Corso di Fondamenti di Automatica A.A Laboratorio di Matlab

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1 Corso di Fondamenti di Automatica A.A Laboratorio di Matlab Studio tramite Matlab del modello massa molla smorzatore Il modello matematico del sistema dinamico in esame è descritto dal seguente sistema di equazioni differenziali. ẋ = ( 0 k M y = (0 )x b M ) ( ) 0 x + u M dove k, b ed M sono costanti positive e rappresentano rispettivamente la costante elastica, il coefficiente di attrito e la massa. Supponiamo M =,k =3,b =4. Per assegnare i valori numerici alle matrici A, B e C digitiamo >> A=[0 ; -3-4]; >> B=[0; ]; >> C=[0 ]; >> D=[0]; Osservazione Gli elementi di una riga possono essere separati con la virgola Osservazione 2 l assenza del ; alla fine della riga di comando produce la visualizzazione dell operazione, ad esempio se si scrive >> A=[0 ; -3-4] dopo avere premuto INVIO si visualizzerà la matrice [ ] Il comando >> S=ss(A,B,C,D) definisce l oggetto S come il modello a tempo continuo del sistema caratterizzato dalle matrici A,B,C e D. Il comando >> eig(a) calcola gli autovalori di A

2 il comando >> L=eig(A); memorizza in L gli autovalori di A il comando >> [V,Di]=eig(A) memorizza in V gli autovettori destri e Di è la matrice diagonalizzata associata Quale è la differenza con il comando >> [V,Di]=eig(A, nobalance )? il comando help permette di reperire tutte le informazioni relative al comando cercato, nonché link a possibili istruzioni connesse. Così ad esempio >> help eig restituisce EIG Eigenvalues and eigenvectors. E = EIG(X) is a vector containing the eigenvalues of a square matrix X. [V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. [V,D] = EIG(X, nobalance ) performs the computation with balancing disabled, which sometimes gives more accurate results for certain problems with unusual scaling. If X is symmetric, EIG(X, nobalance ) is ignored since X is already balanced. E = EIG(A,B) is a vector containing the generalized eigenvalues of square matrices A and B. [V,D] = EIG(A,B) produces a diagonal matrix D of generalized eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that A*V = B*V*D. EIG(A,B, chol ) is the same as EIG(A,B) for symmetric A and symmetric positive definite B. It computes the generalized eigenvalues of A and B using the Cholesky factorization of B. EIG(A,B, qz ) ignores the symmetry of A and B and uses the QZ algorithm. In general, the two algorithms return the same result, however using the QZ algorithm may be more stable for certain problems. The flag is ignored when A and B are not symmetric. See also condeig, eigs, ordeig. Reference page in Help browser doc eig una ricerca diversa si ottiene con il comando lookfor, che fornisce i possibili comandi connessi alla voce inserita. ad esempio, si può provare a vedere cosa restituisce il comando >> lookfor eigenvalues 2

3 . Alcune domande. Quali sono gli autovalori del sistema? 2. Quali sono gli autovettori destri corrispondenti? 3. Quali sono gli autovettori sinistri corrispondenti? Come si possono calcolare con Matlab? ( ) 4. Esprimere x 0 = nella base degli autovettori. Chi sono c 3 e c 2? Che procedura hai usato per il calcolo di c e c 2? 5. Scrivi la formula per il calcolo dell evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x 0 = ( 3 ). 6. Indica l insieme degli stati iniziali che sollecitano solo il modo associato al primo autovalore. 7. Indica l insieme degli stati iniziali che sollecitano solo il modo associato al secondo autovalore. 8. Data la matrice A, a cosa serve il comando eig(a, nobalance )? 9. Come si calcola l inversa di A in Matlab? 3

