con il numero di quadratini che hai

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1 Le terne pitagoriche Il contesto Le connessioni tra Aritmetica e Geometria. Descrizione dell attività Si introducono le terne pitagoriche facendo vedere che si possono ottenere indipendentemente dall applicazione del teorema di Pitagora, grazie, per esempio, al metodo dello gnomone. Si prosegue con i metodi (uno attribuito a Platone e l altro a Pitagora) e le formule per la generazione di tali terne. Le prime due fasi dell attività sono molto semplici. Le successive presentano un supporto teorico maggiormente impegnativo e sono quindi da proporre a studenti già abituati a dimostrazioni rigorose. Fase 1 Si inizia con una proposta di lavoro che richiede una continua interazione tra l insegnante e gli studenti. Proposta di lavoro Dato un quadrato di lato a = cerca di ottenere un nuovo quadrato di lato a + 1 aggiungendo, opportunamente, alla seguente figura, quadratini di lato 1 (quanti ne ritieni necessari e disposti come meglio credi) Fig.1 Fig. Il nuovo quadrato ha lato 5 e hai aggiunto quadratini. L uguaglianza numerica che hai ottenuto è = 5. Scrivi la formula che lega il quadrato di lato a [a ] aggiunto[a + 1] e il quadrato di lato a + 1 [(a + 1) ]: con il numero di quadratini che hai a + = Fai adesso una sostituzione ponendo a + 1 = n (a + 1 è un quadrato come hai notato) e ricava da qui a. Devi ottenere la formula: n 1 + n = n 1 + 1

2 L uguaglianza numerica = 5 la puoi anche scrivere + 3 = 5, ti viene in mente un noto teorema di geometria che è strettamente legato ad essa? L insegnante prosegue facendo utilizzare la formula ottenuta ( per altri valori di n) per ricavare altre terne pitagoriche e facendo vedere la costruzione di un triangolo rettangolo con una cordicella con un opportuno numero di nodi alla medesima distanza. Fig.3 Quello illustrato è il caso più antico di terne pitagoriche relativo al triangolo rettangolo di cateti a = 3, b = e ipotenusa c = 5. Ma sembrerebbe che altri casi noti fossero quelli relativi ai triangoli rettangoli con Fase a = 5, b = 1, c = 13 a = 8, b = 15 c = 17. È possibile ora ribaltare il punto di partenza e prendere in considerazione, questa volta, opportune misure dei lati di un triangolo rettangolo per ottenere altre terne pitagoriche. Proco, nel suo commento alla proposizione 7 (Th. di Pitagora) del Libro I degli ELEMENTi di Euclide cita due metodi antichi di generazione di tali terne: «uno è attribuito a Platone, un altro a Pitagora». 1) Il metodo pitagorico parte dai numeri dispari; pone il dispari dato (b) come cateto minore e pone l'altro cateto uguale a: b 1 Posto: b = n + 1 (n Ν), allora l'altro cateto è Fig., e l'ipotenusa uguale a: b 1 +1 = b +1.

3 e l'ipotenusa è uguale a: n + n n + n = n + n, = n + n + 1. E' facile verificare che per n = 1,, 3 si trovano le tre terne seguenti: (3,, 5) (5, 1, 13) (7,, 5). Come si vede, la soluzione attribuita ai pitagorici ha la proprietà che l'ipotenusa supera sempre di 1 il cateto maggiore. ) Il platonico parte dai numeri pari; fissato il numero pari (b) quale uno dei cateti, Fig. 5 b l'altro cateto è dato da: 1 = b, e l'ipotenusa da: Posto ancora: b = n (n Ν), allora l'altro cateto è uguale a: e l'ipotenusa è uguale a: Così, se n =, 3, otteniamo le terne n n + = n 1 = n + 1. {, 3, 5}, {6, 8, 10}, {8, 15, 17}. b +1 = b + La prima terna coincide con la prima terna del caso dispari e la seconda è una terna derivata da essa, moltiplicando ogni elemento per. A parte questo primo caso, le terne platoniche sono diverse da quelle dei pitagorici..

