7. Relazioni e funzioni La semantica estensionale accennata nel capitolo precedente trattava però solo predicati unari e insiemi, mentre una delle caratteristiche più importanti della matematica (e della logica) moderna è quella di trattare relazioni, cioè predicati con due o più argomenti, del tipo {Anna è madre di Michele}, {2 è un divisore di 8}, {la retta r passa per i punti A e B}, traducibili nella logica dei predicati come madre(anna, Michele),divisore (2,8), passa_per(r,a,b). Era qualcosa di inesprimibile nella logica antica, in cui la proposizione era un soggetto/sostanza + i suoi predicati/ attributi: celebri a questo punto di vista i paradossi dei Sofisti: <questo cane è mio, questo cane è padre, quindi questo cane è mio padre>. Dato un predicato n-ario quale può essere la sua traduzione insiemistica? Essendo la nostra una semantica estensionale dobbiamo trovare l estensione del predicato n-ario. Ma l estensione del predicato unario era un insieme di individui, è naturale pensare che l estensione di un predicato binario debba essere un insieme di coppie, e in generale quella di un predicato n-ario un insieme di n-uple, cioè di sequenze di n individui: (a 1, a 2,. a n ). Le 2-uple le diremo in genere coppie e le 3-uple le diremo in genere terne. Se l universo del discorso è un insieme, ad esempio, l insieme delle coppie di individui di sarà denotato con 2 = { (1,1), (1,2),(1,3)., (2,1), (2,2), (2, 3), (3, 1), (3, 2).}, una specie di scacchiera infinita. E allora l estensione di un predicato binario sarà un sottoinsieme di questa 1 2 3 4 5 6 7 8 scacchiera. Ad esempio l estensione del predicato 1 x x x x x x x x divisore(_,_) sarà M, sottoinsieme di 2, M 2, 2 x x x x 3 x x M = {(1,1), (1,2), (1,3),., (2,2), (2,4),, (3,3), (3,6),.}. 4 x x 5 x Invece della x potevamo mettere 1 e al posto dello spazio vuoto 6 x potevamo mettere 0, notando che si tratta di valori di verità: l 1 nel quadratino (3,6) significa che {3 è divisore di 6} è una proposizione vera. Possiamo più in generale definire n come l insieme delle n-uple di numeri interi. Può anche accadere che gli individui appartengano ad insiemi diversi, come nell esempio la retta r passa per i punti A e B, in cui gli individui possono essere rette o punti. Se R è l insieme delle rette e P l insieme dei punti, il predicato passa_per ha un estensione formata da terne formate da una retta e due punti, sottoinsieme del prodotto cartesiano R P P. RELAZIONI E FUNZIONI Un sottoinsieme di un prodotto cartesiano si dice una relazione tra gli insiemi del prodotto cartesiano. L estensione (il significato estensionale) di un predicato n-ario è una relazione n-aria. Sono particolarmente importanti le relazioni binarie. Ad esempio il predicato binario attraversato da(_,_), inteso come la città _ è attraversata dal fiume _, nell universo del discorso dato dalla geografia dell Italia, ha come estensione la relazione A C F, con C = {Milano, Torino, Firenze, Pisa, Roma, Bari, } e F={Po, Dora Riparia, Adige, Arno, Tevere, Aniene, }, e sappiamo che A= {(Torino, Po), (Torino, Dora Riparia), (Firenze, Arno), (Pisa, Arno), (Roma, Tevere), (Roma, Aniene),. }. Da notare che una città può essere attraversata da un fiume, più fiumi, nessun fiume, e che un fiume può attraversare una città, più città, nessuna città.
