Vibrazioni di una poltrona reclinabile Progetto n.12

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1 Vibrazioni di una poltrona reclinabile Progetto n.12 Bocchinfuso Francesco Bresciani Federico 15 luglio 216 Anno accademico

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3 Indice 1 Descrizione del sistema 1 2 Un grado di libertà Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche Analisi cinematica Chiusura OAD Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore Forme di energia rispetto alla variabile indipendente Energia cinetica Energia potenziale Equilibrio statico Funzione dissipativa Componenti lagrangiane Equazione del moto Equazione del moto linearizzata Analisi della risposta del sistema Due gradi di libertà Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche Analisi cinematica Matrice di rigidezza Forme di energia rispetto al vettore delle variabili indipendenti Equazione del moto Moto libero e non smorzato Moto libero e smorzato Moto forzato e smorzato

4 1 Descrizione del sistema m 3,J 3,L 3 D G 3 U V G 1 N m 1,J 1 A B r 1 k r 2 s k T y m 2,J 2,R α O x C Figura 1: Schematizzazione del meccanismo Si trascura per semplicità la massa della pediera e si considera quindi il sistema costituito da tre corpi dotati di massa: la seduta di massa m 1, vincolata a traslare verticalmente a causa dei manicotti; il disco di parametri m 2, J 2 e R incernierato a terra in cui è concentrata la massa delle due aste congiunte e collegato allo schienale tramite un corsoio; lo schienale di parametri m 3, J 3 e L 3, collegato alla seduta tramite una cerniera. 1

5 Vi sono poi due smorzatori di parametro r 1 e r 2, una molla di rigidezza k e una molla torsionale di rigidezza k T. Infine ci sono due forzanti: N applicata nel baricentro G 1 e C coppia motrice applicata sul disco. Un interpretazione fisica di queste due forzanti è per N la forza causata da un bambino che salta, mentre per C un malfunzionamento del sistema motore o di trasmissione. I gradi di libertà del sistema sono 3 n corpi = 9, mentre i vincoli sono: 2 manicotti, di cui uno però ridondante 2 gdv 1 cerniera assoluta in O e una relativa in A 4 gdv 1 corsoio in D 1 gdv Quindi i gradi di libertà che restano al sistema sono due e si sceglie di assegnare la rotazione α del disco e la corsa s dell attuatore, che effettivamente sono le coordinate imposte dal motore collegato al disco e dall attuatore. 2

6 Valori dei parametri I seguenti sono i valori assegnati ai parametri che rientreranno nelle equazioni successive: a = 2 m h =.75 m d =.8 m m =.7 m z =.1 m γ = 11 q =.3 m p =.1 m u =.4 m è la distanza tra corsoio e baricentro dell asta 2; R =.1 m L 3 = 1.3 m è la lunghezza dello schienale; R T =.8 m m 1 = 4 kg m 2 = 5 kg è la massa della seduta; è la massa del disco; J 2 = m 2 R 2 2 kg m 2 m 3 = 3 kg è la massa dello schienale; J 3 = m 3 L kg m2 k T = 15 N m k = 18 N m r 1 = 5 Ns m r 2 = 3 Ns m 3

7 2 Un grado di libertà In questa sezione si considera bloccato lo spostamento dell attuatore in modo da ridurre il sistema a un grado. Pertanto la seduta è fissa a terra e rimane come unico grado di libertà la rotazione α del disco. Il sistema si può semplificare come nella rappresentazione seguente. m 3,J 3,L 3 D G 3 r 1 A B k T m 2,J 2,R α O C 2.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche E c = 1 2 m 2 V 2 G J 2 w m 3 V 2 G J 3 w 2 3 D = 1 2 r 1 l 1 2 V = 1 2 k T θ T 2 + m 2 g h G2 + m 3 g h G3 δl = C δθc 4

8 2.2 Analisi cinematica Chiusura OAD D G 3 b z β A a h α O Si procede con una chiusura vettoriale nel campo dei numeri complessi: ae iα = he i π 2 + ze i + be iβ I moduli a, h, z sono fissati e noti dalla geometria mentre b è un valore variabile. Per quanto riguarda gli angoli invece α è il grado di libertà 5

9 assegnato, β è incognito mentre gli angoli relativi ai vettori di modulo h e z sono costanti in quanto la posizione delle cerniere A ed O è fissata. Pertanto rimangono incogniti b e β che si esplicitano proiettando l equazione complessa sugli assi reale e immaginario: { a cos α = z + b cos β a sin α = h + b sin β Dalla prima equazione ricavo b, sostituendolo poi nella seconda: b = a cos α z cos β a sin α = h + (a cos α z) tan β tan β = a sin α h a cos α z ( β = arctan b = a cos α z cos β a sin α h a cos α z ) (1) Poi derivando si ottiene: { a α sin α = ḃ cos β b β sin β a α cos α = ḃ sin β + b β cos β cioè [ ] [ḃ ] cos β b sin β = sin β b cos β β [ ] a α sin α a α cos α Si sceglie di risolvere questo e i successivi sistemi lineari tramite il metodo di Cramer. Infatti la semplicità dei sistemi che si presentano non rende necessaria l implementazione di algoritmi. Da qui in avanti, quindi, per ogni sistema si indicherà con A la matrice dei coefficienti, mentre con A 1 e A 2 le matrici che si ottengono sostituendo rispettivamente alla prima e alla seconda colonna il vettore dei termini noti. L unica condizione che va verificata per poter usare Cramer è det(a). 6

