Elementi di dinamica delle strutture,

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1 INTRODUZIONE Una struttura o qualunque sistema meccanico è caratterizzato dinamicamente quando è nota la posizione nello spazio di tutte le masse che lo compongono in ogni istante del suo moto. Un sistema reale è caratterizzato da massa distribuita in ogni suo volume; possiede quindi infinite masse elementari per cui andrebbero determinate in ogni istante infinte posizioni. E possibile di solito schematizzare un sistema con un numero infinito di gradi di libertà con un sistema avente un numero finito di masse concentrate in punti specifici, sì da ricondursi ad uno schema di calcolo con masse concentrate che fornisca risultati sufficientemente accurati con un onere di calcolo ragionevole. Si consideri un serbatoio d acqua (figura 1) in cui la maggior parte della massa è concentrata nella sommità; per tale sistema l approssimazione di trascurare la massa m distribuita lungo lo stelo rispetto alla massa del serbatoio porta ad una semplificazione ragionevole del problema. E possibile quindi ricondursi ad uno schema chiamato oscillatore ad un grado di libertà poiché consente di descrivere il moto del sistema mediante le sole oscillazioni orizzontali della massa. m m h igura 1. Sistema ad un grado di libertà. Lo stelo, è idealmente supposto privo di massa, conservando, però, tutte le caratteristiche deformative elastiche del sistema originario. Risulta subito chiaro come un tale sistema sia certamente più agevole da trattare rispetto uno schema in cui la massa è supposta distribuita. In generale, risulta ovvio come la schematizzazione debba rispecchiare il più possibile la distribuzione delle masse reali: una ciminiera in mattoni, ad esempio (figura ), ha una massa distribuita in maniera abbastanza uniforme lungo il suo asse, per cui un modello elementare simile al precedente non fornisce risultati sufficientemente accurati. Uno schema che utilizza diverse masse concentrate distribuite in varie posizioni lungo l asse è uno schema certamente più aderente alla realtà; l onere di calcolo però cresce in ragione del numero delle masse utilizzate e quindi dei gradi di libertà del sistema, fornendo risultati tanto più accurati quanto più masse si utilizzano. -1-

2 h/n m n m n-1 m n- h m m 1 m 0 igura. Struttura con infiniti gradi di libertà, schematizzabile solo utilizzando un numero discreto di masse. L OSCILLATORE SEPLICE Si introduce lo studio di un sistema elementare, l oscillatore ad un grado di libertà, che permette la corretta schematizzazione di alcune strutture semplici ma, soprattutto, consente l introduzione di concetti fondamentali della dinamica delle strutture. Tale modello, sotto opportune ipotesi, è utilizzato anche per lo studio di schemi strutturali complessi. La sua rappresentazione meccanica (figura 3) è fornita da: elemento massa responsabile delle forze dinamiche inerziali; elemento molla K ovvero la forza di reazione elastica della struttura; la coordinata spaziale funzione che descrive la posizione della massa in ogni istante. K posizione a riposo: =0 igura 3. Oscillatore semplice. Durante il moto, alla massa sono applicate due forze: una elastica, proporzionale allo spostamento, ed una inerziale, proporzionale all accelerazione del sistema; si utilizzi la seconda legge di Newton per scrivere l equilibrio dinamico del sistema ext = x. --

3 Siccome l unica forza esterna agente sulla massa del sistema è la forza di reazione elastica, l equazione del moto oscillatorio assume la seguente espressione () x() t K x t =, ovvero x() t + K x() t = 0, [1] equazione differenziale del secondo ordine ordinaria, lineare, omogenea a coefficienti costanti ed. Le oscillazioni di tale sistema sono dette libere non smorzate, poiché non è presente alcuna forza esterna e non sono considerati fenomeni dissipativi, in realtà sempre presenti nelle strutture e nei sistemi reali; l oscillatore semplice in tal modo è un sistema che conserva l energia totale. inerzia.. =- = K el igura 4. Equilibrio della massa. Definendo la pulsazione naturale del sistema K ω =, [] l equazione del moto libero non smorzato [1] assume la forma () ω () x t + x t = 0, [3] il cui integrale generale può essere scritto tramite le espressioni, tra loro equivalenti: iωt iωt () 1 x t = A e + A e, [4.a] () ( ω ) ( ω ) x t = B sen t + B cos t, [4.b] 1 () ( ω ϕ ) x t = A sen t +. [4.c] Le coppie di costanti ( A,A 1 ), ( B,B 1 ) e ( ) A,ϕ si ricavano imponendo le condizioni iniziali del moto espresse in termini di velocità e di spostamento iniziali; le costanti A e ϕ definiscono l ampiezza massima dell oscillazione ampiezza A e gli istanti per cui il sistema passa per la posizione di riposo fase ϕ, (figura 5). Il caso in cui si abbiano condizioni iniziali in cui è assegnata la velocità iniziale al sistema mentre lo spostamento iniziale è nullo -3-

