Introduzione e strumenti

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1 Introduzione e strumenti Introduzione Analisi e simulazione in ambiente Matlab Introduzione all utilizzo di Simulink Simulazione in ambiente Simulink Politecnico di Torino 1

2 Introduzione (1/2) L utilizzo del linguaggio MATLAB permette di realizzare facilmente i principali passi necessari per l analisi ed il progetto di sistemi di controllo: Manipolazione di funzioni di trasferimento e calcolo delle loro principali caratteristiche (singolarità, guadagno, ecc.) Analisi del comportamento in frequenza di un sistema mediante il tracciamento di diagrammi di Bode, di Nyquist e di Nichols della sua fdt Simulazione della risposta di un sistema ad un ingresso assegnato Politecnico di Torino 2

3 Introduzione (2/2) L utilizzo del toolbox SIMULINK di Matlab facilita la simulazione di sistemi interconnessi, consentendo la loro rappresentazione direttamente per mezzo del corrispondente schema a blocchi L utilizzo congiunto di Matlab e Simulink permette di sviluppare interamente il progetto di un sistema di controllo, verificando agevolmente il soddisfacimento delle specifiche di progetto, nonché la valutazione delle prestazioni di interesse 5 Prerequisiti Nella trattazione verranno considerate già note le nozioni basilari del linguaggio Matlab (preparazione, salvataggio ed esecuzione di file, definizione di variabili, vettori e matrici, svolgimento delle principali operazioni matematiche, tracciamento di grafici) Alcuni comandi già introdotti ed utilizzati nel corso di Fondamenti di Automatica, relativi alla definizione e simulazione di sistemi dinamici, saranno ripresi in considerazione per essere utilizzati in caso di sistemi interconnessi Politecnico di Torino 3

4 Note Nella trattazione verrà utilizzata la versione 6.5 di Matlab, a cui è associata la versione 5 di Simulink Possono essere impiegate versioni successive di Matlab e Simulink, fatte salve eventuali piccole differenze nella sintassi di alcuni comandi e/o nella definizione di particolari blocchi in Simulink I principali comandi Matlab introdotti ed utilizzati durante il corso sono riassunti nel file pdf allegato, insieme alle loro modalità di impiego 7 Un esempio applicativo L utilizzo di Matlab e Simulink per l analisi e la simulazione di un sistema di controllo sarà illustrato nel caso di un servomotore in c.c. rappresentabile per mezzo dello schema a blocchi equivalente sviluppato nella Lezione Schema tecnologico di un sistema di controllo R s I a T c V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D Politecnico di Torino 4

5 Calcolo della fdt del motore Primo obiettivo: calcolo della fdt del motore (incluso anello di corrente) per T c = 0 V(s) Ω F(s) = V (s) r,ia R s I a T c V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D Politecnico di Torino 5

6 Calcolo della fdt del motore Primo obiettivo: calcolo della fdt del motore (incluso anello di corrente) per T c = 0 K C(s) Ia = s F(s) = V(s) Ω V (s) r,ia R s I a T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D 11 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (1/3) Si consiglia di porre all inizio di un nuovo file, aperto con l editor di Matlab, i comandi di pulizia dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestre grafiche eventualmente già aperte clear all close all Politecnico di Torino 6

7 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (1/3) Si consiglia di porre all inizio di un nuovo file, aperto con l editor di Matlab, i comandi di pulizia dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestre grafiche eventualmente già aperte clear all close all Questi comandi permettono di ripartire da zero ogni volta in cui il file viene eseguito 13 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (1/3) Si consiglia di porre all inizio di un nuovo file, aperto con l editor di Matlab, i comandi di pulizia dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestre grafiche eventualmente già aperte Si definisce la variabile complessa s per un agevole definizione delle fdt di sistemi o sottosistemi clear all close all s=tf( s ); Politecnico di Torino 7

8 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (1/3) Si consiglia di porre all inizio di un nuovo file, aperto con l editor di Matlab, i comandi di pulizia dello spazio di lavoro e di chiusura delle finestre grafiche eventualmente già aperte Si definisce la variabile complessa s per un agevole definizione delle fdt di sistemi o sottosistemi clear all close all s=tf( s ); Il comando tf permette di definire e/o di calcolare la fdt di un sistema LTI secondo diverse modalità 15 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (2/3) Si assegnano ai parametri del sistema i corrispettivi valori numerici (nelle appropriate unità di misura) e si definisce C Ia (s) clear all close all s=tf( s ); Ra=6; L=3.24e-3; Km=0.0535; J=20e-6; beta=14e-6; KD=0.0285; Kcond=0.67; Rs=7.525; A=2.925; K=1000; CIa=K/s; Politecnico di Torino 8