10 [ ] cos β b sin β A = sin β b cos β det(a) = b (cos 2 β + sin 2 β) = b [ ] a α sin α b sin β A 1 = a α cos α b cos β det(a 1 ) = a b α cos β sin α + a b α sin β cos α = a b α sin (β α) [ ] cos β a α sin α A 2 = sin β a α cos α det(a 2 ) = a α(cos β cos α + sin β sin α) = a α cos (β α) ḃ = det(a 1) det(a) β = det(a 2) det(a) = a b = a α sin (β α) α cos (β α) ḃ = b α α b α β = β α α β α = = a sin (β α) (2) cos β a cos (β α) (3) a cos α z avendo esplicitato b nell ultimo termine. Queste derivate torneranno utili in seguito. 7

11 Si passa ora alle accelerazioni e derivando si giunge al seguente sistema: { a α sin α a α 2 cos α = b cos β 2ḃ β sin β b β sin β b β 2 cos β a α cos α a α 2 sin α = b sin β + 2ḃ β cos β + b β cos β b β 2 sin β cioè [ cos β b sin β sin β b cos β ] ] [ b = β [ a α sin α a α 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β ] 2 cos β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β La matrice dei coefficienti è la stessa per velocità e accelerazioni, quindi vale ancora det(a) = b. [ a α sin α a α A 1 = 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β ] 2 cos β b sin β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β b cos β det(a 1 ) = a b α sin α cos β a b α 2 cos α cos β + 2b ḃ β sin β cos β + b 2 β2 cos 2 β+ + a b α sin β cos α a α 2 b sin α sin β 2b ḃ β sin β cos β + b 2 β2 sin 2 β = = a b α sin (β α) a b α 2 cos (β α) + b 2 β2. [ cos β a α sin α a α A 2 = 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β ] 2 cos β sin β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β det(a 2 ) = a α cos α cos β a α 2 sin α cos β 2ḃ β cos 2 β + b β 2 sin β cos β+ + a α sin α sin β + a α 2 cos α sin β 2ḃ β sin 2 β b β 2 sin β cos β = = a α cos (β α) + a α 2 sin (β α) 2ḃ β. b = det(a 1 ) det(a) = a α sin (β α) a α2 cos (β α) + b β 2 β = det(a 2) det(a) = a b α cos (β α) + a b α2 sin (β α) 2ḃ β b β = 2 β α 2 2 β α 2 = a b α2 + β α α a2 sin (β α) sin (2β 2α) (4) b2 8

12 2.2.2 Chiusura inerente al gruppo molla-smorzatore A n q β c p γ La schematizzazione prevede che il gruppo molla-smorzatore sia vincolato al resto del sistema tramite un carrello, che sia tale da mantenere lo smorzatore agente sulla stessa direzione. Ne consegue che anche i punti della molla torsionale ruotino attorno all incastro senza però che la forma circolare della molla venga alterata. La chiusura che ne risulta è: ne iβ = pe i π 2 + qe i + ce iγ I moduli p e q dipendono dalla geometria e sono pertanto noti. Tramite l ipotesi del carrello è stato anche fissato l angolo γ che è quindi noto ed infine l angolo β è stato precedentemente calcolato. Quindi le due incongnite rimanenti sono n e c. { n cos β = q + c cos γ n sin β = p + c sin γ 9

13 cioè [ cos β cos γ sin β sin γ ] [ ] n = c [ ] cos β cos γ A = sin β sin γ [ ] q p det(a) = cos β sin γ + sin β cos γ = sin (β γ) [ ] q cos γ A 1 = p sin γ det(a 1 ) = q sin γ + p cos γ [ ] cos β q A 2 = sin β p det(a 2 ) = p cos β q sin β n = det(a 1) det(a) c = det(a 2) det(a) p cos γ q sin γ = sin (β γ) p cos β q sin β = sin (β γ) Si deriva ora il legame cinematico di c, ignorando il vettore n che non rientrerà nelle forme di energia. c α = c β β α = β ( p sin β q cos β) sin (β γ) (p cos β q sin β) cos (β γ) α sin 2 (β γ) = = β q sin γ p cos γ α sin 2 (β γ) I valori di q, p e γ sono costanti e la derivata seconda è: 2 c α = 2 β q sin γ p cos γ ( β ) 2 (q sin γ p cos γ) cos (β γ) 2 α 2 sin 2 2 (β γ) α sin 3 (β γ) (5) (6) ċ = c α α c = c α α + 2 c α 2 α2 1

14 2.3 Forme di energia rispetto alla variabile indipendente Energia cinetica V G2 = terra; in quanto la massa è concentrata nel disco incernierato a w 2 = + α poichè la rotazione imposta dal gdl è concorde alle convenzioni di segno; V G3 = + L 3 2 β( sin β î + cos β ĵ) infatti: (G 3 O) = he i π 2 + ze i + L 3 2 eiβ e derivando i primi due vettori scompaiono essendo costanti; w 3 = + β = a b α cos (β α). E c = 1 2 m 2 V 2 G J 2 w m 3 V 2 G J 3 w 2 3 = = 1 2 [ ( L 2 ) 3 a 2 ] J 2 + m J 3 b 2 cos2 (β α) α 2 = 1 2 J eq(α) α 2 d ( Ec ) E c dt α α = J eq(α) α + 1 J eq (α) 2 α α 2 (7) con J eq (α) α ( = a 2 L 2 ) 3 ( cos 2 m J (β α) ) 3 = α b 2 ( = a 2 L 2 ) 3 1 [ m J 3 b 2 sin (2β 2α) β b 4 α + 2b cos2 (β α) b ] α lasciando impliciti i valori determinati nelle equazioni (2) e (3). 11

