Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 4 Prof.ssa Stefania Petracca 1
Vettore posizione Per poter generalizzare i concetti introdotti nella lezione precedente al caso bidimensionale, e successivamente a quello tridimensionale, occorre riprendere alcuni concetti sui vettori ed applicarli in maniera pratica per i nostri intenti. Innanzitutto bisogna sottolineare che la posizione di un qualsiasi corpo nello spazio è un vettore. Quindi una generica posizione nel piano deve essere intesa come una grandezza vettoriale. Dalla figura si nota facilmente quanto affermato. 2
Vettore spostamento I A seguito della natura vettoriale della posizione segue a ruota che anche lo spostamento (cioè la variazione tra due posizioni consecutive) deve essere inteso come un vettore. Infatti 3
Vettore spostamento II Bisogna notare che gli spostamenti possono non avere nulla in comune con il percorso effettivo di un corpo al variare del tempo. Inoltre Il tempo non compare esplicitamente e il concetto di vettore posizione contiene implicitamente il fatto che si sta osservando un moto prendendo misure a tempi diversi. Più vicini tra loro sono i tempi, più è plausibile pensare che gli spostamenti avvengono sulla traiettoria. Se dovessero mancare indicazioni sui tempi il moto può solo essere estrapolato. Infine la traiettoria è la curva percorsa nello spazio, senza nessun riferimento al tempo. La palla rossa potrebbe essere stata ferma in una qualsiasi posizione, senza che dal grafico questo traspaia. Le stesse traiettorie possono essere percorse in modo diverso, con diverse velocità, diverse fermate, diverse accelerazioni. 4
Vettore spostamento III Lo spostamento totale su un percorso chiuso è nullo, mentre la distanza percorsa non lo è. In figura si riporta i vettori spostamento mano a mano che l intervallo di tempo dt diminuisce. Si può estrapolare che mano a mano che dt diventa più piccolo, il modulo del vettore spostamento dr = r(t+dt) - r(t) e la lunghezza del tratto di traiettoria ds tendono a coincidere. La retta su cui giace il vettore spostamento, mano a mano che dt diminuisce, tende a essere tangente alla curva che descrive la traiettoria: dr = ds τ con τ versore (vettore di modulo 1) che giace sulla retta tangente alla traiettoria nel punto e che punta nella direzione in cui avviene il moto. 5
Velocita media vettoriale Estendiamo al caso bidimensionale il concetto di velocità media considerando il rapporto della differenza tra due posizioni (in due istanti di tempo diversi) con l intervallo di tempo stesso. La velocità media, quindi, è un vettore ed indica la rapidità con cui un corpo si muove in una data direzione e verso nell intervallo di tempo considerato. Una conseguenza fondamentale del concetto di velocità media è che se la valutiamo su un intervallo di tempo in cui la posizione iniziale e quella finale coincidono otteniamo il vettore nullo (velocità media nulla). Questa conclusione discende direttamente dal fatto che su un percorso chiuso il vettore spostamento è nullo. 6
Velecita istantanea vettoriale I La velocità ad un certo istante di tempo viene definita a partire dalla velocità media, considerando intervalli di tempo sempre più corti (si deve ipotizzare di avere valori di misura della posizione per molti valori di tempo vicini tra loro. La velocità istantanea è definita come il processo al limite del rapporto spostamento diviso per l intervallo di tempo, quando questo diventa sempre più piccolo (tende a zero). Poiché sia lo spostamento che l intervallo di tempo tendono a zero, il loro rapporto, è un valore definito. La direzione della velocità istantanea (chiamata d ora in poi velocità) è definita dalla tangente geometrica alla traiettoria nel punto considerato, nel verso della percorrenza delle traiettoria. 7
