Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Studio di una funzione

Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) quando x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Una funzione f é decrescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) se x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Crescente Decrescente Crescente

Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che f x f(x 0 ) x x 0 > 0 per ogni x I x 0 D(f). Una funzione f é decrescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che f x f(x 0 ) x x 0 < 0 per ogni x I x 0 D(f).

Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [a, d] e differenziabile sull intervallo aperto (a, d). 1. Se f (x)>0 per ogni x in (b, c), allora f é crescente in [b, c]. 2. Se f (x)<0 per ogni x in (a, b), allora f é decrescente in [a, b]. 3. Se f (x)=0 per ogni x in (c, d), allora f é costante in [c, d]. a b c d

Estremi di una funzione: massimi e minimi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo in x=c, appartenente ad A, chiamato max f, se f ( x) f ( c) per ogni x in A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d, appartenente ad A, chiamato min f, se f ( x) f ( d) per ogni x in A. a b c d

Estremi di una funzione: massimi e minimi relativi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo relativo in x=c appartenente ad A, se esiste un intorno di c, I(c): f ( x) f ( c) per ogni x in I(c) A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d appartenente ad A, se esiste un intorno di d, I (d) f ( x) f ( d) per ogni x in I (d) A. a b c d

Esempio max rel min rel né max né min

Grafico qualitativo max max min max rel min rel rel

Teorema (Test della derivata prima) Sia c un punto critico della funzione f continua su un intervallo aperto I che contiene c, cioé f (c)=0. Se f é differenziabile sull intervallo I, allora f(c) può essere classificato come segue: Se f (x) cambia segno da negativo a positivo in c, allora f(c) é un punto di minimo relativo di f. Se f (x) cambia segno da positivo a negativo in c, allora f(c) é un punto di massimo relativo di f. Se f (x) non cambia di segno in c, allora f(c) non é né un punto di minimo né un punto di massimo.

Estremi di una funzione max f a f (x)>0 f (x)<0 f (x)>0 b min f c d rel min f f (x)=0 f (x)>0 f (x)>0

Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: primo metodo Test dei segni Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi numeri per determinare gli intervalli test. 2. Determinare il segno di f (x) in un punto test per ciascun intervallo test. 3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è crescente o decrescente su ogni intervallo.

Osservazione Se la funzione è continua su un unione di intevalli il test dei segni va applicato a ciascuno di essi. Se la funzione o la sua derivata presentano dei punti singolari essi vanno inclusi nel test dei segni.

Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: secondo metodo Studio del segno della derivata Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b). 2. Studiare il segno di f (x)>0. 3. Usare il Teorema precedente per determinare gli intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare gli eventuali punti di massimo e di minimo.

Esempio: primo metodo Esempio 1 Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione 5 x 5x f ( x) Soluzione 5 Notiamo che f(x) é differenziabile su tutto l asse reale. Ponendo f (x) = 0 si trovano i punti critici. f '( x) 4 5( x 1) 5 x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) Quindi gli zeri di f (x) sono x = 1 e x = 1 dal test dei segni si ha che il punto x = 1 é un punto di massimo relativo, il punto x = 1 é un punto di minimo rel. Intervalli < x < 1 1< x < 1 1 < x < + Valori test x = 2 x = 0 x = 2 0 Segno di f (x) f ( 2)=15> 0 f (0)= 1 < 0 f (2)=15> 0 Conclusione Crescente decrescente crescente

Esempio: secondo metodo Invece di fare il test dei segni si studia il segno della derivata: f '( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 x + 1 > 0 x > 1 x 1 > 0 x > 1 x 2 + 1 > 0 sempre Discussione dei segni:

--1 1 x + 1 -- 0 + + + x 1 -- -- -- 0 + Prodotto + 0 -- 0 + Max min

Esempio Studiare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f x = xe x Svolgimento: la funzione data è derivabile su R (dominio): f x = e x (1 + x) Per trovare i punti critici si pone f x = 0: e x 1 + x = 0 x = 1 Segno della derivata prima: e x 1 + x > 0 x > 1 Il punto x = 1 è un punto di minimo relativo

Grafico

Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice convessa in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice concava in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sotto della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

Punto di flesso Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, il punto x 0 (a, b) si dice punto di flesso se esiste δ > 0: la funzione f é concava in (x 0 δ, x 0 ) e convessa in (x 0, x 0 + δ)) (o viceversa).

Teorema Data una funzione f: a, b R, tale che esista la derivata seconda f in a, b. Se f x > 0 per ogni x a, b, allora la funzione é convessa in a, b. Se f x < 0 per ogni x a, b, allora la funzione é concava in a, b. + +

Procedimento per trovare i punti di massimo e di minimo: terzo metodo Segno della derivata seconda. Sia f(x) una funzione continua e derivabile n (n > 1) volte su un intervallo (a, b). Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le soluzioni dell equazione f (x)=0. Determinare il segno di f (x) (derivata seconda) nei punti critici: a) se f (x)<0 il punto critico e un massimo relativo b) se f (x)>0 il punto critico é un minimo relativo, c) se f (x)=0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f o quelle successive finché la derivata nel punto é diversa da zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si ha un punto di massimo relativo se é negativa e di minimo relativo se é positiva, se ha ordine dispari allora si ha un punto di flesso.