15 2.3.2 Energia potenziale θ T = θ T d + θ T = θ T (α) θ T (α ) + θ T = c c R T + θ T dove R T è la distanza tra il punto in cui la molla è incernierata a terra ed il punto in cui è collegata al resto del sistema e intendendo c = c(α ); h G2 = poichè il baricentro corrisponde al centro O del disco che è fisso a terra; h G3 = h + L 3 2 sin β infatti è la proiezione lungo l asse verticale del vettore (G 3 O): (G 3 O) = he i π 2 + ze i + L 3 2 eiβ V = 1 2 k T θ 2 T + m 2 g h G2 + m 3 g h G3 = = 1 ( c 2 k c ) 2+m3 ( T + θ T g h + L ) 3 2 sin β R T Il termine che poi rientra nell equazione di moto è la derivata del potenziale, cioè: V α = k 1 c T θ T R T α + m 3 g L 3 β cos β 2 α (8) Equilibrio statico Si cerca ora il precarico della molla torsionale imponendo l equilibrio statico del sistema V =. α=α α V 1 c = k T θ T + m 3 g L 3 α α=α R T α 2 cos β β = α Sapendo che α = 3 e con l ausilio della funzione Matlab precarico.m si ottiene: θ T = m 3 g L 3 2 cos β β R ( T c ) rad α k T α 12

16 2.3.4 Funzione dissipativa l 1 ċ = c α α trovato nella chiusura inerente allo smorzatore, si veda l equazione (5) D = 1 2 r l 1 = 2 r 1 D α = r 1 ( c ) 2 α 2 α ( c ) 2 α (9) α Componenti lagrangiane θ C = + α ˆk e quindi: δθ C = θ C α δα = ˆk δα δl = C δθc = Cˆk ˆk δα = C δα Q α = C (1) 13

17 2.4 Equazione del moto Riferendosi alle equazioni (7), (8), (9), (1) si ottiene l equazione che descrive il moto del sistema: d ( Ec ) E c dt α α + D α + V α = Q α J eq (α) α + 1 J eq (α) 2 α ( c ) 2 α 2 1 c + r 1 α + kt θ T α R T α + m 3 g L 3 β cos β 2 α = C(t) 2.5 Equazione del moto linearizzata L equazione del moto si rende lineare facendo in modo che le forme di energia, che poi andranno derivate, siano quadratiche. Per l energia cinetica e la funzione dissipativa questa operazione è semplice, infatti: E c E c = 1 2 J eq(α ) α 2 D D = 1 2 R eq(α ) α 2 poichè se si considerassero anche i termini di primo grado dello sviluppo in serie le forme di energia cesserebbero di essere quadratiche. d ( Ec ) E c dt α α = J eq(α ) α D α = R eq(α ) α Per l energia potenziale invece lo sviluppo arriva fino al secondo ordine quindi va calcolata la derivata seconda del potenziale: V α = k θ T T θ T α + m 3 g h G3 α 2 V α = k 2 θ T 2 T θ T α 2 + k T ( θt α ) 2+m3 g 2 h G3 α 2 = 1 2 c ( 1 = k T θ T R T α + k c 2+m3 2 T g R T α) L [ 2 β ( β ) 2sin ] 2 α cos β β 2 α 14

18 2 V 2 θ ( T θt ) 2+m3 = k α 2 T θ T + k α 2 T g 2 h G3 α α 2 V V + V (α α ) V (α α α 2 α 2 ) 2 dove nella linearizzazione il primo termine è una costante e quindi non rientra nell equazione di moto, il secondo lo si calcola proprio in α = α e quindi è nullo per definizione di equilibrio statico, infine la derivata seconda del potenziale è stata appena calcolata. Per comodità si definisce la perturbazione ᾱ = α α : V α = 2 V ᾱ α ᾱ= 2 Infine, siccome tutte le forze costanti sono state riportate nel potenziale, vale: Q α Q α (α ) = C(t) che già era lineare. Sapendo che ᾱ α e ᾱ α l equazione di moto linearizzata riferita alla perturbazione diventa: J eq (α ) ᾱ + R eq (α ) ᾱ + 2 V α 2 ᾱ = Q α (α ) (11) 15

19 rotazione del disco [deg] rotazione del disco [deg] 2.6 Analisi della risposta del sistema La frequenza propria e il fattore di smorzamento del sistema linearizzato sono: f 4.81 Hz h % Invece la forzante ha la seguente forma: C(t) = C cos (Ωt + ψ) Nelle simulazioni seguenti vengono fatti variare C, Ω, ψ e il vettore delle condizioni iniziali x. Si ricorda che α = non lineare linearizzato α() = α + pi/4 15 α() = α + 3*pi/ non lineare linearizzato tempo [s] tempo [s] Figura 2: Moto libero, α() = Per quanto riguarda l omogenea, il primo grafico mostra che la risposta del sistema linearizzato approssima molto bene quella non lineare, nonostante la distanza dall equilibrio sia rilevante. Tra le due l unica differenza è che la non lineare non mantiene costante la frequenza di oscillazione. Nel secondo grafico invece la perturbazione è di 3 π e il sistema non lineare 4 trova un altro equilibrio, seguendo inoltre un andamento non sinusoidale. È evidente che la linearizzata non è più accettabile, ma effettivamente ci si è allontanati molto dall intorno dell equilibrio. 16

