5.4 Solo titoli rischiosi

56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono contenuti nel vettore colonna R, hanno media R IR n e matrice di covarianza simmetrica e definita positiva) V IR n n. Un portafoglio è individuato da un vettore colonna IR n i cui elementi rappresentano le quote dei corrispondenti titoli presenti nel portafoglio i < 0 significa che il titolo i è venduto allo scoperto). Perciò è un portafoglio relativo, quindi sarà 1 1. Chiamo P l insieme di tutti i possibili portafogli relativi, cioè P { IR n : 1 1}. Il rendimento R R del portafoglio ha media R e varianza V. Assumo che gli individui siano avversi al rischio e che esprimano le loro preferenze sulla base della media e della varianza dei rendimenti contesto media-varianza). Per ogni dato rendimento atteso m IR, è essenziale individuare il portafoglio in grado di garantire quel rendimento atteso con rischio minimo: fra tutti i portafgogli dal rendimento atteso m, occorre scegliere quello con varianza minima. Questo equivale a risolvere il seguente problema di ottimo vincolato 1 min 2 V R m 5.4.1) 1 1 Le soluzioni di questo problema costituiscono la cosiddetta frontiera delle possibilità F P, cioè la frontiera dell insieme P nello spazio σ 2,m ) oppure σ,m). Per risolvere il problema 5.4.1) costruisco la corrispondente lagrangiana L,λ,µ) 1 2 V λ 1 R m ) λ 2 1 1 ), le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ 1 R λ 2 1 0 L λ 1 R m 0 L λ 2 1 1 0, possono essere riscritte in modo compatto V λ 1 R λ2 1 0 R m 1 1. 5.4.2) Le condizioni 5.4.2) possono essere riscritte in forma matriciale: V R 1 0 R 0 0 λ 1 m, 1 0 0 1 λ 2

5.4. Solo titoli rischiosi 57 dove la matrice V R 1 R 0 0 1 0 0 IRn+2) n+2) è invertibile in quanto, per ipotesi, il vettore R non contiene né rendimenti certi, né rendimenti perfettamente positivamente o negativamente) correlati questi fatti derivano dall ipotesi che V è definita positiva). In questo caso la soluzione unica) è λ 1 λ 2 1 0 m 1. per semplicità si può porre 1 1 ) 1 1 ) 2 1 ) 3, 1 ) 1 IR n+2) n, 1 ) 2 IR n+2, 1 ) 3 IR n+2, ottenendo λ 1 λ 2 m 1) 2 + 1 ) 3. Se chiamo h e k le prime n componenti rispettivamente dei vettori 1) 3 e 1 ) 2, allora si può esprimere il portafoglio nella forma h + mk. 5.4.3) La 5.4.3) mostra che i pesi relativi del portafoglio che minimizza il rischio dato il rendimento atteso m sono funzioni lineari del rendimento atteso. 5.4.1 La frontiera delle possibilità I vettori h e k possono essere considerati due portafogli. La frontiera delle possibilità F P è l insieme dei portafogli che verificano le 5.4.2), cioè quelli dati dalla 5.4.3). Il portafoglio h appartiene a F P, esso è il portafoglio dal rendimento atteso nullo: h h+0k. La somma dei pesi del portafoglio k è nulla, infatti 1 h + k) 1 h + 1 k 1 + 1 k 1 1 k 0 un portafoglio con somma di pesi nulla viene a volte detto portafoglio di arbitraggio). Ovviamente k / F P, addirittura k / P. Il portafoglio k definisce quanto va aggiunto ad h per ottenere un rendimento atteso unitario. Chiaramente h e k sono portafogli fittizi utili per fare i conti. Se rappresento l insieme dei portafogli ammissibili nel piano varianza-media, oppure nel piano scarto quadratico medio-media, tutti i portafogli che soddisfano la 5.4.3) stanno sulla frontiera di P vedi figura 5.4.1). La formula 5.4.3) ha delle importanti implicazioni, infatti se e y stanno sulla frontiera delle possibilità, allora saranno pari a h + m k, y h + m y k, dove m e m y sono i rispettivi rendimenti attesi. Valgono quindi i seguenti risultati:

