Università Ca Foscari di Venezia Dipartimento di informatica 20 aprile 2006
Variabili aleatorie... Example Giochiamo alla roulette per tre volte 1 milione sull uscita del numero 29. Qual è la probabilità che il nostro capitale sia cresciuto dopo le tre partite? In media il capitale sarà cresciuto o diminuito? X = ammontare del nostro capitale dopo le tre partite è una variabile aleatoria è una funzione da Ω in R infatti l ammontare del capitale dipende banalmente dal risultato delle tre partite le probabilità che ci interessano non sono relative a eventi (almeno non direttamente), ma sono relative ai possibili valori che può assumere la variabile aleatoria (ammontare di capitale)
... Variabili aleatorie Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P) si dice variabile aleatoria un applicazione X : Ω R tale che per ogni t R l insieme {ω Ω : X (ω) t} A. {ω : X (ω) > a} = {ω : X (ω) a} C è un evento {ω : a < X (ω) b} = {ω : X (ω) b} {ω : X (ω) > a} è un evento {ω : X (ω) = x} = n=1 {ω : x 1 n < X (ω) x} è un evento {ω : X (ω) A} = x A {ω : X (ω) = x} è un evento
V. a. discrete Definiamo v. a. discreta una v. a. che assume al più una infinità numerabile di valori. Sia X una v.a. discreta. Si chiama densità di probabilità di X la funzione p X : R [0, 1] data da p X (x) = P{X = x} Teorema Sia p X la densità di una v.a. discreta X. Allora vale 1 p X (x) = 0 per ogni x tranne una infinità numerabile (quelli assunti da X ) 2 x p X (x) = x P{X = x} = P ( x {X = x}) = P(Ω) = 1
Esempio di v.a. discreta Example Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e A A. Indichiamo con 1 A la funzione indicatrice di A, cioè la funzione che assume il valore 1 su A e 0 su A C. La sua densità p X è data da: { P{1 A = 1} = P(A), se x = 1 p X (x) = P{1 A = 0} = P(A C ), se x = 0
Distribuzione di probabilità... Sia X una v.a.. Si chiama distribuzione di probabilità di X (o funzione di ripartizione) la funzione F X : R [0, 1] definita da F X (x) = P{X x} Nel caso di v.a. discrete F X (x) = x x P{X = x }
... Distribuzione di probabilità Teorema La distribuzione F X di una v.a. X ha le seguenti proprietá 1 è una funzione non decrescente 2 è una funzione continua a destra lim x x + 0 3 la distribuzione ha due asintoti F X (x) = F X (x 0 ) lim F X (x) = 1 x + lim F X (x) = 0 x Teorema Siano a < b due valori in R e X una v.a. con distribuzione F X ; allora P{a < X b} = F X (b) F X (a)
Legge Binomiale Definiamo B(n, p) legge binomiale di parametri n e p (con 0 p 1) la distribuzione individuata dalla seguente densità {( n ) p BIN (x) = x px (1 p) n x, x = 0, 1,..., n 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di ottenere k successi su n prove. B(1, p) è detta legge di Bernulli di parametro p Lancio una moneta 10 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 volte testa?
Legge Ipergeometrica Definiamo Ip(k, b, n) legge ipergeometrica di parametri k, b e n la distribuzione individuata dalla seguente densità ( x) ( b k x) n b, max[0, k (n b)] x min[n, b] p IP (x) = ( k) n 0, altrimenti Example Abbiamo un urna con n palline di cui b bianche e (n b) nere. Estraiamo contemporaneamente k palline. Qual è la probabilità di avere x palline bianche tra quelle estratte? La v.a. di questo problema segue una legge ipergeometrica di parametri k, b e n.
Legge Geometrica Definiamo legge geometrica di parametro p (con 0 p 1) la distribuzione individuata dalla seguente densità { p (1 p) k, k = 0, 1, 2,... p GEOM (x) = 0, altrimenti Example Intuitivamente la utilizziamo per calcolare la probabilità di dover fare k prove prima di ottenere un successo. Un dado viene lanciato più volte fino a che si ottiene 6. Qual è la probabilità che occorrano esattamente k lanci?
Legge di Poisson Definiamo legge di Poisson di parametro λ (con λ > 0) la distribuzione individuata dalla seguente densità {e λ λx p λ (x) = x!, x = 1, 2,..., n 0, altrimenti Intuitivamente servono a calcolare la probabilità di ottenere k successi su un grande numero di prove fatte e con basse probabilità di successo. Una variabile di Poisson X si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n ) con n +
Esercizi