ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi: lezione 09/10/2015 Regimi semplice e composto Esercizio 1. Dopo quanti mesi un capitale C, impiegato nel regime composto, aumenta del 8, 243216% se il tasso bimestrale i b è del 2%? Soluzione. Impostando l equazione si ottiene, essendo C 0, C1 + i b t = 1, 08243216 C t = quindi t = 4 bimestri, ossia 8 mesi. ln1, 08243216 ln1, 02 Esercizio 2. Determinare il tasso di interesse annuo affinché, in regime di interesse semplice, un capitale di e 1000 produca un interesse di e 80 euro in 6 mesi. Ripetere l esercizio sostituendo al regime semplice quello composto. Soluzione. Dalla formula del regime semplice M = C1 + it = 4, si ricava immediatamente che M C i = 1 C t Ricordando che M C = I e inserendo i dati, si trova che 80 1 i = 1000 0.5 = 16%. Se invece siamo a regime composto, si parte dalla formula da cui si ha che M = C1 + i t, i = M/C 1/t 1. 1
2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Ricordando sempre che M = C + I, si ricava che M/C = 1 + I/C, pertanto, sostituendo i dati alla formula precedente, si conclude che i = 1, 08 2 1 = 16, 64% Capitalizzazione degli interessi a tassi costanti e non Esercizio 3. Un imprenditore ha una convenzione con due banche tramite la quale puó andare in rosso sui rispettivi conti per somme non eccessive e saldare poi il debito con interessi nove mesi dopo. La banca X offre un tasso a debito pari al 12% a regime semplice e capitalizzazione trimestrale degli interessi a partire dal primo gennaio di ogni anno, mentre la banca Y offre un tasso a debito del 12, 4% a regime semplice. Se l imprenditore vuole andare in rosso il primo giugno del 2014, a quale banca conviene rivolgersi? Soluzione. Nel caso della banca X, essendo il periodo tra il primo giugno 2014 e il primo marzo 2015, rispetto ai periodi di capitalizzazione trimestrale, composto da due spezzoni, uno di ingresso di un mese e uno di uscita di due mesi, e due periodi interi di capitalizzazione trimestrale, il montante che é quanto l imprenditore deve restituire alla banca X é dato da M X = C1 + i/12 1 + i/4 2 1 + i/6, ove C é il debito contratto dall imprenditore e i = 0, 12. Nella banca Y, invece, si ha M Y = C1 + 3i 1 /4, ove i 1 = 0, 124. Se suppongo, ad esempio, che sia piú conveniente la banca X, basta controllare se la disequazione M Y > M X sia vera, ossia 1 + 3i 1 /4 > 1 + i/12 1 + i/4 2 1 + i/6, da cui si ricava immediatamente che i 1 > 1 + i/12 1 + i/4 2 1 + i/6 1 quindi la nostra ipotesi è vera, perché i 1 = 12, 4%. 4 3 = 12, 39%, Esercizio 4. Sia M il montante generato dopo 6 anni dall impiego di un capitale C nel regime composto ai tassi di interesse annui del 5% nel primo, nel secondo e nel terzo anno, del 10% nel quarto e nel quinto anno e del 15% nel sesto anno. Determinare il tasso di interesse costante x nei sei anni con cui si può ottenere lo stesso montante a partire dallo stesso capitale. Soluzione. Il montante che si ottiene dall investimento a tassi crescenti nel tempo è pari a: M = C1 + 0, 05 3 1 + 0, 1 2 1 + 0, 15 = 1, 610835188 C.