4 Fase 3 Si può osservare che, se si conosce una qualsiasi soluzione razionale (a 1, b 1, c 1 ) dell'equazione: a a + b = c 1 b, riducendo i tre numeri allo stesso denominatore (a = m, b = 1 c m, c = 1 ), avremmo m anche la soluzione intera (a, b, c) dal momento che: a 1 + b 1 = c 1. Si osservi ancora che in vista della soluzione generale, sarà sufficiente trovare le soluzioni primitive, cioè le terne i cui componenti sono privi di fattori comuni. È necessario dare prima i due Lemmi seguenti. Lemma 1: Il quadrato di un numero o è divisibile per ovvero dà resto 1 quando è diviso per. La dimostrazione è semplice e si può anche lasciare agli studenti (infatti: ogni intero positivo è pari (k) oppure è dispari (k+1); il suo quadrato sarà dunque del tipo k oppure del tipo k + k + 1). Lemma : Se (a, b, c) è una terna pitagorica primitiva, allora (1) a e b, b e c, a e c sono primi tra loro () a e b sono di parità diversa. (La dimostrazione sarà data dall insegnante, o omessa se si ritiene opportuno) Infatti, se per es. a e b avessero un divisore primo comune d, questi dividerebbe necessariamente anche i loro quadrati e dunque anche la loro somma, cioè dividerebbe anche c = a + b. Di conseguenza, la terna (a, b, c) non sarebbe più primitiva. Analogamente si dimostra che anche b e c, e a e c devono essere primi fra loro. Così l'affermazione (1) è provata. Da essa consegue che a e b non possono essere entrambi pari (in tal caso avrebbero come fattore comune). Per dimostrare l'affermazione (), basterà provare che a e b non possono essere entrambi dispari. Si supponga infatti per assurdo che sia: a = k + 1 e b = h + 1. Allora a + b = (k + h + k + h) + ; cioè questa somma è pari, ma non divisibile per. Mentre nell'ipotesi in cui ci siamo messi, questa somma dovrebbe esserlo, dal momento che è un numero pari. Dunque a e b devono essere di parità diversa. Si può ora proporre la dimostrare del seguente teorema: Teorema 1: Condizione necessaria sufficiente affinché la terna (a, b, c) sia primitiva è che a = mn, b = m n, c = m + n, con m, n interi positivi non nulli, primi tra loro, di parità differente e tali che m > n. (In queste condizioni, a è pari, b e c sono dispari). Dimostrazione della C.N.: Sia (a, b, c) una terna pitagorica primitiva. In virtù del Lemma, supporremo d'ora poi che a sia pari e b, c dispari. Dal momento che a = c b, possiamo scrivere:

5 a = (c b) (c + b). E poiché a è pari, a è divisibile per (per il Lemma 1). Si può dividere dunque per : ( a ) = c b c + b. Ora, c b e c + b sono primi tra loro, perché se un primo p fosse un loro divisore comune, dovrebbe dividere anche la loro somma (= c) e la loro differenza (= b), e ciò è impossibile, perché per Hp. la terna è primitiva e perciò b e c sono primi tra loro. Dal momento che c b e c + b sono primi tra loro e il loro prodotto è un quadrato, allora sono essi stessi quadrati (essere coprimi implica che i loro fattori primi sono differenti e il loro prodotto può essere allora un quadrato solo se ognuno di quei fattori è un quadrato). Ne segue che esistono due interi non nulli, m ed n, tali che m > n e m = c b, n = c + b. Poiché m ed n sono coprimi, anche m ed n lo sono. Si ha poi: c = m + n, b = m n, a = m n, cioè: a = mn. Infine, m ed n sono di parità diversa, perché se fossero entrambi dispari, b e c sarebbero entrambi pari, il che è impossibile perché per Hp. la terna è primitiva. Dimostrazione della C.S.: Sapendo che a = mn, b = m n, c = m + n, è evidente che a + b = c e la terna (a, b, c) è dunque pitagorica. Resta da dimostrare che è primitiva. Si supponga per assurdo che non lo sia e che esista perciò un numero primo p che divida a, b e c. Dal momento che m ed n sono di parità diversa, b e c sono dispari e dunque p non può essere due. Se p (che per Hp. di assurdo divide a) dividesse m, allora dividerebbe anche m e di conseguenza dovrebbe dividere n = c m, e perciò anche n. Ma ciò è assurdo, perché per Hp. m ed n sono coprimi. Così, per ogni valore di m (, 3,, 5, 6,...) si cercano i valori possibili di n e si calcola (a, b, c): se m =, n = 1 allora a = b = 3 c = 5 se m = 3 n = " " a = 1 b = 5 c = 13 se m = n = 1 " " a = 8 b = 15 c = 17 n = 3 " " a = b = 7 c = 5 se m = 5 n = " " a = 0 b = 1 c = 9 n = " " a = 0 b = 9 c = 1

6 Per completare l argomento è il caso dire che anche Euclide si occupa della generazione delle terne pitagoriche. La sua versione del Teorema precedente è presentata nel Lemma I della Proposizione X,8 «Trovare due numeri quadrati tali che la loro somma sia un quadrato». Si farà osservare, ed è una differenza sostanziale, che il Lemma di Euclide, permette di ottenere qualsiasi terna pitagorica, mentre il Teorema 1 mira alla ricerca delle terne primitive. Un ulteriore passo può prevedere l analisi della dimostrazione della proposizione citata.