Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Limiti di derivate. Punti angolosi e di cuspide. Ottobre 2012 Indice 1 Limiti della derivata e punti di non derivabilità 1 1.1 Limiti delle derivate................................ 2 1.2 Osservazioni..................................... 4 1.3 Punti angolosi e di cuspide............................ 6 1 Limiti della derivata e punti di non derivabilità Sia f una funzione definita su un intorno U di x 0 R, continua su U e derivabile in ogni punto x U diverso da x 0. (Non facciamo inizialmente nessuna ipotesi sull esistenza o meno della derivata in x 0 ). Vediamo quali informazioni si possono trarre dallo studio dei iti f (x), f (x), f (x) Lo scopo è di avere informazioni sulla eventuale derivabilità di f in x 0 e sul grafico locale di f in un intorno di x 0. Lo strumento teorico che useremo è il teorema di de L Hôspital, conseguenza del teorema degli incrementi finiti di Cauchy. Per comodità, ricordiamo l enunciato di questo teorema (senza ripeterne la dimostrazione) nel caso dei iti da destra. Un enunciato del tutto simile sussiste ovviamente nel caso dei iti da sinistra (cioè per x x 0, se le funzioni α(x) e β(x) sono definite su uno stesso intervallo del tipo [a, x 0 ]) e quindi per il ite ordinario per x x 0 (nel caso in cui le funzioni siano definite su un intorno completo di x 0 ). Teorema 1.1 (de L Hôspital. Forma indeterminata 0 ) Siano α e β due funzioni continue sull intervallo [x 0, b] e derivabili in (x 0, b). Supponiamo che valgano le seguenti 0 ipotesi: 1
1. α(x 0 ) = β(x 0 ) = 0. 2. β (x) 0 per ogni x (x 0, b). 3. Esiste (finito, o + ) il ite Allora esiste anche il ite α(x) β(x) α (x) β (x) = L (1.1) ed è uguale al precedente: α(x) β(x) = L (1.2) Osservazione. L ipotesi α(x 0 ) = β(x 0 ) = 0 può essere riformulata come α(x) = β(x) = 0 Ovviamente le due formulazioni sono equivalenti, perché, per ipotesi, α e β sono continue in x 0. 1.1 Limiti delle derivate Un importante applicazione del teorema di de L Hôspital riguarda l esistenza della derivata (o anche solo della derivata a sinistra, o a destra) di una funzione f in un punto x 0. Ricordiamo le definizioni. Si dice derivata di f nel punto x 0 (rispettivamente: derivata a destra, o derivata a sinistra) il ite (quando esiste finito) del rapporto incrementale quando x tende a x 0 (rispettivamente: quando x tende a x 0 da destra, o da sinistra). La derivata si denota con f (x 0 ) ((rispettivamente: con f +(x 0 ), f (x 0 )). Dunque, quando i iti in questione esistono finiti, abbiamo: f (x 0 ) = (1.3) f +(x 0 ) = f (x 0 ) = (1.4) (1.5) Una funzione f è derivabile in x 0 se e solo se esistono, nel punto x 0, sia la derivata a destra che la derivata a sinistra, e sono uguali tra loro. (Infatti, si ricordi che vale g(x) = L se e solo se il ite da sinistra g(x) e il ite da destra g(x) esistono entrambi e sono 2
