Quali poligoni tassellano il piano?

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1 Progetto SIGMA dare SIGnificato al fare MAtematica Laboratorio di Geometria a.s. 2013/14 Quali poligoni tassellano il piano? La geometria nella realtà quotidiana, nella natura e nell arte

2 Scuola dell Infanzia (bambini di cinque anni) Introduzione delle forme geometriche (quadrato, triangolo, rettangolo, cerchio) partendo da una fiaba. Riconoscimento e manipolazione delle forme geometriche (blocchi logici). Il gioco delle mattonelle : Quali forme potrebbero essere usate come mattonelle di un pavimento? Perché?

3 LA FAMIGLIA DEGLI GNOMI DELLE FORME C era una volta uno gnomo ROTONDO, scese dal monte per vedere il mondo e camminando per strade e per città tutto rotondo vedeva qua e là! L orologio sul campanile e un pozzo nel cortile, il pallone dei campioni e la torta dei golosoni! Ma mentre stava li tranquillo vide arrivare un tipo tutto arzillo, era QUADRATO e tutto blu il mondo intero guardava da lassù! Io valgo più di te, tu non sei il più importante e cominciarono a gridare, ad azzuffarsi e a litigare.

4 Nel bel mezzo della discussione s intrufolò un giallo gnomo RETTANGOLONE: voi non sapete proprio un bel niente, sono solo io quello intelligente! Se guardate i grattacieli e le scale dei pompieri ho la forma del cioccolato dai bambini tanto amato! e comincia una grande discussione sempre più forte e piena di tensione, finche uno gnomo rosso e TRIANGOLARE mise fine a quel litigare. Siamo tutti importanti, tutti quanti interessanti, solo insieme siamo belli, perché siamo dei fratelli.

5 Così si misero tutti a giocare a costruire e a inventare, e mille cose belle nacquero sotto le stelle: un trenino ed un carretto, una casa col giardinetto, il pavimento di un castello, un gelato e le ciambelle, più di mille caramelle Prova ora anche tu a inventare se la storia vuoi continuare!

6 LA FAMIGLIA DEGLI GNOMI DELLE FORME ATTIVITA incontri Ascolto della filastrocca () Rielaborare verbalmente il racconto in sequenze al fine di rafforzare e consolidare le capacità degli alunni di riconoscere e rappresentare le forme in personaggi con le caratteristiche di : Riprodurre graficamente quanto ascoltato suddividendo la filastrocca in sequenze Creare: Paese dei rotondi (con abitanti e oggetti) Paese dei quadrati Paese dei rettangoli Paese dei triangoli Inventare e costruire nuovo mondo e nuovi oggetti dove tutti, come scritto nella filastrocca, sono fratelli. Disegno libero individuale sulla storia ascoltata.

7 GIOCHI DI ESPLORAZIONE E PIASTRELLATURA DI SUPERFICI PIANE CON I BLOCCHI LOGICI E NON SOLO ATTIVITA incontri Gioco libero A caccia della forma Divertiamoci con le forme (uso dei blocchi logici) Scopro le caratteristiche delle forme Ritagliare da carta colorata delle tessere del tutto simili come forma ai pezzi dei blocchi logici e con essi fare giochi di collages: Costruzione di figure libere, ricostruzione di figure presentate dagli insegnanti, costruzione di oggetti con tessere date dalle insegnanti ecc... Ricoprire una superficie piana limitata (foglio rettangolare)con quadrati, triangoli equilateri, cerchi. Verbalizzare quanto osservato e trovare soluzioni Realizzare piastrellazioni semplici e complesse (facendo in modo che due forme dello stesso colore abbiano o non abbiano lati in comune).

8 Scuola primaria classi: seconda terza - quarta PAROLE CHIAVE INVENTARE MANIPOLARE/SCOPRIRE OSSERVARE/DESCRIVERE ELABORARE/CONFRONTARE IPOTIZZARE

9 INVENTARE I bambini sono invitati a: inventare un racconto in cui si parli di un castello incantato in cui in ogni stanza c è un bellissimo pavimento diverso dalla stanza accanto perché... Lasciare che i bambini (soprattutto se abbastanza piccoli) disegnino qualche pavimento a piacere legandolo alla loro storia.

10 MANIPOLARE / SCOPRIRE Fornire (oppure far ritagliare) molte forme geometriche su cartoncino (quadrati, rettangoli, rombi, triangoli, pentagoni, esagoni, cerchi) stimolare i bambini a utilizzarle come mattonelle del pavimento del loro castello incollandole su un cartone favorire la scoperta delle combinazioni che funzionano (prima usando un solo tipo di mattonella, poi due e infine tre tipi ).