58 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 1. Convessità di F P. Se,y F P, allore ogni portafoglio z λ + 1 λ) y, 0 λ 1 appartiene alla frontiera delle possibilità. Infatti z λ + 1 λ)y λh + m k) + 1 λ) h + m y k) h + k λm + 1 λ)m y. La frontiera delle possibilità è un insieme convesso. 2. Teorema dei due fondi. Ogni portafoglio w appartenente alla frontiera delle possibilità può essere espresso come combinazione lineare di altri due portafogli e y anch essi sulla frontiera delle possibilità. Infatti, dati due qualsiasi portafogli,y F P, w h + m w k, λ IR : m w λm + 1 λ) m y, per cui w λ + 1 λ)y con λ IR). Questo è il cosiddetto teorema dei due fondi o di separazione in due fondi: Dati due distinti portafogli sulla frontiera delle possibilità,y F P ), l intera frontiera è rappresentabile come combinazione lineare di questi due portafogli. 3. Covarianza lineare rispetto ai rendimenti attesi. La covarianza fra un qualsiasi titolo o portafoglio possibile ed un portafoglio sulla frontiera delle possibilità è lineare nel vettore R dei rendimenti attesi. Infatti, sia p P e F P : cov p,) p V p V h + m p V k p V h + R p V k ). 4. Covarianza fra i rendimenti di due portafogli sulla frontiera delle possibilità. Siano,z F P, data la 5.4.3) cov R, R ) z V z h + m k) V h + m z k) cov R, R ) z h V h + m + m z ) k V h + m m z k V k. 5.4.4) 5. Varianza di un portafoglio di F P. Ora posso calcolare la varianza, basta porre m m z nella 5.4.13): σ 2 V h + km) V h + km) h V h + 2k V hm + k V k m 2, ) σ 2 var Rk m 2 + 2cov Rh, R ) ) k m + var Rh, 5.4.5) che definisce una parabola nello spazio σ 2,m ) ed un iperbole nello spazio σ,m), entrambe con asse di simmetria orizzontale vedi figura 5.4.1). 6. Portafoglio a varianza minima. Il vertice della parabola definita dalla 5.4.5) rappresenta il portafoglio v a varianza rischio) minima. Dalla 5.4.5) si possono ricavare il rendimento atteso m v di v m v k V h k V k cov h,k) var k),

5.4. Solo titoli rischiosi 59 e la varianza minima σ 2 v è ) σv 2 h k V h ) k V k k V h k V h k V k k h V h 2 k V h Rh, R ) 2 k σ 2 v h V h k V h) 2 k V k var Rh ) cov ). var Rk k V k h V k + k ) V h 2 k k V k V k La composizione del portafoglio a varianza minima è perciò v h k V h cov Rh, R ) k k V k k h ) k; var Rk inoltre, è possibile dimostrare che v V 1 1 C V 1 1 1 V 1 1 5.4.6) Si veda il paragrafo 5.4.2 per la dimostrazione. 7. Frontiera efficiente. I portafogli della frontiera delle possibilità con rendimento atteso non inferiore a m v costituiscono la frontiera efficiente F dell insieme dei portafogli che si possono costituire con le n attività rischiose date. L efficienza di questi portafogli è da intendere in senso paretiano. 0.25 0.25 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 0.05 0.05 0.1 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.2 0.4 0.6 Figura 5.1: Sinistra: frontiera delle possibilità nello spazio σ 2,m ). Destra: frontiera delle possibilità nello spazio σ,m). È evidenziata la frontiera efficiente.

5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio 69 5.5 Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Se fra i titoli ne è presente uno certo, la matrice V avrà una riga ed una colonna nulle in corrispondenza a tale titolo la varianza del rendimento certo così come le covarianza con tutti gli altri titoli sono nulle). In questo caso V non sarebbe invertibile. È quindi opportuno tenere il titolo certo separato dagli altri. Considero la situazione di partenza del paragrafo 5.4 con l aggiunta del titolo 0 senza rischio, dal rendimento certo pari a R 0. Un portafoglio è ora individuato dal vettore colonna 0 IR n+1 in cui 0 rappresenta la quota investita nel titolo senza rischio. Siccome gli elementi del vettore 0 sono pesi relativi, deve essere 0 1 1 perciò è possibile esprimere 0 1 1. Il rendimento del portafoglio è quindi 0 R R 0 0 + R R 0 + R R 0 1 ), 5.5.1) con media e varianza E R 0 + R R 0 1 ) R 0 + R R 0 1 ), var R 0 + R R 0 1 ) ) ) var R V. Nel problema min 2 V 0 R 0 + R m 1 1 1 0 è quindi possibile esplicitare facilmente uno dei vincoli, così che il problema di ricerca della frontiera delle possibilità ha il solo vincolo sul rendimento atteso: 1 min 2 V R 0 + R R 0 1 ) 5.5.2) m. La lagrangiana del problema 5.5.2) è L,λ) 1 2 V λ R 0 + R R 0 1 ) m, le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ R R0 1 ) 0 L λ R 0 + R R 0 1 ) m 0