Le relazioni binarie sono particolarmente importanti in matematica, ed è spesso utile rappresentare una relazione binaria con un grafo, ove i punti rappresentano gli individui connessi da archi rappresentanti la relazione: milano torino firenze pisa roma bari po dora riparia adige arno tevere aniene Una relazione binaria può essere definita su un singolo insieme, come ad esempio la relazione _ è multiplo di _ nell universo del discorso -{1}, e possiamo rappresentarla col grafo (infinito): 10 Questa relazione è transitiva nel senso che se a è multiplo di b e b è 2 4 8 multiplo di c, allora a è multiplo di c. Nel grafo non abbiamo disegnato le 3 6 frecce che si possono ottenere per transitività: ad esempio quella che va da 5 12 12 a 3. 7 Dal grafo possiamo ottenere importanti informazioni sulla relazione: nell 9 11 esempio, i numeri primi sono quelli e solo quelli da cui non parte alcuna freccia. Le relazioni, come gli insiemi, sono rappresentabili anche tramite formule della logica dei predicati. Ad esempio la relazione sull universo può essere così definita (supponendo già definita l operazione binaria +): a b m a=m+b ESERCIZI 1. Definisci il predicato binario multiplo(_,_) usando il simbolo della moltiplicazione ed il simbolo costante 1. 2. Scrivi come formule le seguenti proprietà di una relazione R a) Ogni individuo è il relazione R con se stesso b) Se due individui sono in relazione R con lo stesso individuo sono anche in relazione R tra loro c) Se un primo individuo è in relazione R con un secondo, il secondo deve essere in relazione R col primo d) Se un primo individuo è in relazione R con un secondo, il secondo non può essere in relazione R col primo 3. Di quali di queste proprietà gode l =? Consideriamo invece il predicato nella_regione(_,_), inteso come la città_ appartiene alla regione _ nell universo del discorso della geografia italiana: in tal caso ogni città può appartenere al massimo ad una regione. Se R è l insieme delle regioni, l estensione del nostro predicato binario è l insieme A C R, dato da A = {(Torino, Piemonte), (Milano, Lombardia), (Pisa, Toscana), (Firenze, Toscana), (Roma, Lazio), (Bari, Puglia),.}. Ogni elemento di C può essere in relazione al più con un elemento di R: in tal caso la relazione si dice funzionale, e ad essa possiamo associare una funzione, che ad ogni città associa la sua regione, e possiamo scrivere: Piemonte=regione(Torino), Lombardia=regione (Milano), Toscana=regione(Pisa), Toscana=regione (Firenze), Puglia=regione (Bari),.. Anche qui possiamo disegnare un grafo per le funzioni unarie (relazioni binarie funzionali), e gli archi vanno dagli individui del primo insieme (dominio) a quelli del secondo (codominio):
milano lombardia torino piemonte firenze molise pisa toscana roma lazio bari puglia dominio codominio Data una relazione binaria R, definiamo la relazione inversa di R, R -1 : R -1 (a,b) se e solo se R(b,a). Ad esempio la relazione binaria la regione_ contiene la città_ è l inversa della relazione la città_ appartiene alla regione _, e la relazione essere divisore di è l inversa della relazione binaria essere multiplo di. Data una relazione binaria R tra gli insiemi A e B ed una relazione binaria S tra gli insiemi B e C si può definire la relazione binaria composta R S tra gli insiemi A e C: a A c C R S(a,c) b B R(a,b) S(b,c) In termini di grafo: gli elementi a e c sono connessi da un arco della relazione R S se esiste un cammino di due archi che va da a a b e poi da b a c (in blu la relazione R, in rosso la relazione S): a b c. Una relazione R tra gli insiemi M 1, M 2,, M n, P, tale che per ogni n-upla di individui (a 1, a 2,. a n ), a 1 M 1, a 2 M 2.., a n M n, esista al più un individuo p P, tale che (a 1, a 2,. a n, p) R, si dice funzionale, e ad essa si associa la funzione p=f(a 1, a 2,. a n ).Il prodotto cartesiano M 1 M 2 M n si dice dominio e l insieme P si dice codominio della funzione, e si scrive f: M 1 M 2 M n P. L individuo p è l immagine della n-upla (a 1, a 2,. a n ), e si scrive f: (a 1, a 2,. a n ) p. Se per ogni n-upla del dominio esiste l immagine la funzione si dice totale, altrimenti si dice parziale. Ad esempio, la relazione la città_ appartiene alla regione _, è funzionale e permette di definire la funzione città regione: è totale? E la relazione inversa