Che cosa si può dire dei divisori di numeri consecu2vi? Vediamo alcune delle vostre conge8ure

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Adolfo Ventura
7 anni fa
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1 Che cosa si può dire dei divisori di numeri consecu2vi? Vediamo alcune delle vostre conge8ure

2 Dato che ogni numero è divisibile per se stesso, allora i divisori di due numeri consecu2vi sono tra loro consecu2vi Ogni numero, essendo divisibile per se stesso, ha almeno un divisore consecu2vo ad un divisore del numero che lo precede. Tu@ i numeri sono divisibili per 1. I numeri pari hanno divisori sia pari che dispari, mentre quelli dispari hanno esclusivamente divisori dispari. I numeri dispari sono divisibili soltanto per se stessi, per 1 e per alcuni numeri primi. I numeri pari hanno più divisori dei numeri dispari Sono divisibili sempre per 1 e per se stessi. Non hanno divisori comuni L unico divisore comune tra tu@ i numeri sarà 1

3 I divisori di due numeri consecu2vi di conge8ura e dimostrazione in con2nuità V primaria- I Sec. Inf.

4 La consegna Trova i divisori comuni a due numeri interi consecu2vi qualsiasi

5 Confron2amo alcune conge8ure prodo8e: dicono la stessa cosa? Risposta A I divisori in comune di 18 e 19 è solo 1 Risposta B Ho notato che tu@ i numeri in comune hanno sempre e solo 1 Risposta C Viene sempre come divisore 1 Risposta D Il divisore comune è 1 Risposta E C è solo un divisore per due numeri consecu2vi cioè 1

6 Quindi 1 è l unico divisore comune a due numeri interi consecu3vi

7 1 è l unico divisore comune a due numeri interi consecu3vi Che cosa occorre spiegare? Che 1 divide i due numeri consecu3vi Che non possono esserci altri divisori comuni

8 La seconda consegna Confronto e analisi di tes. (da effe1uare in piccolo gruppo)

9 Spiegazione n. 1 Nelle divisioni viene sempre 1 perché tu@ i numeri sono divisibili per 1 (quindi sia quelli pari sia quelli dispari). E non viene mai due perché se me8o 50 e 51, 50 si può dividere per 2 perché è pari e 51 non si può dividere per 2 perché è dispari

10 Nelle divisioni viene sempre 1 perché tu@ i numeri sono divisibili per 1 (quindi sia quelli pari sia quelli dispari). E non viene mai due perché se me8o 50 e 51, 50 si può dividere per 2 perché è pari e 51 non si può dividere per 2 perché è dispari 1. Ti sembra che la spiegazione proposta spieghi perché 1 divide i due numeri consecu2vi? 2. Ti sembra che la spiegazione proposta spieghi anche perché non ci sono altri divisori comuni? 3. Se lo ri2eni opportuno, puoi completare/modificare la spiegazione proposta.

11 Nelle divisioni con numeri consecu2vi il divisore comune sarà sempre 1 perché tu@ i numeri sono divisibili per 1 (quindi sia quelli pari, sia quelli dispari). Non c è mai, in due numeri consecu2vi, un divisore che non sia 1. Es: 50:2=25 non c è resto perché è pari, mentre in 51:2=25 R 1 c è un resto perché è dispari. 3. Se lo ri2eni opportuno, puoi completare/modificare la spiegazione proposta.

12 Visto che i due numeri devono essere consecu2vi allora oltre alla tabellina dell 1 non ci sono altre tabelline con numeri consecu2vi. 3. Se lo ri2eni opportuno, puoi completare/modificare la spiegazione proposta.

13 Confron2amo le due spiegazioni Nelle divisioni con numeri consecu2vi il divisore comune sarà sempre 1 perché tu@ i numeri sono divisibili per 1 (quindi sia quelli pari, sia quelli dispari). Non c è mai, in due numeri consecu2vi, un divisore che non sia 1. Es: 50:2=25 non c è resto perché è pari, mentre in 51:2=25 R 1 c è un resto perché è dispari. Visto che i due numeri devono essere consecu2vi allora oltre alla tabellina dell 1 non ci sono altre tabelline con numeri consecu2vi.

14 Spiegazione n. 2! I divisori in comune di è solo 1 perché visto che sono due numeri interi consecu2vi uno è dispari e l altro è pari, nelle tabelline non ci sono mai due numeri consecu2vi, tranne nella tabellina dell uno. Se i numeri non sarebbero per forza consecu2vi allora ci sarebbero più divisori in comune. [ ] I due numeri hanno divisori in comune, ma visto che i numeri da trovare devono essere consecu2vi il divisore sarà sempre 1.

15 Spiegazione n. 3 Segue

16 Spiegazione n. 3

17 Confronta le due spiegazioni: che cosa puoi osservare? Cerca di capire l idea che è alla base di ciascuna spiegazione. Ci sono dei passaggi non chiari? Ti sembra che le spiegazioni proposte spieghino perché 1 divide i due numeri consecu2vi? Ti sembra che le spiegazioni proposte spieghino anche perché non ci sono altri divisori comuni? Se lo ri2eni opportuno, puoi completare/ modificare le spiegazioni.

18 Vediamo alcune spiegazioni prodo8e da vostri colleghi

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21 Dimostrazione che si basa sul conce8o di RESTO Se d è un divisore del primo numero a, il resto della divisione di a per d risulta essere 0 per definizione di divisore. In generale, aumentando di 1 il dividendo, il resto aumenta di 1 oppure, se il resto arriva ad essere uguale a b, il quoziente q aumenta di 1 ed il resto diventa uguale a 0. Nel caso in ques2one, aumentando di 1 il dividendo, cioè passando da a ad a+1, il resto passa dal valere 0 al valere 1. Quindi, il secondo numero a+1 non è divisibile per q. Analogamente, si può mostrare che se si considera d divisore del secondo numero a+1, tale numero d non divide il primo numero a. In questo modo, si mostra che due numeri consecu2vi non possono avere divisori in comune.

22 Dimostrazione che si basa sull idea di DISTANZA tra numeri Se due numeri sono divisibili per uno stesso numero d, sono distan2 d od un mul2plo di d. Due numeri consecu2vi sono distan2 solo 1, per cui potranno avere come divisore comune soltanto 1.

23 Dimostrazione ALGEBRICA Siano a, a+1 due numeri naturali consecu2vi. Sia d un divisore comune ad a e a+1, mostriamo che d è necessariamente uguale a 1. Per la cara8erizzazione di divisore, si avrà che esiste q N tale che a=qd ed esiste s N tale che a+1=sd. Da a=qd si ricava che a+1=qd+1. Confrontando con a+1=sd, si o@ene qd+1=sd, da cui 1=d (q- s). Per la cara8erizzazione di divisore, questo equivale a dire che d divide 1, quindi non può che essere d=1.

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