SULLA GEOMETRIA ANALITICA.La rea Nel piano caresiano ad ogni equazione di primo grado,definia a meno di un faore di proporzionalià,del ipo () ab c0 corrisponde una rea,e viceversa. Se a 0, l'equazione () divena b c 0 e rappresena una rea parallela all'asse delle ascisse ( orizzonale ). Analogamene, se b 0, l'equazione () divena a c 0 e rappresena una rea parallela all'asse delle ordinae ( vericale ). Se b 0 si preferisce scrivere l'equazione () in forma esplicia in modo cioè da meerne in evidenza l'aspeo di funzione lineare"; a ale scopo si dividono ui i coefficieni per b e si isola la a primo membro, per cui l'equazione assume la forma: () m n (con m - a/b; n - c/b). Rispeo alla forma (), l'equazione di una rea nella forma () presena il vanaggio di essere univocamene deerminaa, in quano il coefficiene della è sao poso uguale a. Chiaramene le ree "vericali"non si possono scrivere nella forma (). Il numero m si chiama il coefficiene angolare della rea e geomericamene, in un sisema di riferimeno monomerico, rappresena la "pendenza" della rea: al crescere dei valori delle ascisse, ossia immaginando di procedere "da sinisra verso desra", la rea "sale" se m è posiivo, "scende" se m è negaivo. Precisamene, ad ogni sposameno di una unià verso desra corrisponde uno sposameno di m unià verso l'alo o verso il basso. Il ermine n rappresena invece l'ordínaa del puno in cui la rea inerseca l'asse. In paricolare, la rea passa per l'origine delle coordinae se e solo se n 0. - Sulla geomeria analiica -
Se a 0,b 0, c 0, ponendo p c e q a c la () si può scrivere nella forma b p q dea equazione segmenaria perché indicai con P e Q i puni in cui la rea inconra rispeivamene l asse e l asse i numeri p e q sono la misura dei segmeni orienai OP e OQ. L'equazione della rea passane per i puni P (; ) e Q (; ) è con la convenzione che se uno dei denominaori è zero l equazione si oiene uguagliando a zero il corrispondene numeraore. Se la rea non è parallela all asse il suo coefficiene angolare è:. Se si pone e si risolve rispeo a ed si ha ( ) ( ) le quali si chiamano equazioni parameriche della rea congiungene i puni P e Q perché al variare del paramero esse danno ui e soli i puni della rea PQ.Per 0 si oiene il puno P, per si oiene il puno Q, per / si oiene il puno di mezzo del segmeno PQ. Si noi che una qualunque coppia di equazioni del ipo h l k m con paramero variabile ed l ed m non enrambi nulli rappresena una rea,precisamene la rea passane per i puni P (h,k) e Q (h l,k m). Le equazioni parameriche hanno una chiara inerpreazione fisica: esse descrivono il moo di un puno che percorre la rea con velocià uniforme: all'isane 0 il puno si rova in P; all'isane si rova in Q. - Sulla geomeria analiica -
La forma paramerica, apparenemene più complicaa delle alre, è paricolarmene adaa quando si vuole descrivere solo una pare della rea. Per es. i puni corrispondeni ai valori > 0 formano una semirea; i puni corrispondeni ai valori < 0 formano la semirea opposa della precedene; i puni corrispondeni ai valori 0 < < formano il segmeno PQ. Parallelismo e orogonalià. Per ciascuna delle varie forme (implicia, esplicia, uguaglianza di due rappori, paramerica) in cui si può presenare l equazione di una rea r, diamo l equazione della rea passane per un dao puno P0 (0; 0) e parallela (p) o perpendicolare (n) ad r. Equazione di r a b c 0 a Equazione di p // r e passane per P0 ( ) b( ) 0 0 0 b Equazione di n r e passane per P0 ( ) a( ) 0 0 0 m p m ( ) 0 0 ( m 0 0 ) 0 0 0 0 l h m k l 0 m 0 m l 0 0 Si ricordi inolre che se P (; ), Q (; ) ed r ha equazione a b c 0 le coordinae del puno medio M del segmeno PQ sono ; la disanza fra i due puni P e Q è d(p,q) ( ) ( ).. la disanza di P da r è d(p,r) a b a b c. - Sulla geomeria analiica - 3
