 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 f a = 6, b = 1 0.0 0.5 1.0 1.5 f a = 0, b = 2 0.00 0.02 0.04 0.06 f a = 3, b = 2 0 500 1000 1500 0 5 10 15 0 50 100 150 x x x

Capitalizzazione Si supponga di investire x$ per n anni al tasso annuo (netto o logaritmico) R, con capitalizzazione solo alla fine dell anno. Allora il valore futuro dopo n anni è FV n = x(1 + R) n $. Se la capitalizzazione ha luogo m volte all anno si ottiene: FV (m) n = x ( 1 + R m ) nm $. Quando m, otteniamo la capitalizzazione continua: ( FVn c = lim x 1 + R ) nm $ = xe Rn $. m m

Sconto Osservazione. Passando dalla capitalizzazione annuale a quella continua, il valore futuro (sul medesimo orizzonte temporale) aumenta progressivamente. Le corrispondenti formule di sconto sono: x = FV n (1 + R) n $; (m) FV n x = ( ) 1 + R nm $; m x = FVn c e Rn $.

Il concetto di portafoglio Un portafoglio di N attività è costruito come segue. Sia r i,t+1 il rendimento logaritmico dell attività i nel periodo [t, t + 1]; sia r = (r 1,..., r N ). I pesi delle attività nel portafoglio sono w = (w 1,..., w N ). E(r) = µ; var(r) = Σ. Sia r w = w r il rendimento del portafoglio. La sua media e varianza sono E(r w ) = var(r w ) = N i=1 N i=1 j=1 w i µ i = w µ def = µ w ; N w i w j σ ij = w Σw def = σ 2 w.

Il concetto di portafoglio Esempio (portafoglio di rendimenti normali indipendenti ed equidistribuiti). Sia r N N (µ, Σ), dove µ = (µ,..., µ) e Σ = diag(σ 2,..., σ 2 ). Allora r w N(w µ, w Σw), ovvero r w N(µ, σ 2 N i=1 w i 2 ). Esempio (portafoglio di rendimenti normali indipendenti). Sia r N N (µ, Σ), dove µ = (µ 1,..., µ N ) e Σ = diag(σ1 2,..., σ2 N ). Allora r w N(w µ, w Σw), ovvero r w N( N i=1 w iµ i, N i=1 w i 2 σi 2 ). Esempio (portafoglio di rendimenti normali). Sia r N N (µ, Σ), dove µ = (µ 1,..., µ N ). Allora r w N(w µ, w Σw), ovvero r w N( N i=1 w iµ i, N i=1 w i 2 σi 2 + 2 i>j w ijσ ij ). La matrice di covarianza deve essere definita positiva per essere sicuri che qualsiasi portafoglio abbia varianza positiva!

Il CAPM Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei rendimenti delle attività finanziarie rischiose. Si può dimostrare che ( ) cov(ri, R M ) E(R i ) = r rf + (µ M r var(r M ) rf ), ( ) µ i = r rf + σ im σm 2 (µ M r rf ); dove r rf è il tasso di interesse risk-free, µ M e σm 2 sono il valore atteso e la varianza del rendimento del portafoglio di mercato. Il beta per l i-esima attività è dato da β i = cov(r i, R M ), var(r M ) cosicché il CAPM risulta essere µ i = r rf + β i (µ M r rf ).

Il CAPM Sia ora rp i = β i (µ M r rf ); allora il CAPM diventa µ i = r rf + rp i, che dà una misura esplicita del premio al rischio. Il CAPM sposta la nozione di rischio da σ i a β i : per un attività incorrelata col mercato (β i = 0) il rendimento, in equilibrio, è uguale a r rf, perché il suo rischio può essere completamente diversificato. Il beta di un attività dà una misura del suo rischio non diversificabile.

Il CAPM Si noti che l equazione del CAPM può essere riscritta come un modello di regressione: dove ɛ i N(0, σ 2 ɛ i ). E(R i R M ) r rf = β i (R M r rf ) R i r rf = β i (R M r rf ) + ɛ i, La covarianza fra due attività è interamente determinata dai rispettivi beta: cov(r i r rf, R j r rf ) = β i β j σ 2 M

Il CAPM cov(ɛ i, R M ) = 0 var(r i ) = βi 2 σm 2 + σ2 ɛ i ; σm 2 è una misura del rischio sistematico, mentre σɛ 2 i è una misura del rischio specifico (o idiosincratico). L extra-rendimento sull attività i-esima è collegato alla covarianza dei rendimenti fra l attività i ed il portafoglio di mercato. Un attività con beta uguale ad uno è rischiosa come il mercato; con beta maggiore di uno è più rischiosa del mercato; con beta minore di uno è meno rischiosa del mercato.