entrambi uguali a L. Nel nostro caso, la funzione g(x) è il rapporto incrementale relativo a x 0 ). Teorema 1.2 Sia f una funzione reale definita su un intorno aperto I del punto x 0. Supponiamo che f sia continua nel punto x 0 e sia derivabile in ogni punto x x 0. Valgono allora i fatti seguenti. 1. Se esiste finito il ite da destra f (x), allora esiste la derivata a destra f +(x 0 ) e 2. Se esiste finito il ite da sinistra e f +(x 0 ) = f (x) (1.6) f (x), allora esiste la derivata a sinistra f (x 0 ) f (x 0 ) = f (x) (1.7) 3. Di conseguenza: Se esiste finito il ite f (x), allora f è derivabile in x 0 e f (x 0 ) = f (x) (1.8) Osservazione. In particolare, se esistono sia il ite di f (x) da destra (1.6) che il ite di f (x) da sinistra (1.7) e sono uguali tra loro, allora esiste anche il ite 1.19 e quindi la funzione f è derivabile in x 0. In tale caso, f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f (x 0 ). Se invece i due iti 1.6 e 1.7 esistono entrambi ma sono diversi fra loro (f +(x 0 ) f (x 0 )), allora f non è derivabile in x 0. Dimostrazione. 1. Per dimostrare che esiste la derivata destra, calcoliamo il ite del rapporto incrementale da destra: (1.9) Applichiamo a tale ite il teorema dell Hôspital (in un intorno destro del punto x 0 ), del quale sono soddisfatte le ipotesi. Il rapporto delle derivate è f (x)/1, quindi dobbiamo studiare il ite f (x) (1.10) 3
Poiché, per ipotesi, questo ite esiste finito, deve esistere anche il ite 1.9 e i due iti sono uguali. Dunque esiste la derivata destra di f in x 0 e da sinistra f +(x 0 ) = f (x) 2. La dimostrazione è la stessa del punto 1. Si calcoli il ite del rapporto incrementale usando L Hôspital. 3. Si tratta di un immediata conseguenza dei primi due punti: se esiste finito il ite f (x), allora esistono il ite sinistro e il ite destro, e sono uguali tra loro. Dunque esistono la derivata a sinistra e la derivata a destra e sono uguali tra loro, e quindi f è derivabile in b x 0. Allo stesso risultato si arriva calcolando direttamente il ite del rapporto incrementale, usando L Hôspital. 1.2 Osservazioni Osservazione 1.3 Supponiamo che f (x) = + (1.11) Allora, sempre per il teorema di de L Hôpital, possiamo concludere che anche il ite a destra del rapporto incrementale è uguale a + : Possiamo scrivere, anche se impropriamente, f +(x 0 ) = +. Analogamente, se si avrà e scriveremo f (x 0 ) = +. Analoghe considerazioni valgono per i iti a sinistra. = + (1.12) f (x) = (1.13) = (1.14) 4
Osservazione 1.4 Può succedere che il f (x) non esista, ma che la funzione f sia derivabile in x 0. Si veda il seguente esercizio. Esercizio 1.5 Verificare che la funzione { x f(x) = 2 sin 1 se x 0 x 0 se x = 0 (1.15) è derivabile in x 0 = 0, ma non esiste il f (x). Figura 1: Grafico di x 2 sin 1 x vicino all origine. Soluzione. Per studiare la derivabilità di f in 0, usiamo la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale: f(x) f(0) x 2 sin 1 x = 0 = x sin 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 x = 0 (1.16) Dunque f è derivabile in x 0 = 0 e f (0) = 0. La derivata f (x), per x 0, è data da f (x) = 2x sin 1 x cos 1 x Non esiste il ite di f (x) per x 0, perché 2x sin 1 x tende a zero e cos 1 x 1. (1.17) oscilla tra 1 e 5