9 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (3/3) Si calcola la fdt fra V r,ia (s) e I a (s) (indicata come F r,ia (s)) con il comando feedback FrIa=feedback(CIa*A/(L*sRa),Rs); R s I a T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D 17 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (3/3) Si calcola la fdt fra V r,ia (s) e I a (s) (indicata come F r,ia (s)) con il comando feedback 1 argomento: fdt del ramo diretto FrIa=feedback(CIa*A/(L*sRa),Rs); R s I a T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D Politecnico di Torino 9

10 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (3/3) Si calcola la fdt fra V r,ia (s) e I a (s) (indicata come F r,ia (s)) con il comando feedback 2 argomento: fdt della retroazione FrIa=feedback(CIa*A/(L*sRa),Rs); R s I a T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D 19 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (3/3) Si calcola la fdt fra V r,ia (s) e I a (s) (indicata come F r,ia (s)) con il comando feedback La retroazione è assunta automaticamente negativa FrIa=feedback(CIa*A/(L*sRa),Rs); R s I a T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D Politecnico di Torino 10

11 Preparazione del file Matlab: 1 a parte (3/3) Si calcola la fdt fra V r,ia (s) e I a (s) (indicata come F r,ia (s)) con il comando feedback Si calcola la F(s) cercata (cascata di blocchi) R s I a Per visualizzare il risultato non si mette il ; FrIa=feedback(CIa*A/(L*sRa),Rs); F=FrIa*Km/(J*sbeta)*KD*Kcond T c =0 V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D 21 Fdt del motore e schema a blocchi risultante L esecuzione della prima parte del file Matlab così preparata dà come risultato: Transfer function: e-008 s^ s^ s Politecnico di Torino 11

12 Fdt del motore e schema a blocchi risultante L esecuzione della prima parte del file Matlab così preparata dà come risultato: Transfer function: e-008 s^ s^ s Per T c = 0 lo schema a blocchi diventa pertanto: r K r y des e u y C Ω (s) F(s) 23 Fdt del motore e schema a blocchi risultante L esecuzione della prima parte del file Matlab così preparata dà come risultato: Transfer function: e-008 s^ s^ s Per T c = 0 lo schema a blocchi diventa pertanto: r K r y des = V r,ω y des e u y C Ω (s) F(s) y = V Ω u = V r,ia Politecnico di Torino 12

13 Simulazione del sistema ad anello chiuso Secondo obiettivo: simulazione della risposta del sistema ad anello chiuso ad un riferimento a gradino unitario, per diversi controllori C Ω (s) r K r y des e u y C Ω (s) F(s) 25 Simulazione del sistema ad anello chiuso Secondo obiettivo: simulazione della risposta del sistema ad anello chiuso ad un riferimento a gradino unitario, per diversi controllori C Ω (s) K r = 1 r K r y des e u y C Ω (s) F(s) r = gradino unitario Politecnico di Torino 13

14 Simulazione del sistema ad anello chiuso Secondo obiettivo: simulazione della risposta del sistema ad anello chiuso ad un riferimento a gradino unitario, per diversi controllori C Ω (s) K r = 1 r K r y des e u y C Ω (s) F(s) r = gradino unitario Da progettare: ad esempio P (proporzionale) o PI (proporzionale-integrativo) 27 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (1/2) Si assegna a K r il valore 1 Kr=1; Politecnico di Torino 14

15 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (1/2) Si assegna a K r il valore 1 Si definisce la fdt del controllore: K p (proporzionale) Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; 29 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (1/2) Si assegna a K r il valore 1 Si definisce la fdt del controllore: K p (proporzionale) K p K i /s (proporzionaleintegrativa) Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; Politecnico di Torino 15

16 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (1/2) Si assegna a K r il valore 1 Si definisce la fdt del controllore: K p (proporzionale) K p K i /s (proporzionaleintegrativa) Si calcola la fdt ad anello chiuso nei due casi Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1); W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1); 31 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (2/2) Si applica il gradino unitario con il comando step Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1); W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1); step(w1,5) hold on step(w2,5) hold off Politecnico di Torino 16

17 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (2/2) Si applica il gradino unitario con il comando step Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1); W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1); step(w1,5) hold on step(w2,5) hold off 2 argomento: istante finale della simulazione a partire da t = 0 33 Preparazione del file Matlab: 2 a parte (2/2) Si applica il gradino unitario con il comando step Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; W1=Kr*feedback(C_omega1*F,1); W2=Kr*feedback(C_omega2*F,1); step(w1,5) hold on step(w2,5) hold off Tutti i grafici vengono riportati nella medesima finestra per un più agevole confronto Politecnico di Torino 17