4 x () t + ω x() t = 0 x( 0) = 0, [5.a] x( 0) = x to rappresenta il moto di una massa soggetta ad un impulso iniziale I = x to ; assegnando, invece, uno spostamento iniziale al sistema con velocità iniziale nulla x () t + ω x() t = 0 x( 0) = xto, [5.b]. x( 0) = 0 Si descrive il moto oscillatorio di una massa spostata dalla sua posizione di riposo ed abbandonata con velocità nulla. Si ottiene la risoluzione del caso più generale in cui entrambe le condizioni iniziale sono non omogenee, ( ) to, ( ) to x 0 = x x 0 = x, utilizzando l integrale generale dell equazione [3] nella forma [4.c] x() t = A sen( ωt + ϕ) = = A sen ωt cos ϕ + A cos ωt sen ϕ,. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ω ( ω ) ( ϕ) ω ( ω ) ( ϕ) x t A cos t cos A sen t sen imponendo le condizioni iniziali si ottiene il seguente sistema x 0 = x to = A sen ϕ ( ) ( ) ( ) = to = ω ( ϕ ) x 0 x A cos da cui derivano le espressioni generali dell ampiezza e della fase del moto per l oscillatore semplice (x to) to A = x + e [6.a] ω tg ( ϕ) xto = ω.. [6.b] x to Le oscillazioni libere sono oscillazioni armoniche (dipendenti da una funzione trigonometrica) con una pulsazione naturale ω, da cui si può definire il periodo proprio del sistema π T0 = [7] ω e la frequenza del moto dell oscillatore f, come inverso del periodo. -4-

5 f = 1 1 K T = ω π = π [8] 0 L oscillatore semplice, essendo un sistema ideale privo di qualunque fenomeno dissipativi, conserva l energia totale acquisita all inizio del moto; l energia totale è data dalla somma dell energia cinetica E CIN, espressa dalla seguente formula 1 1 ECIN = x t A cos t = + e dell energia potenziale U così definita () ω ( ω ϕ), [9] 1 1 U = K x() t KA sen( ωt ϕ) = +, [10] quindi 1 1 ETOT = ECIN U = ω A cos( ωt ϕ) KA sen( ωt ϕ) = 1 KA cos t sen t 1 KA cos t. ( ω ϕ) ( ω ϕ) = = = = A -A T 0 k=0 k=1 k= t = - +k igura 5. Legge oraria della massa dell oscillatore semplice non smorzato. Esempio: L oscillatore semplice può essere efficacemente utilizzato per l analisi di strutture anche complesse in cui la massa può essere concentrata in un unico elemento strutturale, come nel caso dei telai shear-type (figura 6). La massa è concentrata essenzialmente nel traverso, supposto, inoltre, indeformabile, mentre la flessibilità della struttura, K, è concentrata negli elementi verticali di altezza H. t -5-

6 EJ Ø EJ EJ H L igura 6. Telaio tipo shear-type. La rigidezza elastica K del sistema shear-type può essere valutata applicando a livello della massa una forza statica di modulo 1 in direzione delle oscillazioni del sistema (figura 7) e calcolandone lo spostamento δ, che vale 3 H δ = ; 4 EJ 1 EJ per cui la rigidezza totale della struttura è pari a K = = 4. δ H 3 = 1 HEB80 igura 7. Calcolo della rigidezza K della struttura e sezione trasversale delle colonne. Si supponga che le colonne siano realizzate con un profilo in acciaio HEB80 le cui caratteristiche geometriche sono: Area A HEB80 =13140 mm ; omento di inerzia J HEB80 = mm 4 ; altezza H=000 mm. Il modulo elastico dell acciaio è E=10000 N/mm, e si considera la massa complessiva del traverso pari a =1000 kg. Dai dati precedenti si ricava che la rigidezza della struttura è pari a N K = 4 = mm. -6-