Inersezione di due ree. E noo dalla geomeria elemenare che dae due ree r ed s nel piano per la loro inersezione, r s, si possono presenare re casi: r s è cosiuia da un solo puno, ciò vuol dire che le due ree sono incideni; r s è vuoa, ciò vuol dire che le due ree sono parallele e disine; r s coniene infinii puni, ciò vuol dire che le due ree sono coincideni. Algebricamene la ricerca di ale inersezione si raduce in un sisema lineare di due equazioni in due incognie per il quale sono possibili le segueni re alernaive: ammee una sola soluzione; è impossibile; è indeerminao. - Sulla geomeria analiica -
.Esercizi proposi. )Per ciascuna delle segueni coppie di puni A e B rovare: a) le coordinae del loro puno di mezzo; b) le coordinae del simmerico di A rispeo a B e quelle del simmerico di B rispeo ad A; c) la loro disanza; d) l equazione, nelle sue varie forme, della rea che li congiunge. A (3;) B (;5) ; A (;) B (;) A (-;3) B (;3) ; A (;) B (;-3) A (0;0) B (-;5). )Trovare la rea passane per A (;-) e parallela alla rea: a)3-0 b) 0 c)7-0 d)70 e)5- f) g) 5 h) 3 3)Trovare la rea passane per A (-;3) e perpendicolare alla rea: - Sulla geomeria analiica - 5
- Sulla geomeria analiica - 6 a) 350 b) 3-70 c) 0 d) 3-0 e) -3 f) 7 g) 3 3 h) 3 5 )Deerminare l inersezione fra le due ree r ed s.. r)3-0 s)3-0. r)-0 s)-80 3.r)-3-0 s)-670. r)3-0 s) 3 5.r)-30 s) 3 6. r)-0 s) 7. r) s) 3 8. r) 5 s)
3.Le coniche Alle equazioni di secondo grado in e, definie a meno di un faore di proporzionalià, di cui la più generale è del ipo () a a a a3 a3 a33 0 corrispondono nel piano le coniche, e viceversa. Esse si possono oenere come inersezioni di un cono (illimiao) con un piano; al variare dell'inclinazione del piano rispeo al cono, si hanno ellissi (in paricolare circonferenze), parabole e iperboli (in paricolare iperboli equilaere). A quesi re ipi di coniche, per compleezza, vanno aggiune le cosiddee coniche "degeneri", ossia le coniche che si oengono quando il piano passa per il verice del cono, quese non sono alro che coppie di ree (disine o coincideni). Dall'equazione () è possibile, anche se in modo laborioso, desumere la forma della conica corrispondene. Alla conica λ rappresenaa dall equazione () viene associaa la marice quadraa 3 3 simmerica formaa dai coefficieni della (): [aij] i,j,, 3, aij aj,i e poso A de [aij] a a a33 a a3 a3 a3 a a3 - a3 a a3 a a3 a3 a a a33 A33 a a - a si ha: ) A 0 λ irriducibile o non degenere; e inolre essa è una ellisse, una parabola, una iperbole a secondo che sia, rispeivamene, A33 > 0, A33 0 e A33 < 0 ; ) A 0 λ è riducibile o degenere, cioè la conica è spezzaa in due ree disine o coincideni; l equazione () si decompone nel prodoo di due faori lineari disini o coincideni (basa risolvere rispeo a una delle due incognie). - Sulla geomeria analiica - 7
Esempi: La conica 3 5 8 0 è una ellisse. 3 Infai avendosi [aij] 5 è A de [aij] 5 8 8 0 8-38 0 per cui essa è una conica non degenere ed essendo A33 5 > 0 è una ellisse. La conica 7 3 6 0 è spezzaa nelle ree 0 e 0 Infai avendosi [aij] 7 3 7 3 3 63 63 9 3 è A de [aij] 6 - - 9 8 0 perano è una conica spezzaa; inolre poiché da (7 3) 6 0 risula: (7 3) ± (7 3) 8( 6 ) (7 3) ± (8 90 5) 7 3 ± (9 5) 7 3 9 5 6 8 segue ( 7 3 9 5 7 36 ) (-)() Sono noe le proprieà geomeriche delle coniche irriducibili, più precisamene: in una ellisse, è cosane la somma delle disanze di un suo qualsiasi puno da due puni assegnai dei fuochi, in una iperbole, è cosane il valore assoluo della differenza delle disanze di un suo qualsiasi puno da due puni assegnai dei fuochi, in una parabola, un suo qualsiasi puno è equidisane da una rea e da un puno assegnai che non si apparengono (la rea e il puno sono dei rispeivamene direrice e fuoco della parabola). - Sulla geomeria analiica - 8
