La logica matematica Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S. 2010-2011
La logica studia le proposizioni logiche e le relazioni tra esse. Una proposizione logica è un affermazione per la quale esiste un criterio ben preciso per stabilire se è vera o falsa.
A: <<19 è un numero primo>> è una proposizione logica (Vera) B: <<19 è un numero grande>> non è una proposizione logica C: <<100 è divisibile per 3>> è una proposizione logica (Falsa)
Le proposizioni logiche possono essere semplici o composte. Proposizione logica semplice: una proposizione logica si dice semplice o atomica se contiene un solo predicato. Proposizione logica composta: una proposizione logica si dice composta o molecolare se contiene più di un predicato cioè se è composta da più proposizioni semplici.
Proposizioni semplici A: <<123 è divisibile per 3>> (Vero) B: <<125 è il quadrato 5>> (Falso) Proposizioni composte C: <<se 123 è divisibile per 3 allora 123 non è un numero primo>> (Vero) D: <<un numero pari è sempre divisibile per 3 e 123 è divisibile per 5>> (Falso)
I connettivi logici Due o più proposizioni logiche semplici possono essere legate tra di loro in modo diverso mediante connettivi in modo da formare proposizioni logiche composte I connettivi vengono detti anche operazioni logiche perché permettono di ottenere, partendo da due o più proposizioni Vere o False, una sola proposizione che può essere Vera o Falsa
Negazione I connettivi logici La negazione si esegue negando il predicato verbale, invertendo così il valore di verità. A: <<99 è divisibile per 3>> V A: <<99 non è divisibile per 3>> F
Tavola di verità della negazione A V F A F V
Congiunzione La congiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione e. La congiunzione risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere, falsa in tutti gli altri casi. A: <<2 è un numero primo>> V B: <<18 è divisibile per 3>> V C: <<256 è divisibile per 11>> F A B: <<2 è un numero primo e 18 è divisibile per 3>> V B C: <<18 è divisibile per 3 e 256 è divisibile per 11>> F
Tavola di verità della congiunzione A B A B V V V V F F F V F F F F
Disgiunzione inclusiva La disgiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione o. La disgiunzione risulta falsa solo se entrambe le proposizioni sono false, vera in tutti gli altri casi. A: <<3 è divisibile per 9>> F B: <<15 è divisibile per 6>> F A B: <<3 è divisibile per 9 o 15 è divisibile per 6>>
Tavola di verità della disgiunzione inclusiva A B A B V V V V F V F V V F F F
Disgiunzione esclusiva Nella disgiunzione esclusiva il risultato risulta vero soltanto se le proposizioni logiche sono una vera e una falsa, risulta falso se le proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità. A: <<3 è un numero primo>> V B: <<15 è divisibile per 5>> V A B <<o 3 è un numero primo o 15 è divisibile per 5>> F
Tavola di verità della disgiunzione esclusiva A B A B V V F V F V F V V F F F.
Implicazione materiale L implicazione tra due proposizioni logiche si esegue congiungendo le proposizioni con se allora L implicazione risulta falsa soltanto nel caso in cui la prima è vera e la seconda è falsa. A: <<3 è un numero primo>> V B: <<18 è divisibile per 5>> F A B: <<se 3 è un numero primo allora 18 è divisibile per 5>> F
Tavola di verità dell implicazione A B A B V V V V F F F V V F F V
Doppia implicazione (coimplicazione) La doppia implicazione si esegue congiungendo le due frasi con se e solo allora La doppia implicazione risulta vera se le due proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità, falsa negli altri casi. A: <<3 è divisibile per 2>> F B: <<5 è un numero primo>> V A B: << se e solo se 3 è divisibile per 2 allora 5 è un numero primo>> F
Tavola di verità della doppia implicazione A B A B V V V V F F F V F F F V
Espressioni logiche Le espressioni logiche sono costituite da due o più operazioni logiche. A B con A (V) e B(F) A B = V F = F F = F
Tautologie Si chiama tautologia un espressione logica che risulta vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono.. A A A A A B V F V F V V
Contraddizioni Si chiama contraddizione un espressione logica falsa qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono. A A A A A A V F F F V F
Enunciati aperti Si chiama enunciato aperto una proposizione logica che contiene una o più variabili. A(x): <<x è multiplo di 3>> Si chiama insieme universo l insieme che contiene tutti i valori che possono essere attribuiti alle variabili dell enunciato aperto. U= x N x 15 A(5): <<5 è multiplo di 3>> F B(6): <<6 è multiplo di 3>> V
Enunciati aperti Si chiama enunciato aperto una proposizione logica che contiene una o più variabili. A(x): <<x è multiplo di 3>> Si chiama insieme universo l insieme che contiene tutti i valori che possono essere attribuiti alle variabili dell enunciato aperto. U= x N x 15 A(5): <<5 è multiplo di 3>> F B(6): <<6 è multiplo di 3>> V
Insieme verità Si chiama insieme verità il sottoinsieme dell insieme universo che contiene tutti gli elementi che rendono vero l enunciato aperto.
A(x): <<x è multiplo di 3>> A= {3;6;9;12;15} A(x)= enunciato aperto A= insieme verità 1 4 7 8 11 2 5 10 U 3 9 15 6 A 12 13 14 Insieme verità
4 7 10 8 5 Negazione di un enunciato aperto Insieme verità U A(x): <<x è multiplo di 3>> 1 A U= x N x 15 2 Insieme verità di A(x) A={3,6,9,12,15 11 3 9 15 6 12 13 14 Negazione di A(x) A(x) : <<x non è multiplo di 3>> Insieme verità di A(x) A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14 Cioè l insieme verità della negazione è il complementare dell insieme verità rispetto all insieme universo
B 1 2 4 7 8 10 11 14 Congiunzione tra due enunciati aperti 3 6 12 9 15 A U 13 14 U= x N x 15 A(x): <<x è multiplo di 3>> B(x): <<x è pari>> Insiemi verità di A(x) e B(x) A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14 Congiunzione di A(x) con B(x) A(x) B(x) : <<x è multiplo di 3 e x è pari>> Insieme verità di A(x) B(x) A B ={6,12 Cioè l insieme verità della congiunzione è l intersezione dei due insiemi verità
B 1 2 4 7 8 10 11 14 Disgiunzione tra due enunciati aperti 3 6 12 9 15 A U 13 U= x N x 15 A(x): <<x è multiplo di 3>> B(x): <<x è pari>> Insiemi verità di A(x) e B(x) A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14 Disgiunzione di A(x) con B(x) A(x) B(x) : <<x è multiplo di 3 o x è pari>> Insieme verità di A(x) B(x) AUB ={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15 Cioè l insieme verità della disgiunzione è l unione dei due insiemi verità