20 rotazione del disco [deg] rotazione del disco [deg] rotazione del disco [deg] rotazione del disco [deg] non lineare linearizzato 7 non lineare linearizzato tempo [s] f=1 ψ= f=4.81 ψ= non lineare linearizzato tempo [s] tempo [s] f=3 ψ= f=4.81 ψ=9 non lineare linearizzato tempo [s] Figura 3: Moto forzato, Ω = 2πf I valori tenuti fissi in ogni grafico sono i seguenti: C = 7 Nm α() = α + π 4 α() = 17

21 La forzante introduce varie irregolarità nella risposta e l andamento è frutto della somma tra soluzione particolare e omogenea, ma perlomeno nei primi due grafici la linearizzata segue bene la non lineare. Imponendo la frequenza della forzante pari alla frequenza propria del sistema si rilevano ampiezze di oscillazione notevoli anche superato il transitorio iniziale, che tenderebbero all infinito se non ci fosse un elemento dissipativo. In ogni caso è verificato che entrambe le sinusoidi assumono la frequenza della forzante. Le oscillazioni a regime hanno un ampiezza minore di 2 per la non lineare mentre la linearizzata è attorno ai 3. Questa discrepanza può essere causata da alcuni contributi, che nascono quando il sistema non è a α = 3, presenti nel sistema non lineare e invece non inclusi nella linearizzata che ha tutte le componenti calcolate all equilibrio. Sfasando di 9 la forzante si vede che le armoniche della particolare si sommano in modo diverso con quelle dell omogenea e quindi non si osserva più un punto di inversione, ovvero un punto in cui è netto il passaggio dal transitorio a regime. 18

22 3 Due gradi di libertà m 3,J 3,L 3 D G 3 U V G 1 N m 1,J 1 A B r 1 k r 2 s k T y m 2,J 2,R α O x C L attuatore impone il moto dell asta di massa m 1, della molla di rigidezza k e dello smorzatore di parametro r 2, pertanto la rotazione α del disco non ha influenza su questi elementi. Allo stesso modo l attuatore non ha effetto sul moto del disco di massa m 2. Invece l asta AD e il gruppo molla-smorzatore connesso risentono dell azione combinata dei due gradi di libertà ed in seguito sarà quindi necessario procedere con una chiusura vettoriale che comprenda sia α sia s. 19

23 3.1 Scrittura delle forme di energia in variabili fisiche E c = 1 2 ẏt m [m] ẏ m V G1 w 1 con ẏ m = V G2 w 2 V G3 w 3 m 1 J 1.. m e [m] = 2.. J 2.. m 3 J 3 D = 1 2 ẏt s [r] ẏ s [ ] l con ẏ s = 1 l 2 [ ] r1 e [r] = r 2 V = 1 2 y k T [k] y k P T y P con y k = [ ] θt l, [k] = [ ] kt, k y P1 m 1 g y P = y P2 e P = m 2 g y P3 m 3 g Come si vede dal vettore P le uniche forze costanti che rientrano nel potenziale sono i pesi. Pertanto il vettore y P, che rappresenta gli spostamenti dei punti di applicazione delle forze costanti nella direzione della forza, non sarà altro che l abbassamento dei baricentri. 2

24 Infine: con [ ] δs δθc F = δs N δl = ( F(t) ) T δs F e [ ] C(t) F(t) = N(t) Si definiscono i seguenti vettori contenenti le coordinate libere per procedere con l approccio matriciale: [ ] [ ] [ ] α α δα x =, x s =, δx =, ẋ = δs s [ ] α, ẍ = ṡ ] [ α s Nella prossima sezione si valutano i legami cinematici con i due gradi di libertà α e s, linearizzandoli però direttamente nell intorno della posizione di equilibrio: [ ] 3 x = x =.8 dove s =.8 m è la lunghezza dell attuatore all equilibrio. Per E c, D e Q si è già visto nella sezione ad un grado di libertà che la linearizzazione è semplice: E c E c D D Q Q Per quanto riguarda il potenziale, invece, per trovare una forma quadratica lo sviluppo in serie deve arrivare al secondo ordine. Nei casi in cui i legami cinematici fossero lineari si potrebbe direttamente linearizzare anche il potenziale infatti rimmarrebbe solo [K I ], ma purtroppo non è questo il caso. V V + V (x x ) + 1 [ x 2 (x x ) T x ( V x x V x = y k T [k] y k x y PT P x ) T ( yk ) T y k = [k] x x + y k T [k] 21 x ( V ) T ] (x x ) (12) x ( yk ) T P T x x ( yp ) T x

25 Tutti i termini si calcolano poi nella posizione di equilibrio andando a definire la matrice di rigidezza: [ ( V ) T ] [K] = = [K I ] + [K II ] + [K III ] x x 2 = [λ k ] T [k] [λ k ] + k i y k,i [H yk,i ] + i=1 3 m i g [H hi ] i=1 (13) Nell ultima scrittura si sono ridefiniti i tensori che rappresentano le derivate seconde come somme di matrici hessiane [H] per rendere il testo più leggibile e si è notato che il vettore y P è l opposto del vettore h i che contiene gli innalzamenti del baricentro. Inoltre si è sostituito: [λ k ] = y k x 22

26 3.2 Analisi cinematica Oggetto dell analisi cinematica è trovare i Jacobiani dei vettori sopra menzionati per correlare le variabili fisiche a quelle indipendenti. Come detto però, serve trovare la relazione β(α, s) per l energia cinetica dell asta AD e la relazione c(α, s) per il potenziale e la funzione dissipativa. Chiusura OVAD D b V m A β a s α d O Figura 4: Chiusura OVAD d e iπ + s e i π 2 + m e i + b e iβ = a e iα I moduli a, d e m sono costanti e noti, quindi le incognite sono b e β. 23

