Anno accademico 1992/93

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1 Prove scritte di matematica e fisica per l ammissione al I anno al I anno dei corsi di Laurea in Chimica, Scienze Geologiche, Scienze Biologiche, Scienze Naturali Anno accademico 1992/93 1. Dato un triangolo ABC tale che le lunghezze AB, BC e CA dei tre lati siano razionali, si dimostri che l altezza dal vertice B incontra la retta su cui giace il lato AC in un punto D per il quale DA e DC sono razionali. Si dia un esempio di un triangolo ABC, con i lati aventi lunghezze razionali, ma per il quale BD non sia razionale. Si provi che, se l angolo in B è retto, anche BD è razionale. 2. Dimostrare che la somma n 2 è minore di 2, qualunque sia l intero positivo n. 3. Siano dati nel piano una retta r e due punti A e B non appartenenti ad r ma ambedue contenuti in uno dei due semipiani determinati da r, e tali infine che la retta AB non sia parallela ad r. Determinare il punto P su di r rale che AP 2 + BP 2 sia minimo, e spiegare perché.

2 4. Si dimostri che, se x e y sono due interi tali che 4x + 5y sia un multiplo intero di 13, anche 6x + y è multiplo intero di Nell angolo inferiore sinistro di un foglio di carta è disegnato un rettangolo, due lati adiacenti del quale coprono due tratti dei bordi del foglio. Si rimuova un triangolo, contenente il rettangolo, con un solo taglio rettilineo. Si dimostri che l area del triangolo asportato è uguale ad almeno il doppio di quella del rettangolo, e si indichi come deve essere fatto il taglio affinché l area del triangolo sia uguale al doppio di quella del rettangolo. 6. Cinque amici vogliono visitare una mostra che si tiene a Firenze nel mese di Agosto. Per conto proprio, ognuno si propone di effettuare la visita in una certa data. Qual è la probabilità che vengano scelti cinque giorni diversi? E cinque giorni consecutivi? Anno accademico 1993/94 1. Dato un quadrato di lato 1 ed assegnati cinque punti distinti P 1, P 2, P 3, P 4 e P 5 interni al quadrato (e non appartenenti al bordo), si provi che almeno due dei cinque punti 1 distano l uno dall altro meno di. 2 Si dimostri, inoltre, che 1 2 è la migliore costante possibile, provando che, dato ad arbitrio un numero a, con 0 < a < 1 2, esistono cinque punti P 1, P 2, P 3, P 4 e P 5 interni al quadrato tali che due qualunque di essi distano fra loro più di a.

3 2. Siano L 1 e L 2 le lunghezze dei perimetri di due triangoli equilateri, rispettivamente iscritto e circoscitto ad una circonferenza di lunghezza L. Siano A 1, A 2 e A le aree dei due triangoli e del cerchio racchiuso dalla circonferenza. Mostrare che L 1 L 2 > L 2, A 1 A 2 < A Dato un intero n 3, si considerino i primi 3 n numeri interi non negativi, e, per ciascuno di essi, si indichi con (a 1 a 2 a n ) la rappresentazione in base 3: a n 3 n a a 1 ove a j è intero con 0 a j 2 per j = 1,...,n. i) Trovare quanti sono i numeri suddetti per i quali a 1 + a 2 + a n = 3, ii) e quanti di questi ultimi sono divisibili per Dimostrare che, se un numero primo p è rappresentato dalla formula p = 2 n + 1, con n positivo, allora n è una potenza di Si identifichi la terra con una sfera di raggio R, e sia O il punto intersezione dell equatore con il meridiano di longitudine zero. Sia A un punto dell emisfero Nord avente longitudine α e latitudine β. Calcolare la lunghezza del cammino più breve che, sulla superficie terrestre, congiunge A con O. 6. Siano a, b e λ dei parametri reali, con λ > 0.