18 Risultato della simulazione L esecuzione della seconda parte del file Matlab così preparata effettua la simulazione desiderata: Risposta al gradino unitario con C Ω (s) = K p K i /s Risposta al gradino unitario con C Ω (s) = K p 35 Analisi della risposta del sistema (1/3) Valutazione del valore della risposta in regime permanente e calcolo dell errore di inseguimento finale e = 0 e = Politecnico di Torino 18

19 Analisi della risposta del sistema (2/3) Valutazione della sovraelongazione massima e del tempo di assestamento ŝ t a (calcolato al 2%) 37 Analisi della risposta del sistema (3/3) Valutazione del tempo di salita (secondo le definizioni date per t r e t s ) t s t r Politecnico di Torino 19

20 Poli del sistema ad anello chiuso (1/2) Il diverso comportamento del sistema ad anello chiuso con i due controllori adottati può essere giustificato calcolando il valore dei poli della funzione W(s) nei due casi: damp(w1) damp(w2) Il comando damp determina i poli della fdt nella forma parte reale parte immaginaria e ne fornisce anche pulsazione naturale e fattore di smorzamento 39 Poli del sistema ad anello chiuso (2/2) damp(w1) damp(w2) Eigenvalue -3.42e e e003i -9.25e e003i Damping 1.00e e e-001 Freq. (rad/s) 3.42e e e Politecnico di Torino 20

21 Poli del sistema ad anello chiuso (2/2) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -3.42e e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e003 damp(w1) damp(w2) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.71e e000i 4.63e e e e000i 4.63e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e Riconoscimentodeipolidominanti Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -3.42e e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e003 Poli dominanti Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.71e e000i 4.63e e e e000i 4.63e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e Politecnico di Torino 21

22 Riconoscimentodeipolidominanti W 1 (s) ha un polo dominante reale Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -3.42e e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e003 Poli dominanti Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.71e e000i 4.63e e e e000i 4.63e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e Riconoscimentodeipolidominanti W 1 (s) ha un polo dominante reale Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -3.42e e e e e003i 3.55e e e e003i 3.55e e003 Poli dominanti Eigenvalue Damping ζ = Freq. (rad/s) W 2 (s) ha una coppia di poli dominanti complessi coniugati -1.71e e000i -1.71e e000i -9.25e e003i -9.25e e003i 4.63e e e e e e e e Politecnico di Torino 22

23 Il toolbox Simulink (1/2) Il toolbox SIMULINK permette di rappresentare il sistema direttamente per mezzo del corrispondente schema a blocchi e di simularne il comportamento Politecnico di Torino 23

24 Il toolbox Simulink (2/2) In particolare è possibile: Assegnare agevolmente differenti segnali di riferimento Considerare la contemporanea presenza di disturbi lungo l anello Visualizzare direttamente l andamento di più variabili di interesse (ad es. l uscita, l errore di inseguimento, il comando) Salvare in un file il risultato della simulazione e/o renderlo disponibile nello spazio di lavoro di Matlab 47 Apertura di Simulink (1/2) Per aprire Simulink, è sufficiente digitare la parola simulink nella finestra di comando di Matlab oppure cliccare sulla corrispondente icona Politecnico di Torino 24

25 Apertura di Simulink (2/2) Dalla finestra del Simulink Library Browser è possibile: Creare un nuovo modello o aprirne uno già esistente (file.mdl) dal menu File Individuare gli elementi di interesse nella libreria principale di Simulink o fra i toolbox disponibili Modificare alcune proprietà generali (ad esempio le caratteristiche dei font utilizzati) 49 Creazione di un modello Simulink (1/4) Per inserire un blocco nel modello (o più in generale qualunque elemento disponibile nelle librerie), è sufficiente selezionarlo e trascinarlo nella finestra del modello, mantenendo premuto il tasto sinistro del mouse Politecnico di Torino 25

26 Creazione di un modello Simulink (2/4) Per collegare due blocchi mediante un ramo, è sufficiente cliccare sul morsetto di uscita del primo e trascinare il cursore (tenendo premuto il tasto sinistro del mouse) fino a raggiungere l ingresso del secondo oppure selezionare i due blocchi (nella sequenza desiderata) tenendo premuto il tasto CTRL 51 Creazione di un modello Simulink (2/4) Per collegare due blocchi mediante un ramo, è sufficiente cliccare sul morsetto di uscita del primo e trascinare il cursore (tenendo premuto il tasto sinistro del mouse) fino a raggiungere l ingresso del secondo oppure selezionare i due blocchi (nella sequenza desiderata) tenendo premuto il tasto CTRL Politecnico di Torino 26