27 { d + m + b cos β = a cos α s + b sin β = a sin α Analogamente a quanto fatto nella chiusura si ricavano le due incognite: ( ) a sin α s β = arctan a cos α + d m Derivando: b = a cos α + d m cos β {ḃ cos β b β sin β = a α sin α ḃ sin β + b β cos β = a α cos α ṡ cioè [ ] [ḃ ] cos β b sin β = sin β b cos β β [ ] a α sin α a α cos α ṡ [ ] cos β b sin β A = sin β b cos β det(a) = b (cos 2 β + sin 2 β) = b [ ] a α sin α b sin β A 1 = a α cos α ṡ b cos β det(a 1 ) = a b α sin (β α) b ṡ sin β [ ] cos β a α sin α A 2 = sin β a α cos α ṡ det(a 2 ) = a α cos (β α) ṡ cos β 24

28 ḃ = det(a 1) det(a) = a α sin (β α) ṡ sin β β = det(a 2) det(a) = a b α cos (β α) 1 b ṡ cos β β = β(α, s) t = β α α + β s ṡ β α = a b cos (β α) e β s = 1 b cos β (14) Derivando ancora l equazione: { b cos β 2 ḃ β sin β b β sin β b β 2 cos β = a α sin α a α 2 cos α b sin β + 2 ḃ β cos β + b β cos β b β 2 sin β = a α cos α a α 2 sin α s cioè [ ] ] [ cos β b sin β [ b a α sin α a α = 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β ] 2 cos β sin β b cos β β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β s A 1 = [ a α sin α a α 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β 2 cos β ] b sin β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β s b cos β det(a 1 ) = a b α sin (β α) a b α 2 cos (β α) + b 2 β2 b s sin β [ cos β a α sin α a α A 2 = 2 cos α + 2ḃ β sin β + b β ] 2 cos β sin β a α cos α a α 2 sin α 2ḃ β cos β + b β 2 sin β s det(a 2 ) = a α cos (β α) + a α 2 sin (β α) 2ḃ β s cos β b = det(a 1 ) det(a) = a α sin (β α) a α2 cos (β α) + b β 2 s sin β β = det(a 2) det(a) = a b α cos (β α) + a b α2 sin (β α) 2 b ḃ β 1 b s cos β 25

29 dove ḃ β = [ ][ a a α sin (β α) ṡ sin β b α cos (β α) 1 ] b ṡ cos β = a2 2b sin (2β 2α) α2 a b sin (2β α) α ṡ + 1 sin (2β) ṡ2 2b β = 2 β α 2 α2 + β α α + 2 β s 2 ṡ2 + β s s + 2 β α s α ṡ 2 β α 2 = a b a2 sin (β α) sin (2β 2α) b2 2 β s = 1 sin (2β) 2 b2 2 β α s = 2a sin (2β α) b2 26

30 Chiusura molla-smorzatore n c γ A q β p Figura 5: Chiusura molla-smorzatore La chiusura è del tutto identica a quella per un grado di libertà nella sezione e si riportano quindi i risultati: c β p cos β q sin β sin (β γ) q sin γ p cos γ = sin 2 (β γ) c = 2 c (q sin γ p cos γ) cos (β γ) = 2 β2 sin 3 (β γ) ċ = c(β) t = c β β c = c β β + 2 c β 2 β 2 Le relazioni di c e delle sue derivate rispetto ad α si ricavano semplicemente sostituendo i valori di β, β e β calcolati in precedenza. 27

31 Si può procedere a scrivere i Jacobiani: ẏ m [λ m ] ẋ ẏ s [λ s ] ẋ δs F [λ F ] δx Linearizzando questi tre legami cinematici vale la sovrapposizione degli effetti ed è possibile analizzare il sistema studiando l effetto di ogni singolo grado di libertà. In ogni caso, quando si considera l asta AD ci si riferisce comunque a β e c trovati con le chiusure e dipendenti da entrambi i gradi di libertà. Per semplicità si chiama u il segmento G 3 D. α ṡ V G1 1 w 1 V G2 w 2 1 L V 3 β G3 2 α w 3 β α u β s β s 28

32 Si ha w 1 = perchè i manicotti permettono solo la traslazione e V G2 = perchè il baricentro del disco corrisponde al punto in cui il disco è incernierato a terra. 1 L 3 β β [λ m ] T 2 α = α 1 u β β s s l 1 α c α ṡ c s l 2 1 δ α δ s δθ C 1 δs N 1 Si nota che le forzanti agiscono ciascuna su un grado di libertà senza influire direttamente sull altro, in particolare C su α e N su s. Va ricordato che δθ C e δs N sono presi nel verso delle forze. Si è quindi trovato [λ s ] = [ c α c s 1 ] e [λ F ] = [ ]

33 3.2.1 Matrice di rigidezza θ T = θ T d + θ T = θ T (x) θ T (x ) + θ T = = c c R T + θ T l = l d + l = s s + l infatti l allungamento della molla è imposto dal solo attuatore. Il legame lineare semplifica la scrittura dell energia potenziale associata alla molla di rigidezza k. θ T θ T [λ k ] = y α s k x = l l α s 2x2 1 c 1 c [λ k ] = R T α R T s 1 ) k T c 2 R 2 α T [K I ] = [λ k ] T [k] [λ k ] = k T c c RT 2 α s ( k T R 2 T k T R 2 T ( c c α s c s ) 2+k [H yk,1 ] = x ( yk,1 x ) T = 2 θ T α 2 2 θ T α s 2 θ T s α 2 θ T s 2 = 1 R T 2 c α 2 2 c α s 2 c s α 2 c s 2 3