4 Mostrare che, se λ 16, risulta λ(2 a+b 4 2 2a ) 2 2b per tutti gli a e b. Mostrare inoltre che, se λ > 16, l affermazione precedente è falsa. Anno accademico 1994/95 1. Dimostrare che, se a e b sono due numeri reali non negativi, vale la diseguaglianza 3ab 2 a 3 + 2b Pierino vuole fare una collezione di dinosauri. La collezione è formata da 5 esemplari diversi e la mamma gli compra 7 scatole contenenti un dinosauro ciascuna e tutti i dinosauri possono comparire con la stessa probabilità. Qual è la probabilità che Pierino riesca a terminare la sua collezione con queste 7 scatole? 3. Scelti 7 numeri distinti fra 1,2,...,9, dimostrare che ne esistono sempre 3 la cui somma è 15. Si mostri inoltre che la stessa tesi sarebbe falsa se scegliessimo 6 numeri anziché Data la funzione y = (x + 1) 4 dimostrare che esistono delle parabole y = ax 2 +bx+c che intersecano il grafico della funzione in 4 punti distinti.

5 Si può verificare il caso che la somma delle ascisse dei quattro punti di intersezione sia 0? 5. Sia T un triangolo equilatero di vertici A, B e C avente area unitaria, siano P, Q ed R tre punti rispettivamente sui lati AB, BC e CA che dividono i lati stessi in parti una doppia dell altra e precisamente: 2AP = PB, 2BQ = QC, 2CR = RA. Determinare le 7 aree che risultano delimitate dai segmenti AQ, BR e CP e dai lati del triangolo. C R Q A 1 2 P B Cosa succede nel caso di un triangolo qualunque di area unitaria? 6. Siano a e b due numeri naturali tali che il loro massimo comun divisore sia 8. Quali sono i valori possibili del massimo comun divisore fra a 3 e b 4. Anno accademico 1995/96

6 1. Determinare il più grande intero k > 1 tale che risulti ak b k k 9 10 per ogni coppia a, b di numeri reali positivi. 2. Dimostrare che se ae ax + be bx + ce cx = 0 per ogni numero reale x, allora a = b = c = Da un triangolo di area 1 si cancelli il triangolo ottenuto congiungendo i 3 punti medi, ottenendo così una figura formata da tre triangoli. Su ciascuno di questi si ripeta l operazione. Dopo aver iterato 10 volte questo procedimento, si dia una valutazione dell area della figura ottenuta. 4. Siano C 1 e C 2 due circonferenze di centri e raggi rispettivamente O 1, O 2 ed r 1, r 2. Dato un punto P esterno alle due circonferenze, si considerino le tangenti per P alle due circonferenze e siano M 1, N 1 ed M 2, N 2 i rispettivi punti di contatto. Determinare il luogo dei punti P tali che PM 1 2 +PM2 2 = 1. Si discutano i punti P per cui PM PM2 2 è minima. 5. Dato il rettangolo ABCD, siano a = AB, b = BC. Sia P un punto del rettangolo tale che AP 2 + PB 2 = a 2. Si determinino PC e PD. 6. Data l equazione x p + x 1 = 0, p 2 intero, provare che essa ha una sola soluzione compresa tra 0 ed 1. Detta z(p) tale soluzione, si dimostri che z(p) è funzione strettamente crescente di p. Anno accademico 1996/97 (Scienze Biologiche e Naturali)

7 1. Sia a > 0. Determinare il più grande numero reale p tale che, per ogni x reale, risulti x 2 + p a x + e a Una coltura batterica di laboratorio, che può contenere al massimo M individui, è costituita, in un certo giorno iniziale zero, da b 0 individui, con 0 < b 0 < M. La popolazione batterica cresce secondo la legge b n = b n 1 + k(m b n 1 ), 0 < k < 1, dove b n indica il numero di batteri presenti nel giorno n e k è un fattore di proporzionalità. Allo scadere di ogni giorno, inoltre, viene prelevata dalla coltura una quantità fissa p di batteri (per esigenze di laboratorio). Determinare per quali valori di p la popolazione si estingue. Cosa accade nel caso di non estinzione? 3. In un piano sono dati una retta r, un punto A su r e un punto B fuori da r. Si supponga che il punto A si muova con velocità 2v su r e con velocità v fuori da r. Determinare il percorso che permette ad A di raggiungere B nel minor tempo possibile. 4. Dato un quadrato di lato a, trovare il luogo dei punti P sulla diagonale tale che sia massima la quantità PH PK essendo H e K le proiezioni di P sui lati. 5. Sia P un poliedro e siano F il numero delle facce, S il numero degli spigoli e V il numero dei vertici di P. Si