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5 2 Parte grafica Per tracciare il primo autovettore in rosso, utiliziamo il comando plot >> plot([0 V(,)], [0, V(2,)], r ) per aggiungere la griglia si usa il comando >> grid on per mantenere il grafico e continuare a tracciare altre curve (ad esempio il secondo autovettore in blue) si usa il comando >> hold on quindi per tracciare il secondo autovettore basta usare il comando >> plot([0 V(,2)], [0, V(2,2)], b ) per cancellare la figura usare il comando >> clf Gli autovettori si possono anche tracciare contemporaneamente, scegliendo anche il colore e/o il tratto, nel seguente modo >> plot([0 V(,)], [0, V(2,)], r-,[0 V(,2)], [0, V(2,2)], b- ) Lista dei colori e simboli b blue. point solid g green o circle : dotted r red x x mark. dashdot c cyan + plus dashed m magenta star (none) noline y yellow s square p pentagram k black d diamond h hexagram w white v triangle(down) > triangle(right) ˆ triangle(up) < triangle(left) per tracciare l evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x 0 = c u + c 2 u 2 con c =3, c 2 = 6 fino all istante t=0 si può porre >> c=3; >> c2=6; >> t=0:.0:0; >> x=v(,)*exp(di(,)*t)*c+v(,2)*exp(di(2,2)*t)*c2; >> x2=v(2,)*exp(di(,)*t)*c+v(2,2)*exp(di(2,2)*t)*c2; >> hold on; >> plot(x,x2) E possibile memorizzare il codice in un file *.m (ad esempio ev libera.m). Linee di commento devono essere precedute dal simbolo %. Scrivendo il nome sulla linea di comando dopo avere opportunamente scelto il percorso permette di eseguire le linee di codice. 5

6 2. Alcune domande. Cosa fanno i comandi xlabel, ylabel, title? Usali per la figura relativa all evoluzione libera 2. Considera il sistema massa molla smorzatore con i parametri M =, k = 0eb = 7. Traccia con Matlab la figura relativa ( all evoluzione ) libera a partire dalle( seguenti ) condizioni iniziali: in rosso tratto xx per x 0 =, in verde tratto ++ per x 2 02 =, in nero tratto a cerchi 5 per x 03 = ( ). Commenta il risultato. 3. Scrivere un file ev libera.m che permetta di tracciare l evoluzione libera a partire dagli stati iniziali fissati. 4. Nel caso M =,k =5eb = 4, gli autovalori sono complessi coniugati. Modifica il programma in modo da permettere il tracciamento dell evoluzione libera anche in questo caso. Elenca in maniera sintetica le modifiche apportate 5. Considera il caso M =,k =5eb ( = ) 4. Grafica in Matlab gli autovettori e l evoluzione libera a partire dallo stato iniziale x 0 = 6. E possibile scegliere la scala sugli assi? Cerca il comando e centra il grafico. Indica in modo sintetico che istruzione hai usato. 6

7 3 Simulink Scegliendo dal menù in alto a sinistra file - new - model, è possibile creare un modellino di simulazione del sistema allo studio. Gli elementi da utilizzare si trovano nel menù a destra library browser. E possibile vedere i differenti elementi di simulink raggruppati in a) commonly used block b) continuous c) discontinuities d) discrete e) logic and bit operations f) lookup tables g) math operations h) model verification i) model-wide utilities l) ports and subsystems m) signal attributes n) signal routing o) sinks p) sources q) user-defined functions r) additional mth and discrete s)... per costruire lo schema di simulazione: prendere in continuous il blocco state space e trascinarlo nel nostro file evol.mdl. cliccando sopra è possibile inserire i parametri delle matrici e condizioni iniziali in modo numerico o parametrico se vogliamo applicare un segnale a gradino in ingresso possiamo andare in sources e trascinare il blocco step nel nostro file.mdl e quindi connetterlo come segnale di ingresso. Cliccando sull icona sarà possibile settare i diversi parametri. se vogliamo visualizzare l uscita possiamo andare in sink e scegliere il blocco scope, trascinarlo nel nostro file.mdl e collegarlo all uscita in alto è possibile settare la durata della simulazione (as esempio 20 secondi) e premendo il tasto play, vedere l andamento con lo scope 7

8 3. Alcuni esperimenti. Costruire un modello di simulazione per il sistema in esame, con M =,k =3,b =4 ( ) 0 2. Posto x 0 =, monitorare l uscita per ingresso nullo. Discutere il risultato 0 3. Posto x 0 = 0, monitorare l uscita quando l ingresso è u(t) =δ (t) δ (t 4). Discutere il risultato ( ) 0 4. Posto x 0 =, monitorare l uscita quando l ingresso è u(t) =δ 0 (t ) δ (t 5). Discutere il risultato 5. Posto x 0 = 0, monitorare l uscita quando l ingresso è u(t) =tδ (t). Discutere il risultato 6. Posto x 0 = 0, monitorare l uscita quando l ingresso è u(t) =sin(2t)δ (t). Discutere il risultato 7. Posto M =,k = 04, b =4x 0 = 0, monitorare l uscita quando l ingresso è u(t) =δ (t). Discutere il risultato 8