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Marco Gherlone Fondamenti di meccanica strutturale

Aracne editrice www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it Copyright MMXVIII Gioacchino Onorati editore S.r.l. unipersonale www.gioacchinoonoratieditore.it info@gioacchinoonoratieditore.it via Vittorio Veneto, 20 00020 Canterano (RM) (06) 45551463 isbn 978 88 255 1182 6 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2018

Indice 9 Introduzione 13 Capitolo I Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 1.1. Cinematica dei sistemi piani di travi, 13 1.1.1. Coordinate generalizzate, gradi di libertà e gradi di vincolo, 13 1.1.2. Legge fondamentale del moto rigido, 18 1.1.3. Definizione cinematica dei vincoli, 22 1.1.4. Classificazione cinematica dei sistemi, 25 1.1.5. Studio algebrico della cinematica dei sistemi piani di travi, 30 1.2. Statica dei sistemi piani di travi, 34 1.2.1. Tipologia ed equivalenza dei sistemi di carichi, 34 1.2.2. Equazioni cardinali della statica, 37 1.2.3. Definizione statica dei vincoli, 38 1.2.4. Classificazione statica dei sistemi, 41 1.2.5. Studio algebrico della statica dei sistemi piani di travi, 46 1.3. Dualità statico-cinematica, 51 1.4. Calcolo delle reazioni vincolari, 51 63 Capitolo II Caratteristiche di sollecitazione nelle travature isostatiche piane 2.1. La trave, 63 2.1.1. Definizione, 63 2.1.2. Caratteristiche di sollecitazione, 64 2.1.3. Equazioni indefinite di equilibrio, 70 2.2. Risoluzione di travature isostatiche, 72 2.3. Risoluzione di travature reticolari isostatiche, 107 2.3.1. Generalità, 107 2.3.2. Metodi di soluzione, 110 129 Capitolo III Elementi di teoria dell elasticità 3.1. Le deformazioni, 129 3.1.1. Definizione: le equazioni cinematiche, 129 3.1.2. Trasformazione del tensore delle deformazioni per rotazioni del sistema di riferimento, 139 3.1.3. Equazioni di compatibilità e condizioni di vincolo, 146 3.2. Le tensioni, 147 3.2.1. Definizione, 147 3.2.2. Equazioni indefinite di equilibrio, 154 3.2.3. Trasformazione del tensore degli sforzi per rotazioni del sistema di riferimento, 159 3.2.4. Stato piano di tensione, 162 3.3. Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV), 165 3.3.1. Lavoro delle forze concentrate e dei carichi distribuiti, 165 3.3.2. Sistema equilibrato e sistema congruente, 169 3.3.3. Lavori virtuali, 171 3.3.4. Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV), 173 3.3.5. Applicazione del PLV al calcolo di spostamenti e rotazioni, 175 3.4. La legge costitutiva elastica, 177 3.4.1. Corpo elastico, potenziale elastico e potenziale elastico complementare, 177 3.4.2. Elasticità lineare, 184 3.5. Il problema elastico lineare, 188 3.5.1. Formulazione matematica, 188 3.5.2. Proprietà della soluzione, 189 3.6. Teoremi fondamentali dell elasticità lineare, 191 3.6.1. Teorema di Clapeyron, 191 3.6.2. Teorema di Betti, 194 3.6.3. Teorema di Castigliano, 197 3.6.4. Principio di sta- 5