70 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza possono essere riscritte in modo compatto V λ R R0 1 ) R 0 + R R 0 1 ) m 5.5.3) o in notazione matriciale V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 λ 0 m R 0. Pongo K V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 IR n+1) n+1) ; se non tutti i titoli hanno rendimento atteso pari a R 0 la matrice K è invertibile grazie al fatto che V è definita positiva. Quindi i valori ottimali di e λ soddisfano λ K 1 0 m R 0 Basta allora porre w pari ai primi n elementi dell ultima colonna di K 1 per ottenere. w m R 0 ), 5.5.4) cioè la composizione dei portafogli sulla frontiera delle possibilità è 0 1 1 w m R 0 ) w m R 0 ). 5.5.5) 5.5.1 La frontiera delle possibilità Come nel caso di soli titoli rischiosi, elenco ora alcuni risultati che derivano dalla 5.5.5). 1. Convessità della frontiera delle possibilità. La convessità dei portafogli che soddisfano la 5.5.5) si dimostra facilmente. Infatti, λ 0, 1, dati due portafogli 0 1 1 w m R 0 ) w m R 0 ), e y0 y 1 1 w m y R 0 ) w m y R 0 ), il portafoglio z 0 z λ 0 + 1 λ) y 0 y 1 1 w λm + 1 λ)m y R 0 ) w λm + 1 λ) m y R 0 ) ha è esattamente la forma 5.5.5) con m z λm + 1 λ) m y.

5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio 71 2. Portafoglio di mercato. La 5.5.4) mostra chiaramente che in ogni portafoglio di frontiera i titoli rischiosi sono presenti nelle proporzioni date dagli elementi di w. Inoltre, il portafoglio 1 di soli titoli rischiosi è un portafoglio efficiente. Esso è composto nelle stesse proporzioni di w: 1 w m R 0) 1 w m R 0 ) w 1 w, cioè 1 w m R 0 ) 1. Siccome w 1 è un portafoglio efficiente di soli titoli rischiosi w e, per la 5.5.5), ogni portafoglio efficiente è composto da una quota di w e da una w di titolo certo, è conveniente chiamare 1 portafoglio di mercato indicandolo con w. 3. Teorema dei due fondi. Dalla 5.5.5) deriva che ogni portafoglio di frontiera, cioè soluzione del problema 5.5.2), è composto da una quota 0 di titolo senza rischio e dalla quota 1 0 ) di portafoglio di mercato. Infatti, w m R 0 ) 1 w m R 0 ) w 1 w 1 1 1 w m R 0 ) ) w 1 w 1 0). È così dimostrato il teorema dei due fondi per mercati con titolo certo: ogni portafoglio di frontiera quindi anche i portafogli efficienti) è composto da titolo senza rischio e da un portafoglio di frontiera di soli titoli rischiosi, uguale per tutti gli investitori. Infatti, il portafoglio è detenuto da chiunque desideri investire in titoli rischiosi, cioè tutti gli investitori beninteso salvo quelli che detengono solo il titolo non rischioso) detengono titoli rischiosi solo nelle proporzioni del portafoglio : ecco perché prende il nome di portafoglio di mercato. Pongo per semplicità R R. I portafogli di frontiera sono perciò composti per una quota 0 dal titolo non rischioso e per la rimanente 1 0 ) dal portafoglio di mercato : R 0 R 0 + 1 0 ) R. 5.5.6) Per ottenere un rendimento atteso m con la minima varianza occorre quindi scegliere 0 in modo tale che 0 R 0 + 1 0 ) R m, cioè 0 m R R 0 R. 5.5.7) Naturalmente, se 1 0 ) > 1, cioè se 0 < 0, il titolo senza rischio è venduto allo scoperto per investire una quota maggiore di 1 nel portafoglio di mercato. 4. Varianza di un portafoglio di frontiera. Data la semplicità della 5.5.7), è