Velecita istantanea vettoriale II Se la legge oraria r(t) è nota analiticamente, la velocità limite si ottiene con l operazione di derivazione L operazione di derivazione di un vettore non è diversa da quella di una funzione (scalare) se si conoscono le leggi orarie per le componenti x(t), y(t), z(t) del vettore posizione r(t). Infatti poiché è sempre vero per la regola della derivata della somma e dei prodotti (tenere in conto che i versori i, j, k sono costanti, non variano con il tempo quindi si comportano come le costanti nella derivazione) Le componenti del vettore velocità sugli assi cartesiani sono date da 8
Accelerazione media vettoriale Accelerazione media è calcolata come il rapporto tra le variazioni di velocità istantanea relativi a due istanti di tempo: Graficamente l accelerazione media è interpretabile come segue 9
Accelerazione istantanea vettoriale L accelerazione ad un certo istante di tempo viene definita a partire dalla velocità media, considerando intervalli di tempo sempre più brevi (si deve ipotizzare di avere valori di misura della velocità istantanea per molti valori di tempo, vicini tra loro). L accelerazione istantanea (chiamata d ora in poi accelerazione) è definita come il processo al limite del quoziente tra variazione di velocità e l intervallo di tempo in cui la variazione avviene, per intervalli di tempo (e quindi variazioni di velocità) sempre più piccoli: La accelerazione è nulla se la velocità non varia nel tempo (velocità costante). La velocità è un vettore, e può essere costante in modulo (vedere moto circolare uniforme) ma variare in modulo e direzione, e quindi l accelerazione in questo caso non è nulla. La direzione dell accelerazione istantanea è determinata dalla differenza tra i vettori velocità per istanti molto vicini tra loro. Matematicamente possiamo scrvere 10
In definitiva la cinematica vettoriale La velocità istantanea e l accelerazione istantanea sono definite come le funzioni (vettoriali) che si ottengono derivando nel tempo rispettivamente la funzione posizione e la funzione velocità Questo significa che è possibile conoscendo la funzione accelerazione in funzione del tempo trovare la funzione velocità in funzione del tempo; successivamente integrando la funzione velocità è possibile trovare la funzione posizione Il moto è allora determinato a meno di due costanti (costanti di integrazione). Le condizioni iniziali permettono di determinare in modo univoco il moto, dando la possibilità di definire i valori delle costanti. (Gli integrali di funzioni vettoriali sono la somma degli integrali delle componenti) 11
Moto circolare uniforme I Si definisce moto circolare uniforme il moto di un corpo che descrive archi uguali in intervalli di tempo uguali. A differenza del moto a velocità costante su una retta, ora la velocità media (nel senso di vettore) cambia in direzione e verso, anche se il suo valore (modulo del vettore velocità media) rimane uguale: questo comporta che nel moto circolare uniforme vi sia un accelerazione (variazione di velocità nel tempo). Riportiamo in grafico alcuni esempi di spostamento durante il moto su una circonferenza. Il generico vettore posizione, oltre alla scelta di un sistema di coordinate cartesiane, può essere rappresentato in coordinate polari. In tal caso bisogna assegnare un angolo e la distanza del punto dall origine degli assi. 12
Moto circolare uniforme II Dato che il moto è uniforme possiamo affermare: archi uguali sono percorsi in intervalli di tempi uguali. Quindi anche angoli uguali in intervalli di tempi uguali: l angolo al centro cresce proporzionalmente al tempo: θ(t) = ω t, con ω = costante. Poiché ω è costante dθ(t) /dt= ω. ω viene chiamata velocità angolare e si misura in rad/s. Dato che il corpo in moto dopo un giro ritorna ad avere le stesse posizione si introduce il concetto di periodo T come il tempo necessario per compiere un giro completo. Quindi deve essere soddisfatta la condizione 2 π = ω T ovvero T = 2 π / ω. Infine di notevole interesse è la cosiddetta frequenza: numero di giri per unità di tempo. ν = 1 / T = ω / 2 π. Calcoliamo esplicitamente tutte le grandezze necessarie allo studio completo del moto circolare uniforme. Il generico punto sulla circonferenza ha come coordinate: Il vettore velocità è Il modulo della velocità lineare v e della velocità angolare ω sono collegate dalla relazione v = r ω. Dato ω, costante, la velocità lineare v aumenta linearmente con l aumentare del raggio della circonferenza. Infatti, a parità di angolo percorso, più ci allontana dal centro, maggiore è l arco che si deve percorrere, nello stesso tempo. Si può verificare, che le due espressioni per v(t) e r(t) verificano che v r = 0 (i due vettori sono perpendicolari). 13