6 Indice zionarietà (e di minimo) dell energia potenziale totale, 201 3.7. I materiali isotropi, 204 3.7.1. Definizione, 204 3.7.2. Costanti ingegneristiche, 206 3.7.3. Caratterizzazione sperimentale, 210 3.7.4. Osservazioni, 216 3.7.5. Criteri di resistenza, 217 221 Capitolo IV Il solido di de Saint-Venant 4.1. Il problema di de Saint-Venant, 221 4.1.1. Premessa, 221 4.1.2. Assunzioni ed ipotesi fondamentali, 222 4.1.3. Limiti di validità ed estensioni, 230 4.2. Soluzione generale nelle tensioni normali, 231 4.2.1. Soluzione generale, 231 4.2.2. Casi particolari, 233 4.2.3. Lavoro di deformazione e lavoro virtuale interno, 237 4.3. La torsione, 244 4.3.1. Premessa, 244 4.3.2. Torsione per sezioni trasversali a simmetria circolare, 244 4.3.3. Torsione per sezioni trasversali generiche, 250 4.3.4. Torsione per sezioni in parete sottile, 256 4.4. Il taglio, 271 4.4.1. Ortogonalità energetica tra taglio e torsione, 271 4.4.2. Taglio retto per sezioni generiche, 274 4.4.3. Taglio deviato: il caso delle sezioni in parete sottile, 280 4.5. Sollecitazioni composte, 293 4.5.1. Tensioni, deformazioni e spostamenti, 293 4.5.2. Energia di deformazione e lavoro virtuale interno, 294 4.6. Sezioni in parete sottile, 297 4.6.1. Premessa, 297 4.6.2. Calcolo dello stato di tensione, 297 4.6.3. Esempi, 299 4.7. Verifiche di resistenza, 324 4.7.1. Stato di tensione nel solido di de Saint-Venant, 324 4.7.2. Criterio di Tresca, 325 4.7.3. Criterio di von Mises, 326 4.7.4. Esempi, 326 331 Capitolo V Calcolo di spostamenti in travature piane e risoluzione dei casi iperstatici 5.1. Uso del Principio dei Lavori Virtuali, 331 5.1.1. Il Principio dei Lavori Virtuali per travature piane, 331 5.1.2. Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature piane isostatiche, 334 5.1.3. Risoluzione di travature piane iperstatiche, 359 5.1.4. Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature piane iperstatiche, 387 5.2. Uso del Teorema di Castigliano, 394 5.2.1. Teorema di Castigliano per travature piane, 394 5.3. Uso dell equazione differenziale della linea elastica, 399 5.3.1. Equazione differenziale della linea elastica per travature piane, 399 5.3.2. Applicazioni, 406 5.3.3. Osservazioni, 435 437 Capitolo VI Stabilità dell equilibrio elastico: carico critico di travi compresse 6.1. Sistema elastico ad un grado di libertà, 437 6.1.1. Sistema perfetto, 437 6.1.2. Sistema imperfetto, 443 6.2. Trave compressa, 446 6.2.1. Carico critico Euleriano, 446 6.2.2. Instabilità in campo plastico, 452 457 Bibliografia

Indice 7 459 Appendice A Equazione di equilibrio di una trave piana con linea d asse curva A.1. Equilibrio di una trave piana con linea d asse curva, 459 A.1.1. Caso generale, 459 A.1.2. Linea d asse a curvatura costante, 461 A.1.3. Linea d asse rettilinea, 462 465 Appendice B Geometria delle aree B.1. Sistemi continui di area, 465 B.1.1. Definizione e trasformazioni del sistema di riferimento, 465 B.1.2. Area, 467 B.1.3. Momenti statici, 468 B.1.4. Momenti di inerzia, 470 B.2. Sistemi discreti di area, 476 B.2.1. Definizione ed ipotesi, 476 B.2.2. Area, momenti statici e momenti di inerzia, 477 B.3. Esempi, 478 B.4. Interpretazione fisica e generalizzazione delle proprietà d area, 496 B.4.1. Significato fisico di area, momenti statici e momenti di inerzia, 496 B.4.2. Generalizzazione di area, momenti statici e momenti di inerzia, 497 501 Appendice C Torsione di una trave intorno ad un asse non baricentrico C.1. Torsione di una trave intorno ad un asse non baricentrico, 501 C.1.1. Campo di spostamenti, 501 C.1.2. Confronto con l ipotesi di rotazione baricentrica, 502 C.1.3. Conclusioni, 504 505 Appendice D I padri della meccanica strutturale e della scienza delle costruzioni