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Il montante che si ottiene dall investimento a tasso costante è pari a: M = C1 + x 6. Il tasso x che permette l uguaglianza dei due montanti si ottiene da: C1 + x 6 = 1, 610835188 C 1 + x 6 = 1, 610835188 allora Dunque x = 8, 27%. x = 6 1, 610835188 1 0, 0827. Esercizio 5. Sia M 1 il montante generato dopo 4 anni dall impiego di un capitale C nel regime semplice al tasso di interesse i 1. Sia M 2 il montante generato dopo 4 anni dall impiego dello stesso capitale C nel regime composto ai tassi di interesse i 2 nel primo e nel secondo anno e i nel terzo e nel quarto. Determinare i, in funzione di i 1 e i 2, in modo tale che M 2 sia uguale a M 1. Soluzione. Abbiamo che mentre Poiché deve essere M 2 = M 1, si ha che M 1 = C1 + 4 i 1, M 2 = C1 + i 2 2 1 + i 2. C1 + i 2 2 1 + i 2 = C1 + 4 i 1 i = 1 + 4 i 1 1 + i 2 2 1. Regime Misto Esercizio 6. Un capitale C = 10000e viene impiegato a regime misto per 3 anni e 5 mesi, fruttando un montante pari a M = 11248, 86677e. A quale tasso è stato impiegato il capitale? a 3% b 3, 5% c 4% d 4, 5% Soluzione. La formula da sfruttare è M = C1 + i 3 1 + 5 12 i. Se ora inserite uno ad uno i tassi di interesse proposti, risulterá che con il tasso del 3, 5% il secondo membro risulta uguale fino alle prime 5 cifre decimali al primo membro ossia, il montante M.
4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Confronto tra regimi Esercizio 7. Avete un capitale da investire per una durata non superiore ai due anni. La banca A vi offre un tasso del 4% a regime composto, mentre la banca B un tasso pari a i > 0 nel regime semplice. Per quali valori di i, risulta piú conveniente la banca B? Soluzione. Ci basta impostare la disequazione C1 + 2i C1 + i 1 2, ove C é il capitale iniziale, mentre i 1 = 0, 04. Facilmente, segue che i 1 + i 1 2 1 2 = 4, 08%. Esercizio 8. Potete investire per 2 anni il capitale C nel conto AA, che prevede interessi a regime semplice al 4% solo sulla somma in eccedenza rispetto a 10000 euro, oppure nel conto AB con interesse semplice del 2%. Quale é il capitale C tale da rendere equivalente i due conti? Soluzione. L equzione da impostare ossia l uguaglianza tra i due montanti è data da C 100001 + 2i = C1 + 2i 1, ove i = 0, 04 e i 1 = 0, 02. Con un pó di semplice algebra, si trova che C = 50001 + 2 i i i 1 = 270000. Esercizio riassuntivo Esercizio 9. I dipendenti di una ditta percepiscono uno stipendio mensile, normalmente pagato alla fine di ogni mese, pari a S. La ditta sospende il pagamento degli stipendi dal 30/06/2013 al 31/12/2013, riservandosi di pagare i dipendenti in un unica soluzione, con interessi calcolati nel regime semplice al tasso annuo pari a i, il 31/12/2013. Determinare l espressione letterale del montante che la ditta versa ad ognuno dei suoi dipendenti in data 31/12/2013, dimostrando che è dato da M = 7 S 1 + 1 4 i. Soluzione. Soluzione letterale: il montante nel regime semplice che la ditta versa ad ognuno dei suoi dipendenti in data 31/12/2013 è la somma delle capitalizzazioni
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 di ogni singolo stipendio al 31/12/2013, ossia: M = S 1 + 6 12 i + S 1 + 5 12 i + S 1 + 4 12 i + S 1 + 3 12 i + + S 1 + 2 12 i + S 1 + 1 12 i + S = = S 1 + 6 12 i + 1 + 5 12 i + 1 + 4 12 i + 1 + 3 12 i + 1 + 2 12 i + 1 + 1 12 i + 1 = = S 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 i = S 7 + 21 12 12 i. Se ora raccogliamo il fattore 7, si ha [ M = S 7 1 + 3 ] 12 i = 7 S 1 + 3 12 i = 7 S 1 + 1 4 i, come volevasi dimostrare.