la regione_ contiene la città_ è funzionale? Possiamo scrivere questa definizione in forma logica, usando per brevità anche simboli matematici: funzionale(r) (a 1, a 2,. a n ) a 1 M 1 a 2 M 2... a n M n p P (a 1, a 2,. a n, p) R, Ovviamente se la relazione è (n+1)-aria la funzione associata è n-aria. Usando questa terminologia nella aritmetica elementare possiamo dire che le relazioni: >, <,,, multiplo, sono predicati (sintassi) e relazioni (semantica) binarie, pari, primo, sono predicati e relazioni unarie (cioè sottoinsiemi), le operazioni: +,, sono funzioni binarie, le operazioni di inversa, opposta sono funzioni unarie. Da notare che le costanti, 0, 1, sono considerate funzioni 0-arie. Una funzione f: A B si dice ingettiva se due distinti individui del dominio non possono avere la stessa immagine, in forma logica: a 1 A a 2 A f(a 1 )= f(a 2 ) a 1 = a 2. Si dice surgettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, in forma logica b B a A f(a) =b. Una funzione ingettiva e surgettiva si dice bigettiva. Graficamente in una funzione surgettiva non esiste alcun elemento del codominio su cui non arrivi alcuna freccia (come accadeva al molise nella figura precedente), in una funzione ingettiva non si può avere qualcosa del tipo (come accadeva alla toscana nella figura precedente). Se una funzione f: A B è bigettiva ogni elemento del codominio non può essere immagine di due elementi distinti del dominio (per ingettività), ma deve essere immagine di almeno un elemento del dominio (per surgettività), e quindi esiste uno e un solo elemento del dominio di cui è l immagine. Si può allora definire la funzione inversa f -1 : B A invertendo le frecce, associando cioè ad ogni elemento b B l elemento a A tale che f(a)=b. Ed anche la funzione inversa sarà totale bigettiva. Si ha quindi f -1 (b)=a, e sostituendo f -1 (f(a))=a. Nella rappresentazione grafica: a b, in rosso la f, in blu la f -1 : applicando successivamente la f e la sua inversa
(componendo le due funzioni) otteniamo una funzione identica 1 A : A A, che trasforma ogni elemento di A in se stesso. Date due funzioni f: A B e g: B C (nota che il codominio della prima coincide col dominio della seconda), si dice funzione composta g f : A C, la funzione definita come g f(a)=g(f(a)). Così ad esempio la funzione (binaria) che calcola il quadrato di un binomio (a+b) 2 è composta della funzione unaria quadrato e della funzione binaria somma. In matematica è particolarmente importante distinguere tra individui, insiemi, predicati/relazioni, proposizioni e funzioni. Ad esempio in aritmetica gli individui sono numeri, e la divisibilità è un predicato (ovvero una relazione) binario, che applicato a due numeri è vero o falso(e quindi diventa una proposizione): 3 12 è vero, 3 11 è falso. Nel primo caso 12 si dice un multiplo di 3. Possiamo considerare l insieme dei multipli di 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, }. Dati due numeri, ad esempio 3 e 2, possiamo considerare l insieme dei multipli ad essi comuni: {6, 12, 18, }. E possiamo a questo punto chiedere il minimo dei multipli comuni, il m.c.m. che è quindi una funzione (come le normali operazioni aritmetiche +, -, etc.) che a due numeri dati ne associa un terzo: m.c.m.(2,3)=6.questa è una proposizione vera in quanto m.c.m.(2,3) e 6 sono numeri e la loro uguaglianza è una proposizione, e così m.c.m.(2,3)=7 è una proposizione falsa. In teoria degli insiemi consideriamo gli insiemi formati da elementi. Una proposizione (relazione) binaria è quella di inclusione e quindi una espressione del tipo P Q è una proposizione e quindi è vera o falsa. Poi esistono funzioni (operazioni) che applicate ad uno o due insiemi ne danno un altro: il complemento Ā è una funzione unaria, unione e intersezione sono operazioni binarie. E quindi A B non è una proposizione ma un insieme, una proposizione è invece A B=C, cioè l uguaglianza di due insiemi. Possiamo considerare come individui gli stessi insiemi, ad esempio l insieme vuoto Ø è un particolare insieme, e una partizione M 1, M 2,., M è un insieme di insiemi. LA COMBINATORIA La combinatoria tratta in generale della enumerazione delle configurazioni distinte: ad esempio quante espressioni (parole) distinte di lunghezza 2 si possono costruire con un alfabeto di 3 caratteri?, oppure