Introduzione Questo libro raccoglie ed integra i contenuti del corso di Fondamenti di Meccanica Strutturale tenuto, a partire dall Anno Accademico 2014-2015, per gli allievi del Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Torino. Gli argomenti trattati non esauriscono ovviamente tutti gli aspetti della Scienza delle Costruzioni e della Meccanica Strutturale ma rappresentano le conoscenze di base con le quali gli studenti di Ingegneria Aerospaziale sono introdotti all analisi delle strutture. La sequenza degli argomenti è quella classica. Si parte dalla cinematica e dalla statica di travi e travature piane per introdurre i concetti di grado di libertà, reazioni vincolari e caratteristiche di sollecitazione (almeno nei casi isostatici). Si passa poi ad alcuni cenni di teoria dell elasticità per fornire gli ingredienti di base dell analisi strutturale anche in casi geometricamente più complessi (ma sempre relativi a materiali elastici, lineari, isotropi ed omogenei): deformazioni, tensioni, Principio dei Lavori Virtuali e formulazione del problema elastico lineare (compresi i teoremi fondamentali). Grazie a queste nuove conoscenze, il lettore può tornare allo studio delle travi, ora inquadrato nel cosiddetto problema di de Saint-Venant, per analizzarne lo stato di tensione ed il modo di deformarsi sotto diverse condizioni di carico. Viene poi spiegato come analizzare travi e travature nei casi staticamente indeterminati. Conclude la trattazione un breve capitolo dedicato alla stabilità dell equilibrio elastico, in particolare per travi compresse. Le Appendici forniscono dettagli su alcuni aspetti teorici importanti ma che non sono trattati nei capitoli canonici per non rallentare troppo la narrazione principale. Vengono in particolare forniti gli strumenti per lo studio della geometria delle aree. L intera trattazione si concentra su semplici componenti strutturali, schematizzabili come sistemi di travi. Viene comunque fornito un quadro completo di quali sono i requisiti di verifica e dimensionamento statico (e dei relativi metodi di calcolo) validi anche per strutture più complesse: robustezza, rigidezza e stabilità. 9

10 Introduzione La trattazione dei vari argomenti è ispirata ad alcuni dei più noti e diffusi testi di Scienza delle Costruzioni: il libro di Carpinteri per la cinematica delle travi, i cenni di teoria dell elasticità e sul solido di de Saint-Venant, il libro di Nunziante, Gambarotta e Tralli per alcuni aspetti relativi all applicazione del Principio dei Lavori Virtuali e lo storico testo di Belluzzi per la sezione dedicata ai teoremi fondamentali dell elasticità lineare. Lo spirito, per quanto possibile innovativo, che ho cercato di introdurre riguarda il tentativo di accompagnare il lettore nella comprensione. E per far questo ho cercato di tenere conto dei dubbi che avevo da studente nell affrontare determinati argomenti, così come delle domande che gli studenti hanno poi rivolto a me in alcuni anni di insegnamento. Conseguenza di questo approccio è stata la volontà di aggiungere molti esempi ed esercizi svolti (più di 80), non inseriti soltanto come applicazioni di formule ma anche come occasioni per imparare più di quanto la canonica trattazione teorica possa fare. In questo senso è importante che gli esercizi siano di complessità crescente ed incrementino, ciascuno, il bagaglio di conoscenze del lettore. Seguendo questa logica, ho curato gli esercizi relativi al calcolo delle reazioni vincolari, al tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, all analisi dello stato di tensione ed alla determinazione di spostamenti e rotazioni in travi e travature. Altro aspetto che ho cercato di curare è quello relativo alle figure (più di 400), non semplici raccolte di simboli e schemi ma riassunti visivi di concetti e dimostrazioni. Spero che, partendo da autorevoli fonti di ispirazione e grazie a queste accortezze didattiche ed espositive, il libro ottenga il suo obiettivo: essere utile ed interessante. Scrivere un libro non è impresa semplice per cui voglio ringraziare molte persone e scusarmi con altrettante. Ringrazio in primo luogo il prof. Enrico Cestino con il quale ho condiviso la faticosa ma entusiasmante avventura del primo anno di corso e la scrittura delle iniziali, rustiche dispense. Una collaborazione così stretta e sincera è cosa rara e preziosa. Ringrazio il prof. Marco Di Sciuva per aver trasmesso al sottoscritto (e a generazioni di studenti) la passione per la ricerca e per l insegnamento. Lo ringrazio poi per avermi consigliato su come organizzare la sequenza degli argomenti del corso e di questo libro.

Introduzione 11 Ringrazio il prof. Pietro Cornetti per avermi fornito alcuni suoi appunti sulla torsione nelle travi di sezione trasversale generica e sull ortogonalità energetica tra taglio e torsione. Ringrazio il Dr. Massimiliano Mattone per aver realizzato le figure più belle di questo libro, quelle tridimensionali e colorate che non avrei mai potuto fare io. Ringrazio gli studenti Giuseppe Zaccaro e Sean Bazzocchi per aver collaborato alla iniziale trasformazione delle rustiche dispense in file ordinati. Ringrazio gli studenti del corso che con le loro domande ed il loro interesse hanno rafforzato in me impegno ed entusiasmo. Ringrazio Daniela e Gabriella per avermi sopportato due intere settimane; ho cercato di fare piano (e mi pare di non aver disturbato troppo). E ringrazio Massimo, che ha contribuito non sapendolo. Ringrazio Gianpaolo che mi ha incoraggiato ed aiutato, sebbene all inizio insistesse per un libro completamente diverso. Mi scuso infine con tutte le persone che, in questi ultimi tempi, ho fatto attendere più del dovuto. Qualcuno sostiene che i libri parlino in primo luogo del loro autore. Se è vero, quello che state sfogliando è pieno di difetti ed errori e vi sarò grato se avrete la pazienza di segnalarmeli. Ma è anche frutto della grande passione per le strutture e per il loro insegnamento. Torino, febbraio 2018 Marco Gherlone

