Esercizio Calcolare la rata annua necessaria per costituire in anni al tasso del 5% il capitale di 9800. ( 0,05) + 9800 = R 4,2068R 0,05 R 689,8 7-
Esercizio Calcolare la rata di una rendita semestrale posticipata immediata di durata pari a 2 anni che ha valore attuale di 235,99 ad un tasso effettivo di interesse del 5%. 2 i = ( + i) 0,0247 2 235,99 = (+ 0,05) R 0,0247 2 R 29,06 7-2
Esercizio Il valore attuale di una rendita immediata posticipata è pari a 4580, il tasso di interesse effettivo annuo è i=0,05 e la rata è pari a 500. Calcolare la durata della rendita. (+ 0,05) 4580 = 500 0,05 4580 0,05 n n 4580 0,05 = ( + 0,05) ( + 0,05) = 0,542 500 500 n log(,05) = log0,542 n log,05 = log0,542 n log 0,542 = 2,55354 log,05 n 7-3
Esercizio n = 2,55354 x 2 = 0,55354 x = 6,64248 x 30 = 0,64248 x = 9,2744 2 anni 6 mesi 20 giorni come ottenere un numero intero? 7-4
Esercizio a. fissiamo n=2 e aggiorniamo il valore della rata: 2 (+ 0,05) 4580 = R R 4580 0,28 0,05 R 56,74 b. fissiamo n=3 e aggiorniamo il valore della rata: 3 (+ 0,05) 4580 = R R 4580 0,064 0,05 R 487,57 7-5
Esercizio c. lasciamo R=500, calcoliamo una rata aggiuntiva da versare alla fine del XIII anno per estinguere il debito residuo. Il valore al tempo zero del debito estinto alla fine del dodicesimo anno è 500 a = 500 8,8632 = 443,63 2 0,05 Il debito residuo è pari a 4580 443,63 = 48,37 Per estinguere il debito alla fine del tredicesimo anno bisogna effettuare un versamento integrativo pari a 3 R ' = 48,37 ( + 0,05) = 279,77 7-6
Ricerca del tasso ( + i) n A= Ra = R n i i A Noti A, R ed n i ( i = + ) n R moltiplicando ambo i membri per (+i) n A n i i i R ( ) n + = ( + ) ( ) A n n i + i ( + i ) + = 0 R necessità di ricorrere a metodi numerici 7-7
ESERCIZIO Un risparmiatore ha iniziato la costituzione di un capitale di Lit. 8 000 000 in 5 anni al tasso annuo composto del 0% con rate annue costanti posticipate. Dopo il pagamento della nona rata ottiene di pagare per tre anni una rata di importo pari alla metà della precedente e di riprendere poi con una nuova rata in modo da terminare la costituzione del capitale due anni dopo la scadenza fissata. Determinare l importo delle rate tenendo conto che il tasso dopo il pagamento della nona rata è stato ridotto al 9%. 7-8
0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 R R R R R R R R R R R R R R R R R 8000000 = Rs 5 0.0 i = 0.0 i = 0.09 8000000 R = = 566.52 s 5 0.0 R 566.52 R ' = = = 283.26 2 2 8 5 Rs ( + 0.09) + R ' s ( + 0.09) + 90.0 30.09 + R'' s = 8000000 R '' = 207.56 50.09 7-9
ESERCIZIO Vendiamo oggi un terreno che rende 4000 alla fine di ogni semestre. In cambio ci vengono versati subito 000 e ci verrà inoltre corrisposta per tre anni una rendita costituita da sei rate semestrali costanti, ciascuna di importo 23000, di cui la prima esigibile tra 2 anni. Dire, effettuando le valutazioni in regime di capitalizzazione composta al tasso annuo nominale convertibile semestralmente dell 8% se si tratta di un operazione equa oppure se l operazione risulta a noi favorevole o sfavorevole. 7-0
j (2) 0.08 i = = = 0.04 2 2 2 V perpetua R 4000 = = = 00000 i 0.04 2 V temporanea ( ) 6 i + 2 4 = 000 + 23000 ( + 0.04) ( + 0.04) = i 2 = 0885.53 L operazione è favorevole a noi 7-