34 [H yk,2 ] = x ( yk,2 x ) T = 2 l α 2 2 l α s 2 l s α 2 = l s 2 [ ] [K II ] = 2 i=1 k i y k,i [H yk,i ] = k T θ T 1 R T 2 c α 2 2 c α s 2 c s α 2 c s 2 [H hi ] = x ( hi ) T = x 2 h i α 2 2 h i α s 2 h i s α 2 h i s 2 I legami cinematici che associano y P a x sono: h 1 = y G1 = s [H h1 ] = [ ] h 2 = y G2 = [H h2 ] = [ ] 31

35 h 3 = y G3 = s + L 3 2 sin β [H h3 ] = L β α 2 cos β ( β α ) 2sin β [K III ] = 3 i=1 m i g [H hi ] = m 3 g L β α 2 cos β ( β α ) 2sin β 32

36 3.3 Forme di energia rispetto al vettore delle variabili indipendenti Energia cinetica E c = 1 2 ẏt m [m] ẏ m 1 2 ẋt [λ m ] T [m] [λ m ] ẋ = 1 2 ẋt [M] ẋ M è la matrice di massa: [M] = [ ]( ) L J 2 + m J β 2 ] L 3 α [m u + J β 3 α [ ] L m u + J β 3 α β s m 1 + [ m 3 L 3 β s ]( ) 2 u + J β 2 3 s = [ ] (15) ricordando che u = G 3 D. Si nota che la matrice di massa è simmetrica. Energia potenziale [ d dt ( Ec ) E ] T c = [M] ẍ ẋ x Riprendendo quanto scritto nelle equazioni (12) e (13) vale: ( V ) T = [K] (x x ) x La matrice [K], somma delle tre matrici calcolate nella sezione 3.2.1, è simmetrica: [ ] [K] = (16) Equilibrio statico Si cerca ora il precarico delle due molle imponendo l equilibrio statico del sistema. 33

37 Ovviamente si considera la scrittura del potenziale non lineare e solo dopo si valutano i due gradi di libertà nell intorno della posizione di equilibrio. V x = y k T [k] y k x PT y P x = = [ θ T l ] [ ] θ T k T α k l α = [ kt θ T θ T α k T θ T θ T s θ T s l s + k l ] [ m1 g m 2 g m 3 g ] sostituendo i termini precedentemente trovati. Impongo ora: ( V ) T = x x=x θ k T θ T T α m 3 g y P 3 α = θ k T θ T T s + k l m 1 g m 3 g = y P 1 α y P 2 α y P 3 α [ m3 g y P 3 α m 1 g + m 3 g ] da cui ricavo θ T e l. In particolare θ T =.33 rad che rispetto al caso ad un grado di libertà è piuttosto cresciuto. y P 1 s y P 2 s y P 3 s = 34

38 Funzione dissipativa D = 1 2 ẏt s [r] ẏ s 1 2 ẋt [λ s ] T [r] [λ s ] ẋ = 1 2 ẋt [R] ẋ [R] = ( ) 2 c c c r 1 α r 1 α s ( 2+r2 c c c r 1 α s r 1 s) = [ ] (17) ( D ) T = [R] ẋ ẋ Componenti lagrangiane δl = ( F(t) ) T δs F ( F(t) ) T [λf ] δx Q T = ( ) T F(t) [λf ] = [ C(t) N(t) ] [ ] 1 = [ C(t) N(t) ] 1 35

39 3.4 Equazione del moto Per comodità si passa dal vettore delle coordinate libere al vettore delle perturbazioni dalla posizione di equilibrio in modo da non scrivere il termine (x x ) associato al potenziale. Ci si riferirà comunque a x intendendo però la pertubazione, come detto. Avendo linearizzato direttamente i legami cinematici si raggiunge la seguente equazione differenziale del secondo ordine: Moto libero e non smorzato [M] ẍ + [R] ẋ + [K] x = Q (18) [M] ẍ + [K] x = La soluzione ipotizzata è sempre del tipo x = X e λt ( ) λ 2 [M] + [K] X e λt = ( ) λ 2 [I] + [M] 1 [K] X = Come per tutti i casi non forzati, per avere una soluzione non banale bisogna imporre che la matrice λ 2 [I] + [M] 1 [K] sia singolare, cioè con determinante nullo. Così facendo si trovano quindi un polinomio di quarto grado biquadratico che da luogo a quattro autovalori, complessi e coniugati a due a due: λ 1,3 = ±i w I e λ 2,4 = ±i w II. Rientrando nel sistema e imponendo prima λ I e poi λ II si ottengono i due modi di vibrare. Infatti la soluzione è nella forma x = 4 X i e λ it i=1 e se non si facesse questo passaggio si avrebbero X i (i=1,2,3,4) incognite, ognuna composta da due elementi, per un totale di otto incognite. Il sistema ha due equazioni linearmente dipendenti a causa della nostra imposizione e quindi si considera solo una delle due equazioni, per esempio la prima. (λ 2 I m 11 + k 11 ) X (I) 1 + (λ 2 I m 12 + k 12 ) X (I) 2 = 36