11 OSSERVARE / DESCRIVERE Far osservare e descrivere con quali movimenti delle mattonelle si possono ottenere i pavimenti per introdurre intuitivamente i concetti di: - traslazione come trascinamento della figura - rotazione come far girare la figura intorno ad un punto - simmetria assiale come figura allo specchio

12 ELABORARE Realizzare in piccoli gruppi tassellazioni artistiche variamente colorate, partendo da griglie corrispondenti alle combinazioni che funzionano

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16 CONFRONTARE I RISULTATI

17 IPOTIZZARE Ai bambini delle classi quarte si possono porre domande del tipo: - Perché solo con alcuni poligoni regolari (tutti i lati e gli angoli uguali) si può tassellare il piano? -Dipende da quanto misurano gli angoli dei poligoni regolari? - Come possiamo misurare gli angoli? -Per ricoprire perfettamente il piano, quanto deve essere la somma di tutti gli angoli dei poligoni che si trovano attorno ad un vertice?

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19 Scuola Secondaria I grado (classe terza) Tassellazioni del piano con poligoni regolari Scoperta dei vari tipi di tassellazioni con poligoni regolari (dello stesso tipo o di tipo diverso) e motivazione geometrica basata sugli angoli (determinazione dell angolo di un poligono regolare). Si può inoltre osservare che in ogni vertice si hanno sempre gli stessi poligoni nello stesso ordine Utilizzazione del software di geometria dinamica Geogebra sia per fare congetture sui vari tipi di pavimentazioni possibili che per realizzarle effettivamente facendo uso delle isometrie. Collegamento con educazione tecnica (costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso). Collegamento con scienze: tassellazioni in natura (cellette esagonali dell alveare,forma delle cellule epiteliali ). Collegamento con educazione artistica: realizzazione di tassellazioni artistiche.

20 Tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare triangoli equilateri quadrati esagoni regolari

21 Tassellazioni con due tipi di poligoni regolari (3,3,3,3,6) (3,3,3,4,4) (4,8,8) (3,6,3,6) (3,3,4,3,4) (3,12,12)

22 Tassellazioni con tre tipi di poligoni regolari (4,6,12) (3,4,6,4)

23 Tassellazioni in natura Corteccia di pino loricato

24 favi di api

25 favi di vespe

26 pelli di serpenti

27 Paleodictyon

28 basalto colonnare

29 grafite

30 grafene nanotubulo fullerene

31 cellule vegetali

32 Scuola Secondaria II grado (classe prima) Tassellazioni del piano con poligoni non regolari Ricoprire il piano con triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni irregolari con l uso delle isometrie: uso del software Geogebra. Studio delle tassellazioni periodiche e aperiodiche. Realizzazione di tassellazioni artistiche in collaborazione con l insegnante di disegno.

33 Tassellazione con un triangolo qualunque Possiamo tassellare il piano partendo da un triangolo qualunque in questo modo: si considera il punto medio di un lato e si costruisce il triangolo simmetrico rispetto a questo punto. In questo modo si costruisce un parallelogramma con cui si può tassellare il piano.

34 Tassellazione con un quadrilatero qualunque Si considera il punto medio di un lato del quadrilatero e costruisce il quadrilatero simmetrico rispetto a questo punto: si ottiene così un esagono con cui è possibile tassellare il piano.

35 Non possiamo tassellare il piano con pentagoni regolari ma con pentagoni irregolari? E interessante studiare una tassellazione con un particolare tipo di pentagono irregolare (ne esistono anche altri che funzionano): ha due lati uguali che formano un angolo di 60 e due lati uguali che formano un angolo di 120 (vedi figura); ruotando intorno al vertice con l angolo di 60 si ottiene una specie di fiore che per traslazioni tassella il piano. Interessante è modificare il pentagono (lasciano inalterate le sue caratteristiche) con la funzione di trascinamento di Geogebra

36 Tassellazioni non periodiche Una tassellazione si chiama periodica se esiste un parallelogramma periodico cioè un parallelogramma che traslato nelle due direzioni parallele ai suoi lati riproduce la tassellazione. Tutte le tassellazioni che abbiamo considerato finora sono periodiche. Ma esistono tassellazioni non periodiche? Una coppia di tasselli che può dare origine ad una tassellazione non periodica è costituita dalla freccia e dall aquilone (ricavati da un pentagono regolare).

37 Ecco una tassellazione non periodica che si può ottenere assemblando in modo opportuno la freccia e l aquilone:

38 Metodologia didattica L insegnante non deve aver fretta di arrivare ad un risultato : occorre dare ai bambini (o ai ragazzi) il tempo per sperimentare e fare le loro congetture cercando di valorizzare le loro scoperte e stimolandoli a comunicare in modo chiaro i propri ragionamenti.