Osservazione 1.6 Si noti che non basta dire Se esiste il ite di f (x) quando x x 0, allora esiste f (x 0 ). Occorre richiedere che f sia continua in x 0. Ad esempio, si consideri la funzione { 0 se x 0 f(x) = (1.18) 1 se x = 0 Il ite x 0 f (x) esiste e vale 0 (perché f (x) = 0 per ogni x 0), ma f non è derivabile in x 0 = 0 (perché non è continua in x 0 = 0). 1.3 Punti angolosi e di cuspide Riassumiamo i casi possibili, quando si studiano i iti della derivata prima: f (x) f (x) (1.19) Le nostre ipotesi sulla funzione reale f sono quelle del teorema 1.2: il dominio di f è un intorno aperto I del punto x 0 I, f è continua nel punto x 0 e derivabile in ogni punto x dell intervallo bucato I \ {x 0 }. 1. Primo caso. I due iti (1.19) esistono, entrambi finiti, e sono uguali tra loro. Per il teorema 1.2 essi coincidono rispettivamente con la derivata a sinistra f (x 0 ) e con la derivata a destra f +(x 0 ). Dunque la funzione f è derivabile in x 0 e f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ) 2. Secondo caso. I due iti (1.19) esistono, entrambi finiti, e sono diversi tra loro. Allora (per il teorema 1.2 ) esistono in x 0 la derivata sinistra f (x 0 ) e la derivata destra f +(x 0 ) f (x 0 ) = f (x) f +(x 0 ) = f (x) (1.20) Poiché f (x 0 ) f +(x 0 ), la funzione f non è derivabile in x 0. (x 0, f(x 0 )) è punto angoloso per il grafico della funzione f. Si dice che il punto f (x 0 ) f +(x 0 ) Punto angoloso. 3. Terzo caso. Uno dei due iti (1.19) esiste finito e l altro vale + oppure. La funzione f non è derivabile in x 0 e ha in x 0 solo la derivata a sinistra, o solo a destra. Anche in questo caso si dice che (x 0, f(x 0 )) è punto angoloso per il grafico di f. 6
f +(x 0 ) = + f (x 0 ) finita f (x 0 ) finita f +(x 0 ) = Punto angoloso. Punto angoloso. 4. Quarto caso. Se f (x) = + f (x) = (o viceversa). Abbiamo visto (teorema di de L Hôspital) che anche il ite del rapporto incrementale da sinistra è +, e lo stesso rapporto da destra tende a. Dunque f non è derivabile in x 0. Il punto (x 0, f(x 0 )) è un punto di cuspide per il grafico della funzione f. f (x 0 ) = +, f +(x 0 ) = f (x 0 ) =, f +(x 0 ) = + Punto di cuspide. Esempio: x Punto di cuspide. Esempio: x 5. Quinto caso. I due iti (1.19) valgono entrambi +, o valgono entrambi. Ragionando come nell ultimo caso, si vede che ovviamente la funzione f non è derivabile in x 0. Il punto (x 0, f(x 0 )) del grafico di f è un punto con retta tangente verticale (di equazione x = x 0 ). f (x 0 ) = = f +(x 0 ) f (x 0 ) = + = f +(x 0 ) Punto a tangente verticale. Esempio: 3 x Punto a tangente verticale. Esempio: 3 x 6. Sesto caso. Uno (almeno) dei due iti (1.19) non esiste (né finito, né ± ). In questo caso, a priori non si può dire nulla sulla derivabilità di f in x 0. La funzione f potrebbe essere derivabile in x 0 oppure no. Per studiare in questo caso la derivabilità di f in x 0, si dovrà in generale studiare direttamente il ite del rapporto incrementale di f in x 0. Per illustrare quest ultimo caso, si considerino le due funzioni 7
f(x) = { x 2 sin 1 se x 0 x 0 se x = 0 g(x) = { x sin 1 se x 0 x 0 se x = 0 (1.21) Quando x 0, non esiste né il ite di né il ite di f (x) = 2x sin 1 x cos 1 x g (x) = sin 1 x 1 x cos 1 x (1.22) (1.23) (Infatti, se x = 1/2kπ (k Z), si ha g (x) = 2kπ, mentre se x = 1/(2k + 1)π, si ha g (x) = (2k + 1)π). Abbiamo già visto (esercizio 1.5) che la funzione f è derivabile in 0. Per vedere se la funzione g(x) è derivabile in 0, studiamo il rapporto incrementale: g(x) g(0) x sin 1 x = 0 = sin 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 x (1.24) Ovviamente tale ite non esiste (vicino all origine sin 1 x derivabile in 0. oscilla) e quindi g non è 8