72 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza immediato calcolare la varianza di un portafoglio sulla frontiera delle possibilità: var 0 R 0 + 1 0 ) R ) 1 0 ) 2 var R 1 0 ) 2 V 1 m R ) 2 ) R 0 R σ 2 R0 m 2 R 0 R σ 2, ) σ 2 R0 m 2 R 0 R σ; 2 5.5.8) il corrispondente scarto quadratico medio è σ R 0 m R 0 R σ. 5.5.9) 5. Capital market line. Nello spazio σ 2,m ) la curva definita dalla 5.5.8) è una parabola con vertice lungo l asse delle ordinate ed asse di simmetria orizzontale; nello spazio σ,m) invece la linea 5.5.9) è l unione ) di due semirette ) con origine comune nel R R 0 R R 0 punto 0,R 0 ) e pendenze e. Solo la semiretta crescente σ costituisce la frontiera efficiente dei portafogli possibili si veda la figura 5.5.1): la Capital arket Line CL). L equazione che lega rendimento atteso e scarto quadratico medio è quindi σ m R 0 + R R 0 σ σ, che può avere la seguente interpretazione: il rendimento atteso di un portafoglio efficiente è pari al rendimento privo di rischio maggiorato di una quantità proporzionale allo scarto quadratico ) medio il rischio) del rendimento. Il fattore di proporzionalità R R 0 è. σ 6. Portafoglio di tangenza. Il portafoglio appartiene alla CL ed alla frontiera delle possibilità dei portafogli di soli titoli rischiosi. Nel piano σ,m), il portafoglio deve quindi corrispondere al punto di tangenza fra la CL e l iperbole F P. È facile convincersene: se la frontiera F P non stesse tutta a destra debolmente) della CL, esisterebbero dei portafogli di titoli rischiosi più efficienti di quelli della CL, contraddicendo la definizione di CL; se non ci fossero punti di contatto fra F P e CL, ciò contraddirebbe l esistenza del portafoglio. Quindi è il portafoglio di tangenza fra F P e CL, come mostrato nella figura 5.5.1. 7. Portafogli efficienti. Come osservato al punto 5, i portafogli efficienti stanno sulla semiretta crescente uscente dal punto 0,R 0 ). Il loro rendimento atteso è distinguo diversi casi: a) R > R 0 : m 0 R 0 + 1 0 ) R.

5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio 73 i. m < R 0 0 > 1 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. m R 0 0 1 solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iii. R 0 < m R 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; b) R < R 0 : i. m < R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. R < m R 0 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, ma il portafoglio è inefficiente; iii. m R 0 0 1 solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 0 < 0 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; Di queste situazioni sono economicamente interessanti quelle al punto 7a, ma per poterlo giustificare serve appunto introdurre ipotesi di equilibrio sul mercato dei capitali come nel paragrafo 6. Infatti, supponendo di trovarci nei casi del punto 7b, i portafogli efficienti sono solo quelli che contengono una quantità nulla punto 7b)iii) o negativa punto 7b)iv) di portafoglio di mercato. Non ci sarebbe nessuno disposto a detenere in quantità positiva, a fronte di una offerta di venduto allo scoperto. In questo caso il mercato dei titoli rischiosi non troverebbe un equilibrio. La figura 5.5.1 rappresenta il caso più frequente ed economicamente significativo. 0.25 0.2 0.15 0.1 m 0.05 CL 0 0.05 0.1 R 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 σ Figura 5.3: Titoli rischiosi e titolo senza rischio.

