Forme canoniche. Si consideri il seguente sistema dinamico SISO caratterizzato dalle matrici A R n n, b R n 1, c R 1 n e d 0 R: (1)

Transcript

1 Capitolo. INTRODUZIONE 2. Forme canoniche Si consideri il seguente sistema dinamico SISO caratterizzato dalle matrici A R n n, b R n, c R n e d 0 R: () ẋ(t) = A x(t)+b u(t) y(t) = c x(t)+d 0 u(t) Il sistema è tempo-continuo, lineare e invariante. Il numero di parametri checaratterizzanolapartedinamica(a,bec)diquestosistemaèn 2 +2n: gli n 2 parametri della matrice A e i 2n parametri dei due vettori b e c. Operando opportune trasformazioni di coordinate x = T z nello spazio degli stati è possibile ottenere rappresentazioni matematiche diverse ma equivalenti del sistema dinamico di partenza. Le rappresentazioni matematiche caratterizzate dal minor numero possibile di parametri significativi prendono il nome di forme canoniche. Le forme canoniche di maggior interesse che verranno presentate di seguito sono le seguenti: Forma canonica di controllabilità (o di controllo) Forma canonica di osservabilità Forma canonica di Jordan Tutte le forme canoniche sono sempre caratterizzare da un numero massimo di parametri pari a 2n+.

2 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.2 Forma canonica di controllo Sia dato il seguente sistema dinamico SISO: ẋ(t) = A x(t)+b u(t) y(t) = c x(t)+d 0 u(t) Se la matrice di raggiungibilità R + è invertibile: R + = [ b, Ab, A 2 b,..., A n b ] la trasformazione di coordinate x = T c x c dove T c = R + T α : T c = [ b, Ab, A 2 b,..., A n b ] } {{ } R + porta il sistema in forma canonica di controllo: ẋ c (t) = α 0 α α 2... α n α α 2 α 3... α n α 2 α α 3. α n α n... α n }{{} T α x c (t)+ y(t) = [ c 0 c c 2... c n ] x c (t) + d 0 u(t) u(t) dove gli α i sono i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A: A (s) = det(si A) = s n +α n s n +...+α s+α 0 Il vettore di stato è x c = [ x x 2 x 3... x n ] T.

3 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.3 Schema a blocchi corrispondente alla forma canonica di controllo: d 0 c n c n 2 c u(t) x n x n x... 2 x c 0 y(t) s s s α n α n 2 α α 0 In base alla formula di Mason, il determinante (s) di questo grafo è (s) = + α n s + α n α 0 s 2 s n = sn +α n s n +...+α s+α 0 s n Al numeratore della formula di Mason si ha l espressione N(s) = d 0 (s)+ c n s n +c n 2 s n 2 +c n 3 s n c s+c 0 s n La funzione di trasferimento G(s) = Y(s)/U(s) dello schema a blocchi è quindi la seguente G(s) = N(s) (s) = d 0 + c n s n +c n 2 s n c s+c 0 s n +α n s n +α n 2 s n α s+α 0 Si noti che vi è una corrispondenza biunivoca diretta tra tra i coefficienti c i ed α i della funzione di trasferimento G(s) e i coefficienti del sistema posto in forma canonica di controllo.

4 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.4 Forma canonica di osservabilità Sia dato il seguente sistema dinamico SISO: ẋ(t) = A x(t)+b u(t) y(t) = c x(t)+d 0 u(t), O = c cạ. ca n Se la matrice di osservabilità O è invertibile, allora la trasformazione di coordinate x = T o x o dove T o = (T α O ) : T o = α α 2 α 3... α n c α 2 α ca α ca α n ca n }{{}}{{} O T α porta il sistema in forma canonica di osservabilità: ẋ o (t) = α α α α n α n y(t) = [ x o x o 2 x o 3. x o n x o n + ] x o (t) + d 0 u(t) b 0 b b 2. b n 2 b n u(t) dove α i sono i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A: A (s) = det(si A) = s n +α n s n +...+α s+α 0

5 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.5 Schema a blocchi corrispondente alla forma canonica di osservabilità: b n d 0 b 2 b u(t) b 0 x o x o 2 x... o n x o n y(t) s s s α 0 α α 2 α n In base alla formula di Mason, il determinante (s) di questo grafo è: (s) = + α n s + α n α 0 s 2 s n = sn +α n s n +...+α s+α 0 s n Al numeratore della formula di Mason si ha la seguente espressione: N(s) = d 0 (s)+ b n s n +b n 2 s n 2 +b n 3 s n b s+b 0 s n La funzione di trasferimento G(s) = Y(s)/U(s) è quindi la seguente: G(s) = N(s) (s) = d 0 + b n s n +b n 2 s n b s+b 0 s n +α n s n +α n 2 s n α s+α 0 Si noti che vi è una corrispondenza biunivoca diretta tra i coefficienti b i ed α i della funzione di trasferimento G(s) e i coefficienti del sistema posto in forma canonica di osservabilità.