Ellissi e iperboli. Ogni ellisse e ogni iperbole ha il puno di coordinae (α,β) soddisfacene il sisema a a α a α a β a β a 3 3 0 0 come cenro di simmeria e due assi di simmeria orogonali i cui coefficieni angolari m sono le soluzioni dell equazione am (a a)m a 0 I puni comuni a λ e agli assi di simmeria si chiamano verici. Si verifica che: l ellisse ha quaro verici che deerminano due assi uno maggiore e uno minore.essa è ua compresa in un reangolo che ha per dimensioni i due assi. Se i due assi sono uguali essa è una circonferenza. l iperbole ha solo due verici che deerminano l asse raverso. Tra le ree passani per il cenro dell iperbole e non aveni alri puni in comune con l iperbole, ne esisono due che godono dell uleriore proprieà di avvicinarsi indefiniamene all iperbole. Quese due ree si chiamano asinoi dell iperbole,e i suoi coefficieni angolari m sono le radici dell equazione: am am a 0. Le ampiezze dei quaro angoli, a due a due uguali, formai dagli asinoi, deerminano la forma dell iperbole, essa è ua conenua in due dei quaro seori angolari, ra loro opposi al verice, formai dagli asinoi. L iperbole è dunque cosiuia da due pezzi saccai, che sono chiamai rami dell ipebole. Parabole. Ogni parabola possiede un asse di simmeria. Il puno in cui esso inconra la parabola, si chiama verice della parabola. Le equazioni di secondo grado del ipo: a b c (a 0) - Sulla geomeria analiica - 9
rappresenano geomericamene ue e sole le parabole con asse di simmeria vericale", di equazione: b b menre il verice V ha coordinae a ; con b - ac. a a Se a > 0, la parabola volge la concavià verso l'alo; se a < 0, essa volge la concavià verso il basso. Analogamene le equazioni di secondo grado del ipo: a b c (a 0) rappresenano geomericamene ue e sole le parabole con asse di simmeria orizzonale", di equazione: b b menre il verice V ha coordinae ; a a a con b ac. Se a > 0, la parabola volge la concavià verso la direzione posiiva dell asse ; se a < 0, essa volge la concavià verso direzione negaiva dell asse. Circonferenza. La circonferenza di cenro O e raggio r (> 0) è per definizione il luogo dei puni del piano che hanno disanza r da O, la sua equazione è r Analogamene, l equazione della circonferenza di raggio r (> 0) e cenro in un puno qualunque C di coordinae (α; β) è (*) ( α) ( - β) r che sviluppando i quadrai e facendo le opporune posizioni divena: (**) m n p 0. Il primo membro di ques ulima equazione è un polinomio di secondo grado nelle variabili, mancane del ermine in e in cui i coefficieni di e sono eguali (che essi siamo eguali ad non è essenziale, perché se essi valessero k baserebbe dividere ui i ermini dell equazione per k). Un equazione del ipo (**) rappresena una circonferenza se la si può porre nella forma (*). Per vedere se ciò è possibile aggiungendo e soraendo nella (**) la quanià m n si ha: m m n n m n p ossia m n m n p - Sulla geomeria analiica - 0