Capitolo I Cinematica e statica dei sistemi piani di travi In questo capitolo analizzeremo la cinematica e la statica di semplici sistemi piani, cioè insiemi di corpi che si trovano, si possono muovere e sono sollecitati in un piano. I singoli corpi costituenti sono rigidi (cioè indeformabili) e nella maggior parte dei casi di forma allungata (cioè travi e travature, come impareremo nel Capitolo 2). Va però precisato che i concetti e le relazioni che introdurremo in questo capitolo valgono qualunque sia la forma dei corpi piani considerati. Per cinematica si intende lo studio del moto di un sistema indipendentemente dalle forze che lo generano, cioè lo studio di quali sono i gradi di libertà del sistema e di come i vincoli possano impedirne il movimento. Per statica si intende lo studio dell equilibrio di un sistema, cioè l analisi di come i carichi ed i vincoli agiscano su di esso per mantenerlo in tale condizione. Particolare spazio verrà dedicato proprio al calcolo delle reazioni vincolari, cioè delle forze che i vincoli trasmettono ai sistemi. 1.1. Cinematica dei sistemi piani di travi 1.1.1. Coordinate generalizzate, gradi di libertà e gradi di vincolo Si definiscono coordinate (generalizzate) di un sistema, g, i parametri geometrici necessari e sufficienti a definire univocamente la configurazione del sistema. Tali coordinate possono essere libere (gradi di libertà),, oppure vincolate, v. Si ha in generale che: g v (1.1) 13

14 Fondamenti di meccanica strutturale Se un sistema è privo di vincoli potrà trovarsi in g configurazioni diverse mentre, nel caso più generale, potrà assumere configurazioni differenti (lasciate appunto libere dai vincoli). Vediamo alcuni esempi relativi a punti materiali e a sistemi rigidi appartenenti ad un piano. Con tali esempi cercheremo anche di approfondire la differenza tra coordinate generalizzate e gradi di libertà. Esempio 1 Figura 1.1. Punto materiale nel piano. Il sistema è costituito da un punto materiale che si può muovere nel piano senza alcun tipo di limitazione per cui g = 2, = 0 ed = 2. Come gradi di libertà si possono scegliere le coordinate del punto, ya e za. Esempio 2 Figura 1.2. Sistema rigido nel piano.

I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 15 Quello rappresentato in Fig. 1.2. è un sistema rigido, cioè un sistema nel quale non variano le distanze relative tra le coppie di punti materiali che lo costituiscono. In particolare, è un sistema rigido libero di muoversi nel piano per cui g = 3, = 0 ed = 3. Come gradi di libertà si possono scegliere le coordinate di un punto del sistema (yg e zg) ed un angolo () che misura l orientamento del sistema rispetto agli assi. Un sistema rigido nel piano ha dunque 3 coordinate generalizzate (che sono anche 3 gradi di libertà se non ci sono vincoli). Esempio 3 Figura 1.3. Sistema piano a 2 gradi di libertà. Si può dimostrare in diversi modi che libertà del sistema: = 2 cioè che sono 2 i gradi di considerando il sistema come composto da 2 punti materiali (per un totale di 4 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 2 vincoli y z L 2 2 2 A A 1 2 2 2 B A B A 2 y y z z L considerando il sistema come composto da 2 corpi rigidi allungati, cioè travi (per un totale di 6 coordinate generalizzate), ma sottoposto a 4 vincoli