Moto circolare uniforme III: accelerazione centripeta Grafichiamo a due istanti di tempo diversi i vettori velocità (tangenti alla circonferenza). Attraverso considerazioni geometriche otteniamo il valore dell accelerazione: Quando Δt tende a zero Δ v / Δ t tende al valore dell accelerazione (in modulo), Δ r / Δ t al valore della velocità (in modulo). L accelerazione, in modulo, vale quindi: N.B. AA perpendicolare a OA, e BB perpendicolare a OB, per cui l angolo (BOP) è uguale all angolo (A AB ). I triangoli sono isosceli, e avendo uguali gli angoli al vertice, hanno uguali gli angoli di base. Le basi sono tra loro perpendicolari. 14
Moto circolare uniforme IV: accelerazione centripeta I vettori Δ v e Δ r sono tra loro ortogonali. Quando Δ t tende a 0, il vettore Δ r tende a d r, perpendicolare a r la tangente alla circonferenza. Δ v tende a d v, perpendicolare alla tangente, antiparallelo a r, ovvero diretto verso il centro, in verso opposto a quello del vettore r: l'accelerazione è diretta verso il centro: accelerazione centripeta 15
Moto circolare uniforme V: accelerazione centripeta Eseguendo la derivata temporale in coordinate cartesiane del vettore velocità precedentemente calcolato, abbiamo: Tenendo conto della relazione che lega velocità lineare e velocità angolare, si ritrova la relazione tra velocità lineare e accelerazione centripeta. 16
Moto circolare uniformemente accelerato Se il moto è circolare ma non uniforme abbiamo una variazione temporale sia del modulo della velocità sia della velocità angolare. L accelerazione può essere scomposta in due componenti: tangenziale a t = r α, con α accelerazione angolare e a c = ω 2 r = v 2 / r (accelerazione centripeta) sempre presente. In una traiettoria curva qualsiasi, generalmente sono presenti entrambe. In questo caso è possibile tuttavia supporre per piccoli tratti della traiettoria un moto circolare. In questo caso si parlerà di cerchio osculatore. 17
Moto parabolico I Il moto parabolico è costituito da due moti indipendenti: sull asse x con acc. Nulla (moto rettilineo ed uniforme) e sull asse z con accelerazione costante (moto uniformemente accelerato) diretta verso il basso (-g). Integrando le equazioni per le accelerazioni lungo i due assi otteniamo le relazioni che legano le velocità al tempo 18
Moto parabolico II La velocità lungo l asse z, v z, prima diminuisce a causa della presenza di un accelerazione negativa, successivamente si annulla ad un certo tempo e poi in valore assoluto cresce (ma con un segno meno). La derivata prima è sempre negativa e costante. La velocità lungo l asse x, v x, rimane costante. Tali velocità sono riportate di seguito Infine integrando le relazioni per le velocità otteniamo le leggi orarie per i due moti Le leggi orarie sono 19
Moto parabolico III La quota massima raggiunta dal corpo in caduta corrisponde all istante di tempo in cui si annulla la velocità lungo l asse z :v z (t m ) = 0 Per v 0 = 0 (velocità iniziale nulla) e per α = 0 (velocità iniziale orizzontale), la quota massima è la quota iniziale z 0 ; per α = 90 (velocità iniziale verticale) z(t m )= z 0 +(v 0 ) 2 /2g. 20
Moto parabolico IV Definiamo la gittata come lo spazio percorso in direzione orizzontale. La funzione x(t) è una funzione crescente linearmente nel tempo ed il suo massimo corrisponde all istante in cui il moto termina (coordinata z nulla). x ( ) 2 2 v sinα + v sin v cosα x( t ) gz g 0 2 G = f = 0 0 α + Nel caso di quota nulla (z 0 = 0) la massima gittata dipende soltanto dall angolo di sparo. Ed in particolare vale 45. 0 Riportiamo due semplici esempi per una descrizione visiva del moto parabolico. 21