in quanti modi distinti 2 palline diverse si possono mettere in 3 scatole diverse?. In entrambi i casi la risposta è 3 2, pur apparendo i due esempi molto diversi (nel primo esempio le parole sono configurazioni ordinate di caratteri anche con ripetizione, nel secondo le disposizioni sono configurazioni non ordinate senza ripetizione). Ad esempio se k=3 e n=2, le parole distinte sono {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}, mentre le distribuzioni nelle scatole sono ab/ø/ø, a/b/ø, a/ø/b, b/a/ø, Ø/ab/Ø, Ø/a/b, b/ø/a, Ø/b/a, Ø/Ø/ab. In entrambi i casi abbiamo 9=3 2 =k n configurazioni: è un caso? In entrambi i casi contiamo le funzioni da un insieme di 3 elementi su un insieme di 5 elementi. 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 2 II 2 II 2 II 2 II 2 II 2 II 2 II 2 II 2 II III III III III III III III III III aa ab ac ba bb bc ca cb cc ab/ø/ø a/b/ø a/ø/b b/a/ø Ø/ab/Ø Ø/a/b b/ Ø/a Ø/b/a Ø/ Ø/ab
In generale le distinte funzioni f: A B con B =b, A =a, sono b a In particolare, tornando alla logica proposizionale, se ho n lettere proposizionali, le possibili interpretazioni sono 2 2. 2 n volte, cioè 2 n, e quindi le possibili tavole distinte sono 2 2. 2, cioè 2 n In realtà ogni tavola distinta è un rappresentante di una classe di espressioni equivalenti nella logica proposizionale e l insieme di queste classi è una partizione dell insieme delle espressioni. In algebra vedremo che c è sempre una corrispondenza tra una partizione ed una relazione di equivalenza. ESEMPI: IL NUMERO PRIMO e IL MINIMO COMUNE MULTIPLO. Facciamo alcuni esempi che ritroverete in algebra: qui li vedremo da un punto di vista esclusivamente logico. a) La divisibilità è un predicato (relazione) binario sull insieme dei numeri interi, di cui il predicato binario essere un multiplo è l inverso: definiamolo utilizzando la funzione binaria. a b se e solo se ( x b=a x). b) Ora definiamo logicamente il numero primo come un numero i cui unici divisori sono 1 e il numero stesso primo(p) se e solo se ( x x p x=1 x=p) Un altra definizione caratterizza il numero primo come un numero i cui fattori moltiplicativi sono solo 1 e il numero stesso primo(p) se e solo se ( x y p=y x x=1 x=p) Dimostriamo l equivalenza (scriveremo per brevità q(x) al posto di (x=1 x=p) ( x x p q(x)) equivalente a ( x ( y p=x y) q(x)) equivalente a ( x ( y p=x y) q(x)) equivalente a ( x ( y ( p=x y) q(x)) equivalente a ( x y p=x y q(x)). In realtà questa è la definizione di numero irriducibile, mentre spesso si definisce il numero primo come un numero che se divide un prodotto allora divide almeno uno dei due fattori: primo(p) se e solo se ( x y p y x p x p y) In anche questa definizione è equivalente alle precedenti, ma non possiamo dimostrarlo con trasformazioni equivalenti. Possiamo fare una doppia dimostrazione (con la deduzione naturale o con le tavole semantiche o con la risoluzione), ma dovremmo introdurre come assiomi le proprietà di, cosa che verrà fatto in algebra. c) Definiamo analogamente i predicati ternari essere un multiplo comune tra due numeri ed essere il minimo comune multiplo, il quale può anche essere considerato una funzione binaria.
Supponiamo ogni numero multiplo di se stesso e 1 divisore di ogni numero b multiplo di a, a divide b, a b definito da x b=a x essere un multiplo comune è un predicato (relazione) ternario: c multiplo comune di a e b definito da a c b c ( x c=a x ) ( y c=b y) c minimo comune multiplo di a e b è un predicato (relazione) ternario m minimo comune multiplo di a e b definito come m multiplo comune di a e b c c multiplo comune di a e b m c. ( x m=a x ) ( y m=b y) c [ ( x c=a x ) ( y c=b y)] z c=m z Poi si dimostra che il minimo comune multiplo di due numeri esiste sempre ed è unico (in quanto già il prodotto dei due numeri è un loro multiplo comune, l insieme dei multipli comuni quindi non è vuoto, ed ogni insieme non vuoto di numeri interi ammette sempre un minimo che è anche unico per la struttura d ordine dei numeri interi ). Poiché non abbiamo studiato le strutture d ordine l unicità la dobbiamo dimostrare. Supponiamo per assurdo che due numeri a e b abbiano due distinti mcm: m ed n, (m=n) {l ipotesi assurda ha forma esistenziale e quindi iniziamo con una sottoderivazione -eliminazione}. Allora applicando le definizioni [ m