40 ed analogamente µ (I) = X(I) 1 X (I) 2 = λ2 I m 12 + k 12 λ 2 I m 11 + k 11 (λ 2 II m 11 + k 11 ) X (II) 1 + (λ 2 II m 12 + k 12 ) X (II) 2 = µ (II) = X(II) 1 [ ] µ X (I) (I) = 1 X (II) 2 = λ2 II m 12 + k 12 λ 2 II m 11 + k 11 [ ] µ e X (II) (II) = 1 Si ottiene quindi la risposta nel tempo che bisogna proiettare sull asse reale: ( ) x(t) = R A X (I) e iωit + B X (I) e iωit + C X (II) e iωiit + D X (II) e iω IIt e le incognite sono diventate quattro che si riescono a determinare con le due condizioni iniziali per ogni gdl. Tramite Matlab si trovano gli autovalori e quindi le pulsazioni proprie: ω I = rad s ω II = rad s I rapporti che definiscono i modi di vibrare sono: µ (I) = X(I) 1 X (I) 2 µ (II) = X(II) 1 X (II) 2 =.5495 = Il primo modo µ I è piuttosto alto, quindi la componente di x(t) associata a w I sarà decisamente maggiore per α rispetto a s. Si impongono ora le condizioni iniziali: α(t = ) = π 3 α(t = ) = s(t = ) = 1.2 ṡ(t = ) = 37

41 Spostamento dell'attuatore [mm] Rotazione del disco [deg] Spostamento dell'attuatore [mm] In questo modo ottengo i valori di C 1, φ 1, C 2, φ 2 e quindi i seguenti grafici. 7 Risposta non smorzata del primo gdl nel tempo 13 Risposta non smorzata del secondo gdl nel tempo t t Senza smorzamento l oscillazione si mantiene costante attorno all equilibrio statico e gli andamenti sono dati dalla somma delle sinusoidi associate alle due frequenze proprie. La prima frequenza propria genera l andamento in grande, attorno al quale a sua volta oscilla la curva con pulsazione maggiore. Ad una prima occhiata sembrerebbe che in t = l attuatore possieda una velocità iniziale. In realtà, si può osservare dall ingrandimento nel grafico sottostante che la derivata è nulla come impongono le condizioni iniziali ma l attuatore acquista velocità in molto poco: solo.5 s. 13 Risposta non smorzata del secondo gdl nel tempo t 38

42 3.4.2 Moto libero e smorzato [M] ẍ + [R] ẋ + [K] x = La tecnica risolutiva prevede la scomposizione delle due equazioni in quattro equazioni in modo tale da ricondursi a equazioni differenziali del primo ordine. { [M] ẍ = [R] ẋ [K] x [M] ẋ = [M] ẋ Chiamo ż = [ ] x z = ẋ [ [M] ] [] [] [M] [ [M] [] [] [M] ż = [ẋ ] e ż = ẍ [ ] [R] [K] z [M] [] ] 1 [ [R] [K] [M] [] ] z = [A] z Si è usata la matrice [M] nella seconda equazione, in modo tale da abbattere i problemi di mal condizionamento della matrice [A]. Infatti i metodi numerici per la risoluzione di sistemi lineari possono dar luogo a grandi errori nel caso in cui la matrice presenti termini con valori tra loro molto differenti. Si è giunti quindi a un sistema caratterizzato da una matrice [A] 4x4 che permette di arrivare all equazione ( ) [A] λ [I] Z e λt = poiché la soluzione ipotizzata è ancora del tipo: z = Z e λt Annullando ancora il determinante della matrice si ottiene sempre un polinomio di quarto grado ma non più biquadratico come nel caso non smorzato. Gli autovalori hanno la seguente forma: λ I,III = α I ± i w I λ II,IV = α II ± i w II 39

43 Sono sempre complessi e coniugati a due a due, ma c è anche una componente reale che deve esser negativa, cioè α I, α II >, per impedire la divergenza di z(t). Ora si sostituiscono i quattro autovalori per esempio nella prima equazione del sistema di moto: (λ 2 I m 11 + λ I r 11 + k 11 ) X (I) 1 + (λ 2 I m 12 + λ I r 12 + k 12 ) X (I) 2 = µ (I) = X(I) 1 = λ2 I m 12 + λ I r 12 + k 12 X (I) λ 2 2 I m 11 + λ I r 11 + k 11 [ ] µ X (I) (I) = 1 ed analogo per λ II, λ III e λ IV. La presenza di smorzamento rende ora i modi di vibrare numeri complessi. Ottengo quindi: [ ( ) ( )] x = R e α It A X (I) e iωit + B X (III) e iω It + e α IIt C X (II) e iωiit + D X (IV ) e iω IIt Lo smorzamento introduce il termine esponenziale decrescente che va a ridurre l ampiezza di oscillazione nel tempo. Inoltre i modi di vibrare sono complessi e quindi aggiungono un ulteriore fase agli argomenti dei coseni. Grazie al comando eig in Matlab si trovano i quattro autovalori: λ I = i λ II = i λ III = i λ IV = i e cioè ω I = rad e ω s II = rad. s Si osserva che il primo modo di vibrare è quello più smorzato tra i due, avendo un α maggiore. I rapporti che definiscono i modi di vibrare sono: µ (I) = X(I) 1 = i X (I) 2 µ (II) = i µ (III) = i µ (IV ) = i 4

44 Rotazione del disco [deg] Spostamento dell'attuatore [mm] Imponendo le stesse condizioni iniziali del moto non smorzato si ottengono i seguenti grafici. 65 Risposta smorzata del primo gdl nel tempo 125 Risposta smorzata del secondo gdl nel tempo t t La presenza di smorzamento abbatte le oscillazioni in meno di 3 secondi: addirittura s(t) tende all equilibrio statico senza quasi oscillare, grazie al valore alto di r 1 = 5 Ns. m Per l attuatore è presente lo stesso effetto del caso non smorzato, per cui vedere la derivata iniziale positiva invece che nulla è solo un illusione ottica. 41