7 Dall equazione [8] si ricava che il periodo proprio della struttura è pari 1000 T0 = π = 0.018s L OSCILLATORE SEPLICE ORZATO Si consideri l oscillatore semplice soggetto ad una forza di intensità variabile (t) (figura 8); l equazione del moto diviene in questo caso non omogenea x() t + K x() t = (t) ; [11] dividendo ogni termini per la massa del sistema l equazione [11] assume la forma () ω () x t + x t = (t). [1] 1 Si supponga che la forzante abbia un andamento armonico, ovvero sia una funzione periodica data dall espressione ( ω ) (t ) = sen t, [13] l equazione [13] si modifica nella forma: () ω () ( ω ) x t + x t = sen t. [14] La soluzione dell equazione [14] è data dalla somma dell integrale generale dell equazione omogenea, equazioni [4.a], [4.b] o [4.c], per il moto non forzato ed un integrale particolare, dipendente dal tipo di forzante considerata, del tipo 1 ( ω ) x (t) = A sen t, [15] dove la costante A è determinata sostituendo l equazione [15] nell equazione [14] ( ) ( ) ( ) A ω sen ω t + A ω sen ω t = sen ω t A = = ( ω ω ) ω K 1 [16] con cui si completa l integrale particolare, equazione [15] 1 x 1(t) = sen t ω K 1 ( ω ), che sommato alle soluzioni dell equazione omogenea, [4.b] e [4.c], fornisce la soluzione complessiva del moto dell oscillatore semplice forzato nelle seguenti espressioni equivalenti: -7-

8 1 x t B1 sen t B cos t sen t ω K 1 () = ( ω ) + ( ω ) + ( ω ) 1 x t A sen t sen t ω K 1 () = ( ω + ϕ) + ( ω ), e [17.a] [17.b] nelle quali i termini dipendenti solo da ω rappresentano il contributo delle oscillazioni libere al moto complessivo del sistema, mentre i termini dipendenti anche da ω rappresentano il contributo delle oscillazioni forzate, con una frequenza dipendente A,ϕ si ricavano dall azione perturbante (t). Le coppie di costanti ( ) 1 B,B e ( ) imponendo le condizioni iniziali del moto espresse in termini di velocità e spostamento iniziali. Si pongano come condizioni iniziali spostamento e velocità iniziali nulli, dall equazione [17.a] x ( 0) = B = 0 e [18.a] x ( 0) = ω B1 + = 0 ω K 1 [18.b] per cui l integrale generale [17.a] diviene 1 ω x () t = sen( ω t) sen( ω t) ω K ω. 1 [19] Nel caso in cui la perturbazione della forzante ω è in prossimità della pulsazione ω ω, ovvero prossimo alla condizione di risonanza fondamentale del sistema ( ) ( ω ω ) =, l equazione [19] diviene indeterminata. Si trasformino i termini trigonometrici nel seguente modo ω sen ( ω t ) sen ( ω t ) sen ( ω t ) sen ( ω t ) = ω + ω ω ω = cos t sen t così che l equazione [19] assumi l espressione 1 1 La DIOSTRAZIONE della trasformazione tra le funzioni trigonometriche è riportata alla fine del presente paragrafo. -8-

9 ω + ω ω ω x () t = cos t sen t. ω K 1 diviene Trovandosi in condizioni prossime alla risonanza ( ω ω ) ω ω x () t = cos( ω ) sen t, ω K 1 [0] l equazione [0] espressione che risulta indeterminata quando ω ω, poiché sia il denominatore sia il numeratore tendono simultaneamente a zero. Per tentare di esaminare il comportamento dell oscillatore semplice in questa condizione si applica all espressione precedente il teorema di De L Hospital, derivando sia il numeratore sia il denominatore rispetto a ω. Al tendere di ω ω si ottiene x () t = ( t) cos( t) K ω ω, [1] equazione del moto che rappresenta delle oscillazioni con ampiezza crescente all aumentare del tempo t, crescita che avviene linearmente ed illimitatamente (figura 8), e che è solitamente chiamata battimento. t DIOSTRAZIONE igura 8. enomeno del battimento per un oscillatore semplice. Si dimostra la trasformazione delle funzioni trigonometriche utilizzata per ottenere l equazione [0]; siano α e β tali che α + β = ω t ; α β = ω t sommando e sottraendo ambo i membri delle equazioni precedenti si ottiene -9-