8 assuma che per P valga la Formula di Eulero F S +V = 2. Provare che P ha qualche faccia con meno di 6 lati. 6. Sia f una funzione definita sui numeri reali, a valori reali, derivabile 2 volte e tale che f (0) = f (0) = f (0) = 1. Provare che se per ogni x risulta a f (x) + b f (2x) + c f (3x) = 0, allora necessariamente risulta a = b = c = 0.

9 Anno accademico 1996/97 (Chimica e Scienze Geologiche) 1. Una coltura batterica di laboratorio, che può contenere al massimo M individui, è costituita in un certo giorno iniziale zero da b 0 individui, con 0 < b 0 < M. La popolazione batterica cresce secondo la legge b n = b n 1 + k(m b n 1 ), 0 < k < 1, dove b n indica il numero di batteri presenti nel giorno n e k è un fattore di proporzionalità. Allo scadere di ogni giorno, inoltre, viene prelevata dalla coltura una quantità fissa p di batteri (per esigenze di laboratorio). Determinare per quali valori di p la popolazione si estingue. Cosa accade nel caso di non estinzione? 2. In un piano sono dati una retta r, un punto A su r e un punto B fuori da r. Si supponga che il punto A si muova con velocità 2v su r e con velocità v fuori da r. Determinare il percorso che permette ad A di raggiungere B nel minor tempo possibile. 3. Dato un quadrilatero convesso Q nel piano euclideo, determinare il punto interno a Q per il quale è minima la somma delle distanze dai vertici. 4. Sia P un poliedro e siano F il numero delle facce, S il numero degli spigoli e V il numero dei vertici di P. Si assuma che per P valga la Formula di Eulero F S +V = 2. Provare che P ha qualche faccia con meno di 6 lati. 5. Sia f (t) una funzione iniettiva definita sui numeri reali positivi. Dati x > 0 ed y > 0, chiamiamo f -Media di x ed

10 y l unico numero z tale che f (z) = f (x) + f (y) 2 Mostrare che la media geometrica x y e quella armonica sono delle f -Medie. 2xy (x+y) 6. Sia f una funzione definita sui numeri reali, a valori reali, derivabile 2 volte e tale che f (0) = f (0) = f (0) = 1. Provare che se per ogni x risulta a f (x) + b f (2x) + c f (3x) = 0, allora necessariamente risulta a = b = c = 0. Anno accademico 1996/97 (Prova di fisica per Scienze Biologiche) Dissertazione. L entropia, il secondo principio della termodinamica e le sue conseguenze con particolare attenzione ai processi biologici. 1. Una palla da biliardo di diametro d viene lanciata con velocità V contro altre due palle, identiche alla prima, ferme, poste con i centri a distanza d + a (con d > a) l una dall altra. La palla incidente è diretta perpendicolarmente alla congiungente dei centri e simmetricamente rispetto alle palle ferme. a) Supponendo che gli urti siano completamente elastici e trascurando i moti di rotazione, determinare il moto delle tre palle da biliardo dopo l urto nel caso a = 0..

11 b) Determinare il valore di a per cui la palla incidente rimane ferma dopo l urto. c) Nel caso più realistico in cui gli urti con le due palle bersaglio non avvengano esattamente nello stesso istante, descrivere se e come cambiano le velocità e direzioni finali rispetto alla situazione descritta al punto (a). Esiste un caso in cui il risultato è lo stesso che in (a)? 2. Si vuole ridurre la riflessione della luce da una superficie di vetro, sovrapponendo un sottile strato di MgF 2. Quale deve essere lo spessore x di tale strato per avere riflessione minima nel caso di luce monocromatica di frequenza ν avente incidenza normale alla superficie? Si calcoli esplicitamente x nel caso ν = Hertz. (Gli indici di rifrazione sono: n 0 = 1 per l aria, n = 1,6 per il vetro, n = 1,38 per il MgF 2.)