45 Rotazione del disco [deg] Spostamento dell'attuatore [mm] Rotazione del disco [deg] Spostamento dell'attuatore [mm] Tenendo fisse le posizioni, ora si danno anche velocità iniziali: α(t = ) = π 3 α(t = ) = 12 s(t = ) = 1.2 ṡ(t = ) = 7 1 Risposta non smorzata del primo gdl nel tempo 25 Risposta non smorzata del secondo gdl nel tempo t 8 7 Risposta smorzata del primo gdl nel tempo t Risposta smorzata del secondo gdl nel tempo t t La posizione x(t) quindi al tempo t = ha derivata non nulla e nel caso smorzato si vede che le oscillazioni non tendono subito a diminuire. Anzi crescono rispetto a x proprio a causa dell inerzia che il sistema aveva già prima di essere osservato, per poi ovviamente essere progressivamente ridotte dagli smorzatori fino a zero. La pulsazione ovviamente si mantiene costante nel tempo e uguale ai casi precedenti con diverse CI. 42

46 3.4.3 Moto forzato e smorzato [M] ẍ + [R] ẋ + [K] x = Q Per la soluzione omogenea x O (t) e le frequenze proprie si fa riferimento al caso soprastante. Q = [ ] [ C(t) C e iωt ] = N(t) N e iφt Siccome le due forzanti hanno frequenze diverse si analizzano una per volta, per poi sommare le due soluzioni particolari trovate. Prendendole una ad una si ottengono i due sistemi: Forzante C [ ] C e [M] ẍ + [R] ẋ + [K] x = iωt [ ] [M] ẍ + [R] ẋ + [K] x = N e iφt Per quanto riguarda la prima forzante la soluzione ipotizzata è: x P1 = X P1 e iωt ( ) Ω 2 [M] + iω[r] + [K] X P1 e iωt = ] [ ] C e iωt = [ ] 1 C e iωt X P1 = [D(Ω)] 1 [ 1 C = [H 1 (Ω)] C [H 1 (Ω)] 2x1 è il vettore delle funzioni di risposta in frequenza dei due gdl rispetto a C. Cioè: [ ] F RFC α [H 1 (Ω)] = F RF C s e quindi rispettivamente prima riga e seconda riga del vettore [H 1 (Ω)]. x P1 = R( X P1 e iωt ) = X P1 cos (Ωt + ψ 1 ) con ψ 1 fase del numero complesso X P1. 43

47 4.5 #1-3 Moduli delle FRF dovute a C Fasi delle FRF dovute a C Primo gdl Secondo gdl -5 Primo gdl Secondo gdl Pulsazione della forzante C Pulsazione della forzante C In corrispondenza dei punti evidenziati sulle ascisse, che rappresentano le pulsazioni proprie, il modulo si impenna come ci si aspetta. La fase parte correttamente da zero per Ω = e man mano decresce fino a tendere a π. Con due gradi di libertà è più complesso individuare i parametri su cui agire rispetto al caso ad un gdl: certamente si deve andare a ridurre i valori della matrice [D] 1. La matrice [D] è la somma delle matrici calcolate nelle equazioni (15), (16), (17) ed approssimando si ottiene: 1.69 Ω iω Ω iω 142 [D] =.64 Ω iω Ω iω Ovviamente questa matrice, che moltiplica le soluzioni particolari X P1 e X P2 nella risoluzione del moto forzato, è la stessa a meno di sostituire Ω con Φ. 44

48 Forzante N La soluzione ipotizzata è sempre: x P2 = X P2 e iφt ( ) [ Φ 2 [M] + iφ[r] + [K] X P2 e iφt = ] [ ] e iφt = N 1 e iφt N [ ] X P2 = [D(Φ)] 1 N 1 = [H 2 (Φ)] N [H 2 (Φ)] 2x1 è il vettore delle funzioni di risposta in frequenza dei due gdl rispetto a N. Cioè: [ ] F RFN α [H 2 (Φ)] = F RF N s e quindi rispettivamente prima riga e seconda riga del vettore [H 2 (Φ)]. x P2 = R( X P2 e iφt ) = X P2 cos (Φt + ψ 2 ) con ψ 2 fase del numero complesso X P2. Si ottengono i seguenti grafici. 7 #1-3 Moduli delle FRF dovute a N Fasi delle FRF dovute a N 6 Primo gdl Secondo gdl -5 Primo gdl Secondo gdl Pulsazione della forzante N Pulsazione della forzante N 45

49 Alla seconda pulsazione propria corrispondono ampiezze molto basse per entrambi i gdl. È interessante notare che: F RF N α F RF C s infatti [H] = [D] 1 b e lo jacobiano di C alla seconda riga assume lo stesso valore dello jacobiano di N alla prima, cioè zero. Pertanto le due F RF non possono che coincidere sia in modulo sia in fase. La fase anche in questo caso parte da zero e per Ω alte tende a π. Soluzione complessiva Alla luce del sistema non smorzato e della risposta alle due forzanti, la soluzione complessiva si trova applicando il principio di sovrapposizione degli effetti: x(t) = x O (t) + x P1 (t) + x P2 (t) e solo a questo punto si impongono le condizioni iniziali: { x(t = ) = x ẋ(t = ) = v 46