10 ω t+ ω t α =. ω t ω t β = Dalle formule relative al seno della somma si possono scrivere le equazioni sen ( α + β) = sen ( α) cos( β) + cos( α) sen ( β) sen α β = sen α cos β cos α sen β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) che forniscono, sottraendo la seconda alla prima, la relazione sen ( α + β) sen ( α β) = cos( α) sen ( β) + cos( α) sen ( β) = = cos α senβ ( ) ( ) da cui, sostituendo ad α e β le loro espressioni in funzione di ω ed ω si ha la trasformazione utilizzata a pag. 8 ω + ω ω ω sen ( ω t ) sen ( ω t ) = cos t sen t. L OSCILLATORE SEPLICE SORZATO Il moto di un qualsiasi sistema reale, soggetto ad oscillazioni libere, non continua indefinitamente, ma dopo un periodo più o meno lungo si estingue a causa dei fenomeni di attrito che smorzano le ampiezze delle oscillazioni sino all arresto. Tale smorzamento è stato rappresentato in dinamica con modelli più o meno complessi; tra essi un modello di comportamento, a tutt oggi, molto diffuso nella modellazione delle strutture in campo dinamico è il modello ad attrito viscoso. L attrito viscoso, introdotto da Kelvin, assegna alle forze dissipative (o d attrito) presenti una dipendenza dalla velocità istantanea del sistema, secondo la seguente relazione = C x t. V () La presenza di uno smorzamento di tipo viscoso nell oscillatore semplice si può rappresentare con un organo viscoso lineare caratterizzato da una costante C (figura 9). K C igura 9. Oscillatore semplice smorzato. LE OSCILLAZIONI LIBERE CON SORZAENTO L equazione del moto per l oscillatore semplice smorzato è ricavata eseguendo l equilibrio nella direzione del moto di tutte le forze agenti sulla massa (figura 10) -10-

11 () () () x t + C x t + K x t = 0 [] dove C è il coefficiente di attrito viscoso che caratterizza la resistenza viscosa ad una velocità x () t pari ad 1. Dividendo l equazioni [3] per la massa si ottiene l equazione analoga all equazione [3] per l oscillatore smorzato () ξ ω () ω () x t + x t + x t = 0 [3] in cui ξ ω = C. [4] el = K inerzia.. =- V = C igura 10. Diagramma di corpo libero della massa. Il coefficiente x è una costante dimensionale chiamata fattore di smorzamento dell oscillatore semplice; esso dipende solo dai parametri meccanici dell oscillatore tramite la seguente formula C C ξ = = ω K. [5] L equazione differenziale [3] è del secondo ordine, lineare, omogenea ed a coefficienti costanti, la cui equazione caratteristica λ + ξ ω λ + ω = 0 [6] possiede le seguenti due radici ( ) ( ) λ1 = ξ + ξ 1 ω [7.a] λ = ξ ξ 1 ω [7.b] distinte solo se ξ 1, e, a seconda che il fattore di smorzamento sia maggiore o minore dell unità, reali oppure complesse, che portano a soluzioni dell equazione nettamente distinte. IL CASO SOVRASORZATO - ξ >1 Le soluzioni dell equazione caratteristica [6] sono reali e distinte, per cui il moto del sistema diviene aperiodico ed è espresso dal seguente integrale generale dell equazione [3] -11-

12 λ1 t λ () x t A e A e t = 1 +. [8] Si consideri il caso in cui le condizioni iniziali del moto siano caratterizzate da spostamento iniziale non nullo e velocità nulla, x ( 0) = xt0 e x ( 0) = 0 ; sostituendole all interno dell equazione [8] si ottiene il seguente sistema xt0 = A1 + A 0 = λ1 A1 + λ A da cui si ottengono le costanti cercate ( ξ ξ ) xt0 A1 = + 1 ξ 1 e ( ξ ξ ) xt0 A = + 1 ξ 1 [9.a]. [9.b] L espressione completa dell equazione [8] diviene così ξωt xt0 () ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) ξ ω ξ 1 t 1 ω t x t = e + 1 e e ξ 1 ; [30] il moto che descrive è aperiodico decrescente: il sistema inizialmente perturbato, dopo aver variato il suo stato ritorno in condizione di riposo; l equazione [30] è tale per cui il sistema tenderà asintoticamente allo stato di quiete, raggiungendolo idealmente solo quando t, tanto più rapidamente quanto più ξ è prossimo all unità; se ν fosse pari ad infinito allora la massa non si muoverebbe dalla posizione iniziale x t0 (figura 11). x t0 igura 11. Andamento della soluzione dell equazione [30] al variare del fattore di smorzamento. t IL CASO DELLO SORZAENTO CRITICO - ξ =1 Il presente caso, in cui ξ =1, la costante dello smorzamento viscoso attuale * vale C = K che è detto smorzamento critico. In questa condizione per l equazione [6] si hanno due soluzioni reali e coincidenti λ1 = λ = ω per cui l integrale generale dell equazione [3] è dato nella seguente forma λ1 t λ t () 1 x t = A e + A t e, [31] nella quale, imponendo le seguenti condizioni iniziali, x ( 0) = xt0 e ( ) ottengono le costanti A 1 e A x 0 = 0, si -1-

13 A1 = xt0 A = ω xt0 con cui l equazione [31] diviene ω t () ( ω ) x t = x e 1+ t. [3] t0 Il moto del sistema è aperiodico decrescente, tendendo asintoticamente alla posizione di riposo, come mostrato in figura 1. t igura 1. Andamento del moto dell oscillatore con smorzamento critico. oto aperiodico. -13-