78 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.6 Diversificazione È intuitivo pensare che non mettere tutte le uova nello stesso paniere riduce il rischio di rimanere senza uova. La teoria del portafoglio appena presentata permette di affermare con precisione) lo stesso principio: un portafoglio ben) diversificato è in grado di ridurre il rischio a parità di rendimento atteso. 5.6.1 Due titoli rischiosi Già nel caso di un portafoglio composto da due titoli rischiosi è possibile far emergere le circostanze in cui la diversificazione può ridurre il rischio. Considero un portafoglio composto da due titoli rischiosi i cui rendimenti sono caratterizzati da: ρ 1,2 ρ rendimento medio varinza del rendimento titolo 1 m 1 σ 2 1 titolo 2 m 2 σ 2 2 con m 1 m 2 e σ 1 σ 2 non nulle. Questi due titoli sono presenti nel portafoglio nelle proporzioni di titolo 1 e 1 ) di titolo 2, in questo modo ho eliminato il vincolo 1 + 2 1. La media e la varianza del rendimento del portafoglio sono m m 1 + 1 )m 2, 5.6.1) σ 2 2 σ 2 1 + 1 )2 σ 2 2 + 21 )σ. 5.6.2) Con due soli titoli è semplice esprimere la varianza in termini del peso σ 2 2 σ 2 1 + 1 2 + 2) σ 2 2 + 2 2) σ 1 σ 2 ρ 2 σ 2 1 + σ 2 2 2σ 2 2 + σ 2 2 2 + 2σ 1 σ 2 ρ 2σ 1 σ 2 ρ 2 σ 2 1 + σ2 2 2σ ) 2 2 σ 2 2 σ ) + σ 2 2, che è una espressione di secondo grado. La varianza minima si ha per v 2 σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ ed ha valore σv 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 σ2 2 σ ) σ2 2 σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ2 2 σ ) 2 + σ 2 2 σ 2 1 + σ2 2 2σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ σ2 2 σ2 2 + 2σ σ1 2ρ2 + σ1 2 + σ2 2 2σ σ1 2 + σ2 2 2σ σ1σ 2 2 2 1 ρ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ

5.6. Diversificazione 79 σ2 2 v σ σ1 2 + σ2 2 2σ σv 2 1 ρ 2 σ2 1 σ2 2 σ1 2 + σ2 2 2σ Se v 0,1) significa che una combinazione lineare convessa dei due rendimenti ha varianza inferiore rispetto a quella di entrambi i rendimenti presi singolarmente, ma ha valore atteso superiore ad uno dei due rendimenti. Questo significa che è possibile miscelare i due titoli, senza vendite allo scoperto, in modo da avere benefici dalla diversificazione. Per vedere quando v 0,1), comincio a notare che σ 2 1 +σ2 2 2σ > 0. Infatti, questa quantità può essere scritta come σ 2 1 + σ 2 2 2σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 ) 2 + 21 ρ)σ 1 σ 2, in cui il primo addendo è positivo, mentre il secondo è non negativo. Quindi, v > 0, se σ 2 2 σ > 0, ρ < σ 2 v < 1, se σ 1 σ 2 2 σ σ 2 1 +σ2 2 2σ < 1 σ 2 2 σ < σ 2 1 + σ2 2 2σ σ 1 σ 2 ρ σ 2 1 < 0, ρ < σ 1 σ 2 Siccome ρ 1, 1 per definizione una delle due condizioni è sicuramente verificata, ma è v 0,1) quando sono verificate entrambe ρ < min σ 1,σ 2 ) ma σ 1,σ 2 ). 5.6.3) Quindi nel caso in cui vale la 5.6.3), essendo R v una combinazione lineare convessa di R 1 e R 2, allora m v > minm 1,m 2 ): m v σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ m σ2 2 1 + 1 σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ m 2 m 1,m 2 ), cioè uno dei due rendimenti è dominato in media-varianza da R v e, grazie alla continuità in di 5.6.1) e 5.6.2), da infiniti portafogli. Per rendersi conto dell importanza della correlazione nel determinare il rischio dei portafogli, calcolo, sempre con due soli titoli, la frontiera delle possibilità che con due titoli coincide con l insieme delle possibilità). Dalla 5.6.1) ottengo m m 2 m 1 m 2,