27 Creazione di un modello Simulink (3/4) È possibile modificare i parametri di un blocco facendo un doppio click sul blocco stesso: si apre in questo modo una finestra di interfaccia, contenente appositi campi per l assegnazione dei parametri del blocco modificabili dall utente 53 Creazione di un modello Simulink (3/4) È possibile modificare i parametri di un blocco facendo un doppio click sul blocco stesso: si apre in questo modo una finestra di interfaccia, contenente appositi campi per l assegnazione dei parametri del blocco modificabili dall utente Per rinominare un blocco è sufficiente cliccare sul nome assegnato automaticamente e modificarlo secondo quanto desiderato Politecnico di Torino 27

28 Creazione di un modello Simulink (4/4) Premendo il tasto destro del mouse in corrispondenza di un blocco selezionato, si apre un menu a tendina che consente di agire su tutte le caratteristiche del blocco, sia di contenuto (parametri) sia grafiche (font, rotazioni del blocco, colori, ecc.) 55 Blocchi ed elementi principali (1/9) Nella cartella Continuous sono disponibili i principali blocchi associati alla rappresentazione di sistemi dinamici a tempo continuo, mentre nella cartella Discrete si possono trovare quelli associati alla rappresentazione di sistemi dinamici a tempo discreto Politecnico di Torino 28

29 Blocchi ed elementi principali (2/9) È possibile definire direttamente un sistema Lineare Tempo-Invariante, sia a tempo continuo sia a tempo discreto, secondo tutte le modalità ammesse dal Control System Toolbox (fdt o rappresentazione in variabili di stato) usando il blocco LTI System disponibile nella libreria di tale toolbox 57 Blocchi ed elementi principali (3/9) La definizione della fdt viene automaticamente proposta per mezzo del comando tf Politecnico di Torino 29

30 Blocchi ed elementi principali (3/9) Se il sistema è già stato definito nello spazio di lavoro di MATLAB, è sufficiente associare al blocco la sua fdt già calcolata 59 Blocchi ed elementi principali (4/9) Nella cartella Math Operations si trovano tutti gli elementi che realizzano le operazioni matematiche, tra cui i blocchi Gain (guadagno) e Sum (sommatore) Politecnico di Torino 30

31 Blocchi ed elementi principali (5/9) Nella cartella Sources si trovano i blocchi che permettono di applicare un segnale generato a piacere, tra cui Step, Ramp, Sine Wave e Signal generator, oppure salvato in un file.mat o predefinito nello spazio di lavoro di MATLAB 61 Blocchi ed elementi principali (6/9) Nella cartella Signal Routing si trovano blocchi utili per la gestione dei segnali, tra cui Mux e Demux (per le funzioni di multiplexer e demultiplexer) e gli interruttori manuale ( Manual Switch ) ed automatico ( Switch ) Politecnico di Torino 31

32 Blocchi ed elementi principali (7/9) Nella cartella Sinks sono disponibili i blocchi per visualizzare immediatamente una variabile ( Scope ), per renderla disponibile nello spazio di lavoro di Matlab ( To Workspace ) o per salvarla in un file.mat ( To File ) 63 Blocchi ed elementi principali (8/9) È possibile raggruppare una parte di un sistema complesso in un unico blocco di sottosistema ( Subsystem ), mantenendo inalterati i suoi collegamenti per mezzo di porte di ingresso e di uscita ( In e Out ), utilizzando gli elementi disponibili nella cartella Ports & Subsystems Politecnico di Torino 32

33 Blocchi ed elementi principali (9/9) Con un doppio click sul blocco di sottosistema, si apre la finestra in cui dovrà essere costruito il suo modello. È possibile inserire ulteriori ingressi e/o uscite aggiungendo ulteriori elementi di In e Out 65 Esecuzione della simulazione (1/2) I parametri di simulazione (istante iniziale ed istante finale, algoritmo di integrazione numerica, passo di integrazione e tolleranze sull errore) possono essere modificati selezionando Simulation parameters dal menu Simulation Politecnico di Torino 33

34 Esecuzione della simulazione (2/2) Per eseguire la simulazione, è sufficiente selezionare Start dal menu Simulation (oppure utilizzare il tasto rapido di Start simulation sulla barra degli strumenti) Politecnico di Torino 34