Esempio Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: 1 4 2 f ( x) ( x 8x 1) Punti critici: f 4 x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0, x = ±2 Derivata seconda: f x = 3x 2 4

Esempio f 0 = 4 < 0 punto di massimo relativo f ±2 = 12 4 = 8 > 0 punti di minimo.

Studio di una funzione Trovare il dominio Trovare le intersezioni con gli assi, se è possibile. Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e orizzontali. Trovare i punti di massimo e di minimo relativi attraverso la derivata. Disegnare il grafico.

Esempio 1 Studiare la funzione di equazione y = 2x 3 6x 2 Svolgimento: Il dominio è R perché è un polinomio. Intersezioni con gli assi: Asse delle y: x = 0 y = 0 O = (0,0) x = 0 y = 2x 3 6x 2 :

Esempio 1 y = 0 Asse delle x: y = 2x 3 6x 2 : y = 0 2x 3 6x 2 = 0 y = 0 2x 2 (x 3) = 0 y = 0 O = 0,0 e A = (3,0) x = 0 e x = 3 Asintoti Asintoti verticali: non ci sono perché il dominio è R; Asintoti orizzontali: non ci sono. Infatti: lim x 2x3 6x 2 = +

Esempio 1 lim x 2x3 6x 2 = Massimi e minimi relativi: Punti critici: f x = 6x 2 12x f x = 0 < = > 6x x 2 = 0 I punti critici sono x = 0 e x = 2 Per stabilire se sono punti di massimo o minimo relativi si calcola la derivata seconda: f x = 12x 12 f 0 = 12 < 0 x = 0 0,0 è un punto di massimo relativo f 2 = 12 > 0 x = 2 f 2 = 16 24 = 8 (2, -8) è un punto di minimo relativo

Grafico

Esempio 2 Studiare la funzione di equazione Svolgimento: y = x2 +x 2 x 2 4x+4 Essendo una frazione algebrica il dominio è l insieme degli x: x 2 4x + 4 0 x 2 2 0 x 2.

Esempio 2 Intersezioni con gli assi: Asse delle y: x = 0 y = 2 4 x = 0 y = x2 +x 2 x 2 4x+4 A = (0, 1 2 ) : y = 0 Asse delle x: y = x2 +x 2 : x 2 4x+4 y = 0 x 2 +x 2 = 0 x2 + x 2 = 0 x = x 2 4x+4 1± 1+8 2 = 1±3 2 B = 2,0 C = (1,0)

Asintoti Esempio 2 Asintoti verticali: x = 2. Infatti: x 2 + x 2 lim x ±2 x 2 2 = + perché il denominatore è sempre positivo o nullo. Asintoti orizzontali:y = 1. Infatti: x 2 + x 2 lim x ± x 2 4x + 4 = F. I. Il limite è 1 perché i polinomi a numeratore ed a denominatore hanno gli stessi gradi.

Esempio 2 Massimi e minimi relativi: f x = x2 +x 2 (x 2) 2 f x = 2x+1 x 2 2 2(x 2)(x 2 +x 2) (x 2) 4 f x = x 2 [ 2x+1 x 2 2 x2 +x 2 ] (x 2) 4 f x = 2x2 4x+x 2 2x 2 2x+4 (x 2) 3 f x = 5x+2 (x 2) 3 > 0 Si studia il segno della derivata prima. Il numeratore è positivo per 5x + 2 > 0 x < 2 5. Il denominatore è positivo per x > 2.

Complessivamente: Esempio 2 2/5 2 Num. + 0 - - - Den. - - - 0 + Frazione - 0 + non esiste - min rel asintoto Per x = 2 5 y = 4 25 +2 5 2 2 2 5 2 = 36 25 64 25 = 9 16

Grafico Esempio 2

Esempio (non svolto) Studiare la seguente funzione f(x) nell intervallo [0, 2 ] e disegnare il grafico: x f ( x) cos x Svolgimento: 2 1) Il dominio é [0, 2 ]. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, y = f 0 = 1, per y = 0 l equazione x f ( x) cos x 0 2 Non si risolve direttamente. 3) Non sono asintoti verticali perché non ci sono punti singolari. Non ha senso ricercare asintoti orizzontali perché il dominio è finito.