m n perano la (**) si può porre nella forma (*) se p > 0 ;in al caso essa rappresena m n una circonferenza, il cui cenro C e raggio r sono: C, Tra le proprieà della circonferenza ricordiamo che: m n e r p. per re puni non allineai passa una e una sola circonferenza; la perpendicolare ad una corda nel suo puno di mezzo(l asse della corda) passa per il cenro della circonferenza; la angene ad una circonferenza in un suo puno A è perpendicolare al raggio per A, e quindi la disanza della angene dal cenro della circonferenza è uguale al raggio; per un puno eserno ad una circonferenza passano due e due sole ree angeni ad essa. Iperboli equilaere. Paricolarmene imporani in moli conesi sono le iperboli equilaere, vale a dire le iperboli che hanno gli asinoi ra loro perpendicolari. In al caso si possono assumere proprio gli asinoi come assi coordinai, e allora le equazioni delle iperboli equilaere assumono la forma: k (con k 0) Le sesse equazioni possono essere riscrie anche in forma funzionale, dividendo enrambi i membri per e isolando così la a primo membro: k Più in generale, le equazioni della forma ( a)( b) k o della forma rappresenano iperboli equilaere aveni per asinoi le ree a,b. b k a a b Analogamene le equazioni : con ad bc 0 rappresenano iperboli equilaere c d con asinoi le ree d e c a. c - Sulla geomeria analiica -
Inersezioni ra una conica e una rea o ra due coniche. La ricerca dei puni comuni ad una conica e ad una rea si raduce algebricamene in un sisema di secondo grado in ed. Tale sisema ammee in generale due soluzioni (;), (;) che rappresenano le coordinae dei due puni di inersezione. Non è deo però che quesi due puni siano sempre reali e disini. Se il sisema non ammee soluzioni reali ciò significa in ermini geomerici che la rea non inerseca la conica; se invece il sisema ammee due soluzioni reali coincideni, ciò significa che la rea è angene alla conica. Quano alla ricerca dei puni comuni a due coniche, essa si raduce algebricamene in un sisema di quaro grado in ed. - Sulla geomeria analiica -
.Esercizi proposi ) Riconoscere la naura delle segueni coniche, deerminando: - gli assi e i verici se raasi di conica non degenere - le ree in cui si spezza se raasi di conica degenere. ) 3 ---0 ) -8-50 3) -30 ) -3-0 5) 3-0 6) -0-860 7) 5-0 8) 57-0 9) -6-90 0) 3 5--30 ) - -3-0 ) 6-0 3) 3690 ) ( ) ( 3) -0 5) 3 0 6) - 0 ) Dai i puni A ( ; -5) e B ( ; ) a)verificare che l origine non è allineao con essi. b)scrivere l equazione della parabola con asse di simmeria vericale (orizzonale) passane per O, A, B deerminandone l asse e il verice. c)scrivere l equazione della circonferenza passane per O, A, B deerminandone il cenro e il raggio. 3) Dai i puni A ( ; ),B ( ; -),C (3 ; ) a)rovare l equazione della parabola con asse di simmeria parallelo all asse passane per i re puni dai e deerminarne l asse e il verice. b)deerminare il cenro e il raggio della circonferenza passane per i re puni dai. - Sulla geomeria analiica - 3
) Trovare l equazione della circonferenza angene alla rea in ( ; ) e avene il cenro sulla rea --0. 5) Trovare l equazione della circonferenza di cenro C (-3, ) e angene all asse, (), (30). 6) Trovare l equazione della circonferenza di cenro C (, -5) e che sacca sull asse delle ascisse (ordinae) una corda di lunghezza. 7) Trovare le equazioni delle ree usceni dal puno (, -) che saccano sulla circonferenza -0 corde di lunghezza. 8) Trovare le equazioni delle ree angeni alla circonferenza -0 condoe dal puno A (, 3). 9) Trovare l equazione della angene alla circonferenza -8-50 in ciascuno dei puni in cui essa inconra l asse. 0) Trovare l equazione della circonferenza (parabola con l asse di simmeria parallelo all asse ) angene nell origine delle cordinae alla rea 3 e passane per il puno A (-, 0). Scrivere l equazione della angene in A. ) Trovare l equazione della parabola con l asse di simmeria parallelo all asse avene il verice in V (-, 0) e passane per il puno A (, ). ) Trovare l equazione delle parabola luogo dei puni equidisani dal puno F (, ) e dalla rea -0. 3) Sudiare, al variare del paramero k, le coniche a) k k 3 0 b) k k k0 - Sulla geomeria analiica -