35 Applicazione ad un servomotore in c.c. (1/3) Il modello del servomotore in c.c. (rappresentato dal suo schema a blocchi equivalente) può essere facilmente realizzato in Simulink, dopo aver definito nello spazio di lavoro in Matlab tutti i parametri e le fdt che in esso compaiono R s I a T c V r,ω C Ω (s) V r,ia C Ia (s) V c A V a 1 Ls R a I a K m T m 1 Jsβ Ω V Ω V D K cond K D 69 Applicazione ad un servomotore in c.c. (2/3) Il modello del servomotore in c.c. (rappresentato dal suo schema a blocchi equivalente) può essere facilmente realizzato in Simulink, dopo aver definito nello spazio di lavoro in Matlab tutti i parametri e le fdt che in esso compaiono A tale scopo è sufficiente eseguire la prima parte del file Matlab prima creato, completata dalla definizione della fdt dei controllori che si vogliono applicare (ad esempio i controllori P e PI precedentemente considerati) Politecnico di Torino 35

36 Applicazione ad un servomotore in c.c. (3/3) Per simulare il comportamento del sistema controllato non sarà necessario calcolare preventivamente la fdt del servomotore F(s), così come sarà possibile includere anche la contemporanea presenza di una coppia di disturbo Tc 71 File Matlab di definizione del modello Dopo l esecuzione del file, i parametri e le fdt presenti nello spazio di lavoro saranno automaticamente riconosciuti dai blocchi Simulink che li contengono ed a ciascuno di essi sarà associata la rispettiva espressione definita in Matlab Prima parte del file: definizione dei parametri del servomotore clear all close all s=tf( s ); Ra=6; L=3.24e-3; Km=0.0535; J=20e-6; beta=14e-6; KD=0.0285; Kcond=0.67; Rs=7.525; A=2.925; K=1000; CIa=K/s; Politecnico di Torino 36

37 File Matlab di definizione del modello Dopo l esecuzione del file, i parametri e le fdt presenti nello spazio di lavoro saranno automaticamente riconosciuti dai blocchi Simulink che li contengono ed a ciascuno di essi sarà associata la rispettiva espressione definita in Matlab Kr=1; Kp=0.4; C_omega1=Kp; Ki=2; C_omega2=KpKi/s; Seconda parte del file: definizione dei controllori P e PI 73 Modello Simulink del servomotore (1/7) Politecnico di Torino 37

38 Modello Simulink del servomotore (1/7) Blocco Step da Sources 75 Modello Simulink del servomotore (1/7) Blocco Step da Sources Politecnico di Torino 38

39 Modello Simulink del servomotore (2/7) Blocchi Gain e Sum da Math Operations 77 Modello Simulink del servomotore (3/7) Blocco LTI System da Control System Toolbox Politecnico di Torino 39

40 Modello Simulink del servomotore (4/7) Blocco Constant da Sources 79 Modello Simulink del servomotore (4/7) Blocco Constant da Sources Il disturbo è imposto nullo come nella simulazione in Matlab Politecnico di Torino 40

41 Modello Simulink del servomotore (5/7) Subsystem (da Ports & Subsystems) 81 Modello Simulink del servomotore (5/7) Subsystem (da Ports & Subsystems) Blocco In aggiuntivo rispetto agli In e Out preesistenti Politecnico di Torino 41

42 Modello Simulink del servomotore (6/7) Blocco Mux da Signal Routing 83 Modello Simulink del servomotore (7/7) Blocchi Scope e To File da Sinks Politecnico di Torino 42

43 Simulazione 1: controllore P, T c = 0 (1/3) Parametri di simulazione 85 Simulazione 1: controllore P, T c = 0 (2/3) Risultato visibile sull oscilloscopio Conferma del risultato ottenuto con Matlab: elevato errore finale Politecnico di Torino 43

44 Simulazione 1: controllore P, T c = 0 (3/3) Creazione del file simul.mat contenente la variabile simulazione La variabile simulazione generata ha tre righe: 1) campioni del tempo 2) campioni dell uscita 3) campioni del riferimento 87 Simulazione 2: controllore P, T c = Risultato visibile sull oscilloscopio Si riscontra una significativa variazione dell errore finale Politecnico di Torino 44

45 Simulazione 3: controllore PI, T c = 0 Risultato visibile sull oscilloscopio Conferma del risultato ottenuto con Matlab: presenza di significativa sovraelongazione, errore finale nullo 89 Simulazione 4: controllore PI, T c = Risultato visibile sull oscilloscopio Si riscontra un elevato aumento della sovraelongazione, mentre l errore finale rimane nullo Politecnico di Torino 45