multiplo comune di a e b c c multiplo comune di a e b m c ] [ n multiplo comune di a e b d d multiplo comune di a e b n d]. I due quantificatori sono universali e quindi {per -eliminazione} possiamo sostituire a c il numero n e a d il numero m, ottenendo m n n m, e quindi, per definizione, x n=m x y m=n y. Da cui x y n= n y x, e quindi y x = 1, che negli interi ammette l unica soluzione y=1 x=1, che contraddice l ipotesi (m=n). Di conseguenza il minimo comune multiplo oltre che un predicato ternario è anche una funzione binaria: m=mcm(a,b). Ad esempio siano 6 e 15 i due numeri, i multipli di 6 sono: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, etc.}, i multipli di 15 sono: {15, 30, 45, 60, etc.}, i loro multipli comuni sono: {30, 60, 90, 120, 150, etc.}, il loro minimo comune multiplo è 30: 30=mcm(6,15). Analogo ragionamento per definire il massimo comun divisore : i divisori di 6 sono: {1,2,3}, quelli di 15 sono: {1,3,5}, quelli comuni sono: {1,3} e quindi 3 è il MCD di 6 e 15. PROBLEMI SVOLTI NEGLI SCRITTI 1. Dimostrare e dare l interpretazione insiemistica della equivalenza tra x (A(x) B(x)) e x (A(x) A(x) B(x)). A questo quesito si può rispondere in diversi modi. E tuttavia in ogni caso utile in primo luogo tradurre le due formule in forma equivalente. La prima diventa: x (A(x) B(x)) per la regola x x
x ( A(x) B(x)) per de Morgan x (A(x) B(x)) per la regola A B A B La seconda diventa ( x (A(x) A(x) B(x)) ( x (A(x) B(x) A(x))). Dopo di che, la traduzione insiemistica diventa immediatamente per la prima A B, e per la seconda A A B. Da qui per ogni x A si ha che x A e x B, e allora per ogni x A si ha che x B, e quindi A B. Questa è la dimostrazione in linguaggio insiemistico. Un secondo metodo consiste nella dimostrazione della equivalenza delle due formule. Partiamo dalla seconda, che diventa ( x ( A(x) (A(x) B(x))) ( x ( (A(x) B(x)) A(x))). per la regola A B A B ( x ( A(x) (A(x)) ( A(x) B(x))) ( x ( A(x) B(x) A(x)) per la distributività e per de Morgan Ma ( A(x) (A(x)) è una tautologia, e quindi, poiché dalle tavole di verità: tautologia A tautologia e tautologia A A, otteniamo: x ( A(x) B(x)). Un terzo metodo consiste nella dimostrazione della seconda dalla prima e viceversa tramite la deduzione naturale. Poiché si tratta di sole quantificazioni universali e loro congiunzione, possiamo ridurci alle due dimostrazioni (A(t) A(t) B(t)) (A(t) B(t) A(t)) A(t) B(t) A(t) B(t) (A(t) A(t) B(t)) (A(t) B(t) A(t)) Entrambe si riducono a sottoderivazioni di -introduzione. La prima: A(t) A(t) A(t) B(t) A(t) B(t) B(t) assunzione import -eliminazione -eliminazione A(t) B(t) -introduzione La seconda, essendo la tesi una congiunzione, richiede due sottoderivazioni di -introduzione: A(t) assunzione A(t) B(t) assunzione A(t) B(t) import A(t) -eliminazione B(t) -eliminazione
A(t) B(t) -introduzione A(t) B(t) A(t) -introduzione A(t) A(t) B(t) -introduzione 2. Con la teoria degli insiemi verifica se: {[(x<2) (x>-1)] [(x>0) (x<3)]} [(x<5) (x>3)] Tradotto in teoria degli insiemi, diventa: {[(x<2) (x>-1)] [(x>0) (x<3)]} [(x<5) (x>3)] [(-1<x<2) (0<x<3)] (x 3) (-1<x<3) (x 3) Vero. 3. Sia U un insieme (ad esempio tutti gli studenti iscritti a Informatica), A un sottoinsieme di U (ad esempio l insieme delle studentesse di Informatica), e B 1, B 2, B 3,., B n, una partizione di U (ad esempio gli studenti iscritti suddivisi per le varie regioni di provenienza). Dimostrare (con tecniche logiche o insiemistiche) che A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ). (A B n ) (cioè l insieme delle studentesse è l unione dei gruppi di studentesse provenienti dalle diverse regioni). Si può risolvere sia nella teoria degli insiemi che traducendolo nella logica delle proposizioni: A (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ). (A B n ). In entrambi i casi si può utilizzare il teorema A U A = A U ovvero A U A A U che si dimostra banalmente con le tavole di verità, e poi dalla definizione di partizione U = B 1 B 2 B 3. B n, e dalla proprietà distributiva. Una dimostrazione più informale si può dare facendo vedere l uguaglianza dei due insiemi in quanto il primo è incluso nel secondo e il secondo nel primo, facendo vedere cioè che per ogni x x A implica x ad almeno uno dei A B i, e viceversa x (A B 1 ) (A B 2 ) (A B 3 ). (A B n ) implica x A