ESERCIZIO L operatore A vende all operatore B un terreno che rende 500 alla fine di ogni semestre, ricevendo in cambio un acconto di 2000 e, alla fine di ognuno dei successivi semestri, dei pagamenti di importo 2R per i primi due anni e di importo R per i tre anni seguenti. Determinare il valore di R che rende equa l operazione finanziaria, operando in regime di capitalizzazione composta al tasso nominale del 6% annuo convertibile semestralmente. 7-2
j (2) 0, 06 i = = = 0, 03 2 2 2 R 500 V = = = 6666, 66 i 0, 03 2 6666, 66 = 2000 + 2 Ra + Ra ( + 0, 03) 4 0.03 6 0.03 4 ( ) ( ) 4 6 + 0,03 + 0,03 6666, 66 = 2000 + 2 R + R ( + 0, 03) 0, 03 0, 03 4 R 97, 53 7-3
ESERCIZIO Calcolare quale versamento bimestrale posticipato per 4 anni porta ad accumulare 6000 euro se il tasso di interesse è del 4% semestrale. anno = 6 bimestri /3 i = ( + 0.04) = 0.032 6000 = Rs24 0.032 24 ( + 0.032) 6000 = R 0.032 6000 = R 28.026 6000 R = = 28.026 24.2 7-4
ESERCIZIO Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo è del 2% vengono depositati 30 milioni con l intento di prelevare mensilmente in via posticipata 5 milioni. Dopo quanto tempo avviene l ultimo prelievo? A quanto ammonta la consistenza del deposito 2 mesi e 0 giorni dopo che è stato effettuato l ultimo prelievo? 7-5
Bisogna determinare il massimo numero di rate di una rendita posticipata con rata mensile costante R=5 milioni il cui valore attuale sia non superiore a 30 milioni. ( ) i + 5.000.000 2 30.000.000 i 2 n 2 2 i = ( + 0,2) = 0, 009489 7-6
( ) n ( ) n 30 i + i + i 0.7532 5 2 2 2 ( ) n ( ) i i log + log0.7532 -nlog + log0.7532 2 2 log0.7532 n - 29,9980 log ( ) + i 2 7-7
Quindi: si possono effettuare al più 29 prelievi mensili l ultimo prelievo avviene dopo 2 anni e 5 mesi La consistenza del deposito 2 mesi e 0 giorni dopo l ultimo prelievo è: 3+ 0 2+ 30 0 30 29 i m 2 m 30.000.000( + i ) 5.000.000 s ( + i ) = 74.766.048 69.72.59 = 5.053.457 7-8
ESERCIZIO 2 Per acquistare un'auto ho chiesto un finanziamento di 0.000 euro, che comporta il pagamento di rate mensili posticipate di 50 euro al tasso effettivo annuo di interesse del 4%. Quante rate dovrò versare? Con quale eventuale rata aggiuntiva? V = 0000 i = 0.4 R = 50 im 2 2 = ( + i) = ( + 0.4) = 0.0 ( + i ) n m V = R im V i ( ) n m i n V = + m ( + im) = i R R m 7-9
n V V ( + im) = im nln( + im) = ln i R R V ln i R n = ln( + i ) m m m 0000 ln 0.0 50 n = = ln( + 0.0) 20.5 20 rate mensili 7-20
20 (+ 0.0) V ' = Ra = 50 = 9967.3 20 i m 0.0 V V ' = 0000 9967.3 = 32.73 20 mesi sono 0 anni La rata aggiuntiva sarà 0+ 2 32.73( + i ) = 2.33 7-2
ESERCIZIO 3 Verso 20 rate annue costanti pari ad R a partire da subito per poter avere una rendita annua di 000 euro a partire dal 20-esimo anno per 0 anni. Si determini R, sapendo che il tasso di sconto annuo è del 5%. R R R... R 000 000... 000... 0 2 9 20 2 29 d 0.05 i = = = d 0.05... La rendita con rata 000 ha all istante t=9 valore: V 0 ( + 0.0526) = 000a = 000 = 7625.2 i 0.0526 9 0 0.0526 7-22
La rendita con rata 000 ha all istante t=0 valore: V V i 9 9 0 = 9( + ) = 7625.2( + 0.0526) = 2879 La rendita anticipata con rata R ha all istante t=0 valore: 20 ( + i ) R( + i) = R 2.83 i Uguagliando i due valori attuali si ha 2879 = R 2.83 2879 R = = 224.33 2.83 7-23