80 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ 1 20 titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.1: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi che usato nella 5.6.2) produce m σ 2 m2 m 1 m 2 ) 2 σ 2 1 + 1 m m 2 m 1 m 2 ) 2 ) m σ2 2 + 2 m2 1 m m ) 2 σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 m 1 m 2 m m 2) 2 σ 2 1 + m 1 m) 2 σ 2 2 + 2m m 2)m 1 m)σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 ) 2 σ2 1 + σ2 2 2σ m 1 m 2 ) 2 m 2 2 σ2 1 m 2 + σ 2 2 m 1 σ 1 σ 2 ρm 1 + m 2 ) m 1 m 2 ) 2 m + σ2 1 m2 2 + σ2 2 m2 1 2σ m 2 m 1 m 1 m 2 ) 2 che è una parabola in m nel piano σ 2,m ), mentre è un iperbole nel piano σ,m); in entrambi i casi l asse di simmetria delle curve è orizzontale. La figura 5.6.1 mostra le combinazioni di media e scarto quadratico medio ottenibili con i due titoli della tabella 5.1 al variare del coefficiente di correlazione. 10.5 10 m 1 9.5 ρ 0.5 ρ 0 m 9 ρ 1 ρ 1 8.5 ρ 0.5 8 m 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 σ Figura 5.4: Portafogli composti da due titoli rischiosi È da notare che se considero due titoli in cui uno è dominato in media-varianza dall altro, può essere comunque razionale detenere in portafoglio una quota del titolo dominato. Infatti, se la correlazione fra i due rendimenti è abbastanza debole, il titolo dominato può generare l effetto diversificazione. Cioè esistono portafogli efficienti che contengono una quota positiva del titolo dominato. Si consideri per esempio i titoli della tabella 5.2 il titolo 2 è dominato in media-varianza dal titolo 1, ma i loro rendimenti hanno correlazione nulla. La quota del titolo 1 nel portafoglio a varianza minima è v σ 2 2 σ σ 2 1 + σ2 2 2σ 25 20.25 + 25 0.5524861878.

5.6. Diversificazione 81 ρ 0 rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ 1 4.5 titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.2: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi Tutti i portafogli con v,1) sono efficienti in termini di media varianza, eppure contengono una quota 1 ) > 0 di un titolo che preso singolarmente è dominato da un altro titolo. 5.6.2 Portafoglio equiripartito Presento ora una discussione più generale dell effetto delle covarianze sul rischio di un portafoglio. Considero un portafoglio equiripartito fra n titoli, cioè che contiene una quota pari a 1 n di ognuno degli n titoli. Il vettore dei pesi è quindi p 1 n1 e la sua varianza 1 n 1 V 1 può essere riscritta come 2 var p ) i1 1 n 2V ii + i1 j1 j i 1 n 2V ij 1 n i1 V ii n + n 1 n i1 j1 j i V ij n n 1). Osservo che n i1 V ii n è la media aritmetica delle varianze dei titoli, mentre n i1 nj1 è la media aritmetica delle covarianze fra i vari titoli, pongo allora j i V ij nn 1) σ 2 n i1 V ii n, c n i1 j1 j i V ij n n 1), per cui var p ) 1 n σ2 n + n 1 n c n. 5.6.4) Suppongo ora che il numero di titoli aumenti. È sensato immaginare che σ2 n e c n possano sì variare in conseguenza ai nuovi titoli considerati, ma essi rimarranno quantità finite. Si assume quindi lim n + σ2 n σ2 0,+ ), lim c n c 0,+ ). n + Facendo allora aumentare indefinitamente il numero dei titoli n + si ottiene 1 var p ) lim n + n σ2 n + n 1 ) n c n c, si è cioè eliminato il rischio rappresentato dal primo addendo della 5.6.4). La morale è che la diversificazione riduce il rischio, ma esiste una parte del rischio che non è eliminabile attraverso la diversificazione Esistono quindi due tipi di rischio:

82 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza una, legata alle varianze dei rendimenti dei titoli, che può essere ridotta fino ad essere eliminata attraverso la diversificazione, cioè l aumento dei titoli presenti nel portafoglio; un altra parte, legata alla covarianza media dei titoli presenti sul mercato, che non può essere eliminata tramite diversificazione. Il rischio del primo tipo viene detto rischio eliminabile, specifico o idiosincratico. Esso è legato alle caratteristiche specifiche di ogni titolo. Il rischio di secondo tipo è detto ineliminabile, di mercato o sistematico. Esso è tanto più elevato quanto più i rendimenti dei titoli del mercato considerato hanno l abitudine di muoversi covariare) insieme.