Esempio 3) Massimi e minimi: la funzione f(x) é differenziabile in [0, 2 ]. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici. f '( x) 1 2 sin x Allora gli zeri di f (x) sono x = /6 e x = 5 /6 Il punto x = /6 é un punto di massimo, mentre il punto x = 5 /6 un punto di minimo. Infatti dalla derivata seconda si ricava che: f x = cos x f /6 = 3 2 < 0 /6 è un punto di Max relativo. f 5 /6 = 3 2 > 0 5 /6 è un punto di min relativo. f /6 = π + 3 2 12 f 5 /6 = 5π 12 3 2 0 sin x 1 2

Esempio (non svolto) Studiare la seguente funzione f(x) e tracciare il grafico: 2 2/3 Soluzione f ( x) ( x 4) ((x^2-4)^2)^(1/3) 1) Dominio: R. Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 1) Intersezioni con gli assi: per x = 0 si ha che y = 2 3 2. 2 3 Per y = 0 si ha che x 2 4 = 0 x = ±2. 3) Non ci sono asintoti verticali perché non ci sono punti singolari. Non ci sono asintoti orizzontali: lim x x2 4 2 3 =

Esempio Studiare la seguente funzione f(x) e tracciare il grafico: 2 2/3 Soluzione f ( x) ( x 4) Dominio: R. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici. f '( x) 2 3 ( x Quindi f x = 0 per x = 0. Test dei segni: 2 4) 1/3 (2x) 3( x 2 4x 4) 1/3 ((x^2-4)^2)^(1/3) Intervallo - < x <- 2-2 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < + Valori test x =- -3 x = -1 x = 1 x = 3 Segno di f (x) f (-3) < 0 f (-1) > 0 f (1) < 0 f (3) > 0 Conclusione Decrescente Crescente Decrescente Crescente

Dal test dei segni si ha che in x = 0 si ha un punto di max relativo. Inoltre la derivata non esiste in x = ±2. Infatti lim x ±2 4x 3 x 2 4 1 3 = I punti x = ±2 sono di minimo.

Esempio 4 Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: x 1 f ( x) 2 1) Il dominio é R-{0}. x Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, la funzione non é definita, per y = 0 l equazione 4 x 1 0 non ha soluzione: 3)Asintoti verticali: x 4 + 1 lim x 0 + x 2 = 1 0 + = + Non ci sono asintoti orizzontali perché

4. Massimi e minimi. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici. 4 5 4 5 d x 1 4x 2x( x 1) 2x 2x f '( x) 2 4 dx x x x 4 4 x 1 x 2 3 lim x 0 Quindi f (x)=0 per x = 1 e f (x) non esiste per x = 0. Il punto x = 1 é di minimo. Intervallo 0 < x < 1 1 < x < + Valori Test x = 1/2 x = 2 x 4 + 1 x 2 = + Segno f (x) f (1/2) < 0 f (2) > 0 Conclusione Decrescente Crescente

Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f x = ln x2 1 x 2 + 1 Soluzione: 1. Dominio: x 2 1 x 2 +1 > 0 Il numeratore è positivo x 2 1 > 0 per x < 1 o x > 1. Infatti l equazione associata x 2 1 = 0 ha soluzioni x = ±1.

Esempio Il denominatore è sempre positivo x 2 + 1 > 0. Infatti l equazione associata x 2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Quindi i dominio è: D = {x x < 1 o x > 1} Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x >0. Il grafico per x <0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y.

2. Intersezioni con gli assi: Il punto x = 0 non appartiene al dominio quindi non ci sono intesezioni con l asse delle y. Ponendo y = 0 si ottiene ln x2 1 = 0 x2 1 = 1 x 2 +1 x 2 +1 x 2 1 = x 2 + 1 non ci sono soluzioni e quindi non si hanno intersezioni con l asse delle x.

3. Asintoti verticali. Per cercare eventuali asintoti verticali viene calcolato il limite nei punti di frontiera del dominio: lim ln x2 1 x 1 + x 2 + 1 = ln 0+ = quindi la retta di equazione x = 1 é un asintoto verticale. Asintoti orizzontali: lim ln x2 1 x + x 2 + 1 = ln 1 = 0 quindi la retta di equazione y = 0 é un asintoto orizzontale.

4. Massimi e minimi. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo si calcola la derivata della funzione: f x = x2 + 1 x 2 1 = 2x x 2 + 1 2x(x 2 1) x 2 + 1 2 = 4x (x 2 1)(x 2 + 1) Punti critici: 4x (x 2 1)(x 2 + 1) = 0 x = 0

Siccome il punto x = 0 non appartiene al dominio non ci sono punti critici e quindi punti di massimo e di minimo. La derivata 4x prima è positiva per > 0 (x 2 1)(x 2 +1) Il numeratore è sempre positivo per x > 0; Il denominatore è positivo per x > 1. Quindi per x > 1 la funzione è sempre crescente.

Esercizi 1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 2x 3 6x 2 f x = 2x 4 2x 2 + 1 f x = x 2 + 2 x f x = x 1 x+2 f x = x 2 ln(x 2 )

Esercizi 2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = x 3 2x 2 f x = x3 1 x 2 f x = x2 +x 2 x 2 4x+4 f x = x2 +4x x 2 +6x+5

Esercizi 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 1+3x4 x 3 f x = 3 x2 (x 2) 2 f x = e 1+x 1+x 2 f x = x 1 x+1