6 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.6 Esempio. Esempio di calcolo delle forme canoniche in Matlab (Forme Canoniche.m): clc; echo on % Cancella la pagina e attiva l eco dei comandi %%%% Definizione random di un sistema dinamico di ordine n n=5; Poli_Complessi=; % Dimensione del sistema e tipo di poli sigma=--rand(,n)*5; % Parte reale dei poli sigma = [-6 -] Apoli=diag(sigma); % Matrice Apoli if Poli_Complessi; for ii=:2:n- Apoli(ii+,ii )=-Apoli(ii+,ii+); Apoli(ii,ii+)= Apoli(ii+,ii+); Apoli(ii+,ii+)= Apoli(ii,ii ); end end T=rand(n); A=T\Apoli*T % Matrice A di un generico sistema stabile B=rand(n,) % Matrice B di un generico sistema con m= C=rand(,n) % Matrice C di un generico sistema con p= Sys=ss(A,B,C,0); % Sys = sistema dinamico tempo continuo poli=roots(poly(a)) % Autovalori della matrice A pause; clc % Premi un tasto %%%% Forma canonica di raggiungibilita Rpiu=ctrb(A,B); % Matrice di raggiungibilita T_alpha=Calcola_T_alpha(A); % Matrice T_alpha Tc=Rpiu*T_alpha; % Tc della forma canonica di controllo Ac=Tc\A*Tc % Matrice di sistema Bc=Tc\B % Matrice degli ingressi Cc=C*Tc % Matrice delle uscite SysC=ss(Ac,Bc,Cc,0); % SysC = sistema in forma canonica di controllo roots(poly(ac)) % Autovalori della matrice Ac pause; clc % Premi un tasto %%%% Forma canonica di osservabilita Omeno=obsv(A,C); % Matrice di osservabilita To=inv(T_alpha*Omeno); % To della forma canonica di osservabilita Ao=To\A*To % Matrice di sistema Bo=To\B % Matrice degli ingressi Co=C*To % Matrice delle uscite SysO=ss(Ao,Bo,Co,0); % SysO = sistema in forma canonica di osservabilita roots(poly(ao)) % Autovalori della matrice Ao pause; clc % Premi un tasto %%%% La risposta al gradino e la stessa per i tre sistemi Sys, SysC e SysO figure(); clf % Apre una nuova figura [y,t]=step(sys); % Risposta al gradino del sistema originario plot(t,y, b, LineWidth,.5) % Visualizza la risposta al gradino in blu hold on; grid on % Sovrappone i grafici e aggiunge la griglia al grafico [y,t]=step(sysc); % Risposta al gradino del sistema in forma canonica di controllo plot(t,y, g--, LineWidth,2) % Visualizza la risposta al gradino in verde tratteggiato [y,t]=step(syso); % Risposta al gradino del sistema in forma canonica osservabilita plot(t,y, r:, LineWidth,2.5) % Visualizza la risposta al gradino in rosso a puntini H0=-C*inv(A)*B; % Guadagno statico G(0) del sistema SISO plot(t,0*t+h0, k-- ) % Visualizza i valori finali dell uscita y(t) xlim([0 t(end)]) % Allinea il grafico all asse dei tempi title( Risposta al gradino dei sistemi Sys, SysC e SysO ) % Titolo della figura xlabel( Tempo t [sec] ) % Asse dei tempi ylabel( y(t) ); echo off % Asse delle ordinate y(t) e disattiva l eco dei comandi

7 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.7 Funzione Sys, Calcola T alpha: function T_alpha = Calcola_T_alpha(A) n=size(a,); T_alpha=zeros(n,n); alpha=fliplr(poly(a)); for ii=:n T_alpha(ii,n+-ii)=; for jj=:n-ii T_alpha(ii,jj)=alpha(jj+ii); end end return % Dimensione della matrice A % Inizializzazione di T_alpha % Coefficienti alpha del polinomio caratteristico % Valore unitario sulla diagonale trasversa % Posizionamento dei coefficienti alpha_i Risposta al gradino dei sistemi Sys, SysC e SysO: 2.5 Risposta al gradino dei sistemi Sys, SysC e SysO 2.5 y(t) Tempo t [sec] Sistema Sys: A = B = poli = i i i i C =

8 Capitolo 2. FORME CANONICHE 2.8 Sistema SysO in forma canonica di controllo: Ac =.0e+03 * Bc = poli = Cc = i i i i e+03 * Sistema SysO in forma canonica di osservabilità: Ao = Bo = Co =.0e+03 * e+03 * poli = i i i i Funzione di trasferimento G(s) del sistema:.88 s^ s^ s^ s Gs = s^ s^ s^ s^ s + 27