Componente del momento angolare parallela e perpendicolare a ω

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1 Componente del momento angolare parallela e perpendicolare a ω L = r m r r m r = 2m r r = 2mr 2m i r r ( ω ) ( ω ) ( ω ) 2 ω ( ω ) L r ω L ω L = 2m( ωir ) r m ( ωir ) r i i i i r r Scomponendo r nelle due componenti parallela e perpendicolare a ω: r = r + r 2 L = 2mr ω 2m( ωir ) r 2m( ωir ) r ω 2mr 2 ωωˆ 2mωr 2 ˆ ω = 2mR 2 ω = L ω ω 2 mr ω i i i ω

2 Moti giroscopici z y CM z ω p Ω L Iω 0 y dl = ωp L dt x ω p mgd k Iω 0 Ω mg dl M = = ΩG mg = 0 mgd 0 dt x (,, ) L asse del giroscopio ruota nel piano orizzontale con velocità ω p detta velocità angolare di precessione

3 y y x L L = M t L L θ x L asse del giroscopio ruota nel piano orizzontale con velocità ω p detta velocità angolare di precessione ω p θ M mgd = = = t L Iω 0

4 La trottola τ = mgbi senφ è diretto lungo +X perpendicolare al piano formato dalla verticale e dall'asse del giroscopio 0 La componente L z si conserva La componente L ꓕ = Lsenφruota con velocità angolare ω p mgbi senφ ω = = p L sinφ mgb L

5 La precessione degli equinozi

6 Conservazione del momento della quantità di moto lungo z z L P y x L P componente del momento della quantità di moto diretta lungo l asse z dovuta al moto di precessione L z deve restare nullo, perché il momento delle forze esterne non ha componente lungo z L asse del giroscopio si inclina verso il basso per conservare il valore di L z = 0 α L P Iω senα = L 0 p

7 Conservazione del momento della quantità di moto lungo z: la nutazione z y L P α L P x Il momento della forza peso diminuisce τ = mgb cosα Il momento della quantità di moto è sempre L 0 orizzontale dl ' ' mgbcosα mgbcosα = Lωp = mgbcosα ωp = = < ωp dt L Iω La velocità angolare di precessione diminuisce L p diminuisce l angolo α diminuisce: il giroscopio risale 0

8 Nutazione di una trottola

9 Nutazione: precessione dell asse del giroscopio intorno a L L Ω x 3 x 1 θ ω 0 x 1, x 2 e x 3 sono i tre assi principali d inerzia; In un giroscopio I 1 = I 2 Per la simmetria degli assi 1 e 2 posso sempre scegliere x 1 nel piano formato da L e x 3 L = 0 e Ω = Ωè nel piano formato da L, x 1 e x 3

10 Nutazione: precessione dell asse del giroscopio intorno a L ΩènelpianoformatodaLex 3 ; Essendo Ωla velocità angolare, i punti dell asse x 3 hanno una velocità perpendicolare al piano formato da L e x 3, su cui giace anche Ω; Questa situazione si ripete nel tempo, con L che è sempre costante e Ωche varia, così come anche x 3 l asse del giroscopio ruota (precede) intorno a L, con velocità angolare Ω p x 1 L Ω p θ Ω ω 0 x 3

11 Bussola giroscopica

12 D A C B L asse AB di un giroscopio è montato in una struttura che può ruotare attorno all asse CD. Questa struttura è a sua volta montata tramite due supporti sulla una piattaforma della figura che può a sua volta ruotare attorno al suo asse di simmetria. Inizialmente la piattaforma è ferma e il giroscopio AB ruota come indicato dalla freccia disegnata attorno all asse AB. Applicando un momento meccanico verticale, la piattaforma accelera e comincia a ruotare nella direzione della freccia disegnata sulla piattaforma stessa. Come cambierà la direzione dell asse di rotazione AB del giroscopio nello spazio?

13 La velocità angolare del giroscopio è diretta verso destra, guardando la figura. Il momento angolare L è diretto come ω 0, in quanto AB è un asse principale del giroscopio. La rotazione della piattaforma applica un momento meccanico τ alla struttura, diretto perpendicolarmente alla velocità angolare del giroscopio. Questo momento meccanico determina la rotazione di L e quindi dell asse AB intorno all asse CD in verso antiorario con velocità angolare ω L asse del giroscopio ruota in modo da rendere la velocità angolare parallela alla direzione del momento meccanico esterno applicato alla piattaforma. A C Quindi l asse del giroscopio ruota fino a coincidere con l asse di rotazione della piattaforma D B τ ω ' ω 0 L

14 D D A B C C L asse del giroscopio ruota fino a coincidere con l asse di rotazione della piattaforma Questo principio è usato nella bussola giroscopica, dove la piattaforma ruotante è la terra. Il giroscopio segnala la direzione dell asse di rotazione della terra, e quindi il NORD assoluto nello spazio.

15 Bussola giroscopica La girobussola è essenzialmente un giroscopio, ovvero una ruota rotante, che per effetto della rotazione tende a mantenere il proprio asse sempre con la stessa orientazione. La ruota è mantenuta in rotazione da un motore elettrico o da un motore ad aria compressa. Poiché la Terra ruota, un osservatore sulla superficie terrestre osserva che l'asse del giroscopio compie una rotazione ogni 24 ore, puntando sempre nella stessa direzione rispetto alle stelle fisse. Poiché il funzionamento della girobussola è legato alla lenta rotazione terrestre, se il mezzo su cui è montata cambia direzione troppo rapidamente, specialmente in senso est-ovest, il funzionamento ne è perturbato. Per questo motivo il tipo di giroscopio descritto è usato prevalentemente sulle navi. Sugli aerei sono installati sistemi in grado di posizionarsi più rapidamente (per esempio sono usate bussole magnetiche per correggere continuamente la girobussola).