16 Fondamenti di meccanica strutturale y O 0, z 0 O y y, z z A1 A2 A1 A2 A seconda di come viene considerato il sistema (2 punti materiali collegati tra di loro e al terreno oppure 2 travi vincolate tra di loro e al terreno), cambia il conteggio delle coordinate generalizzate e dei gradi di vincolo ma rimane invariata la differenza tra di loro, cioè il numero di gradi di libertà. Questi ultimi possono inoltre essere scelti in diversi modi: gli angoli e, le coordinate ya e yb, le coordinate za e zb, le coordinate ya e zb, le coordinate yb e za, la coordinata ya e l angolo e altri ancora. Questo esempio ci aiuta anche a capire meglio la differenza tra coordinate generalizzate e gradi di libertà. Considerando il sistema come composto dai due punti materiali A e B, possiamo dire che le 4 coordinate generalizzate sono i parametri geometrici con i quali descriviamo univocamente la configurazione, cioè lo stato del sistema stesso. Va però notato che bastano 2 di tali coordinate a descrivere il moto del sistema, cioè i possibili cambi di stato, e queste 2 coordinate sono i gradi di libertà. Possiamo ancora affermare che i gradi di libertà sono i parametri geometrici linearmente indipendenti atti a descrivere il moto del sistema mentre le coordinate generalizzate non sono in generale tutte linearmente indipendenti. Esempio 4 Figura 1.4. Sistema piano a 3 gradi di libertà.

I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 17 I gradi di libertà del sistema (che si comporta, nel suo complesso, come un sistema rigido nel piano) sono in questo caso 3 e lo si può ancora una volta verificare in diversi modi: considerando il sistema come composto da 3 punti materiali (per un totale di 6 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 3 vincoli 2 2 2 B A B A 1 y y z z L 2 2 2 C B C B 2 y y z z L 2 2 2 A C A C 3 y y z z L considerando il sistema come composto da 3 travi (per un totale di 9 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 6 vincoli y y, z z B1 B2 B1 B2 y y, z z C 2 C3 C 2 C3 y y, z z A3 A1 A3 A1 Esempio 5 Figura 1.5. Sistema piano a 3 gradi di libertà. Rispetto all Esempio 4 è stato aggiunto un punto materiale (e quindi 2 coordinate generalizzate) ma anche 2 collegamenti rigidi (e quindi 2 vincoli); i gradi di libertà restano quindi 3.

18 Fondamenti di meccanica strutturale Esempio 6 Figura 1.6. Sistema a 3 gradi di libertà. Rispetto all Esempio 5 è stato aggiunto un collegamento rigido ma inefficace poiché i 4 punti materiali erano già vincolati tra loro in modo da non potersi spostare relativamente; i gradi di libertà sono ancora 3. 1.1.2. Legge fondamentale del moto rigido Abbiamo visto (Esempio 2) che un sistema è rigido se durante il moto si mantengono costanti le distanze relative tra le infinite coppie di punti che lo costituiscono. Consideriamo ora un sistema rigido piano e due suoi punti individuati rispettivamente dai vettori posizione ed r P (v. Fig. 1.7.). La cinematica di tale sistema rigido si può studiare usando la seguente legge fondamentale del moto rigido: dove O e P O P O r r (1.2) P sono i vettori che rappresentano gli spostamenti dei punti O e P e è il vettore rotazione a cui è sottoposto il sistema nell istante considerato (v. Fig. 1.7.). L ipotesi fondamentale che facciamo è che gli spostamenti siano sufficientemente piccoli. r O

I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 19 Figura 1.7. Sistema rigido nel piano. Nel caso di un sistema nel piano (y,z), (v. Figg. 1.7. e 1.8.), i vettori posizione e spostamento giacciono nel piano mentre il vettore rotazione è ad esso perpendicolare, i ˆ (î x, e sono i versori dei tre assi coordinati). Dalle Figg. 1.7. e 1.8. è facile ricavare che: ĵ ˆk r y ˆj z kˆ O O O r y ˆj z kˆ P P P (1.3) da cui: ˆ ˆ r r y y j z z k (1.4) P O P O P O Analogamente, per gli spostamenti: v ˆj w kˆ O O O v ˆj w kˆ P P P (1.5) e quindi:

20 Fondamenti di meccanica strutturale v v ˆ j w w k ˆ (1.6) P O P O P O Figura 1.8. Moto rigido nel piano. Sviluppando il prodotto esterno presente nella (1.2) si ricava: ˆ ˆ r r i y y j z z kˆ P O P O x P O P O iˆ ˆj kˆ x 0 0 0 y y z z P O P O ˆ z z j y y kˆ x P O x P O (1.7) Confrontando la (1.6) e la (1.7) si ricava allora: vp vo x zp zo w w y y P O x P O (1.8)