La struttura sub-riemanniana della corteccia visiva

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1 La struttura sub-riemanniana della corteccia visiva G. Citti - A. Sarti Milano, luglio 04

2 Completamento modale e amodale A. Sarti, G. Citti p 1

3 Modelli Fenomenologici Mumford, Nitzberg, Shiota; Ambrosio, Masnou; Morel; Bertalmio; Bellettini; Modelli Neurofisiologici Grossberg, Mingolla; Julesz; Field,Heyes,Hess; Singer; Grey ;Lee Modelli basati sui due approcci Petitot, Tondut A. Sarti, G. Citti p 2

4 Elastiche γ = (x, y) curva regolare γ 1 + k 2, k = y x x y (x 2 + y 2 ) 3/2 Mumford, Nitzberg, Shiota; De Giorgi; Bellettini, Paolini: approssimazione nel senso della Γ convergenza. Modifiche del funzionale: 1 + αφ(k), γ Se φ cresce linearmente, i minimi possono essere continui, o avere spigoli. A. Sarti, G. Citti p 3

5 Lifting di curve: Petitot - Tondut θ (x,y,θ) (x,y) x θ y γ(t) = (x(t), y(t)) x = cos(θ), y = sin(θ) γ(t) = (x(t), y(t), θ(t)) length(γ) = θ (t) = k 1 x 2 + y 2 + θ 2 = + k 2 Le elastiche sono proiezioni 2D di minimi vincolati in 3D. A. Sarti, G. Citti p 4

6 L algebra di rototraslazione lifting e geometria subriemanniana [C. Sarti]: γ (t) = (cos(θ), sin(θ), k) = X 1 + kx 2 dove X 1 = cos(θ) x + sin(θ) y, X 2 = θ X 3 = [X 2, X 1 ] = sin(θ) x + cos(θ) y Vale la proprieta di connettivita d((x, y, θ), ( x, ȳ, θ)) = inf{length(γ) : γ(0) = ( x, ȳ, θ), γ(t ) = (x, y, θ)} [Nagel, Stein, Wainger] γ (t) = (γ 1 X1 + γ 2 X2 ) Le proiezioni 2D delle geodetiche del gruppo sono elastiche A. Sarti, G. Citti p 5

7 The Visual Path A. Sarti, G. Citti p 6

8 Profili recettori delle cellule semplici filtri sensibili all orentazione, a media nulla, e a supporto compatto. X1 X3 y X (x ξ) 2 +(y η) 2 e s G (x,y,θ) (ξ, η) = X 3 (θ) s X 3 (θ) = sin θ ξ + cos θ η A. Sarti, G. Citti p 7

9 La risposta ad una immagine I : M R 2 R + O(x, y, θ) = G (x,y,θ) (ξ, η)i(ξ, η)dξdη = X 3 (θ) e x 2 +y 2 s s I = X 3 (θ)i s A. Sarti, G. Citti p 8

10 Le fibre di cellule semplici Sopra ogni punto c e una intera fibra di cellule semplici: The visual cortex is a contact bundle [Hoffman] F (x, y) = { G(x, y, θ), θ [0, π] } A. Sarti, G. Citti p 9

11 La soppressione dei non massimali O(x, y, θ) = max O(x, y, θ) θ [0,π] Σ = {(x, y, θ) : θ O = 0, θθ O(x, y, θ) < 0} L immagine e liftata ad una superficie θ O = θ (X 3 I s ) = X 1 I s = = < (cos θ, sin θ), I s >= 0 (cos θ, sin θ) e ortogonale al gradiente. Ogni curva di livello e liftata come a pag 4. A. Sarti, G. Citti p

12 Campi di associazione e curve integrali γ (t) = (γ 1 X1 + γ 2 X2 ) γ(0) = (x, y, θ) X 1 = (cos(θ), sin(θ), 0) X 2 = (0, 0, 1) A. Sarti, G. Citti p 11

13 Operatori differenziali Gradiente orizzontale: f CX 1 (Ω, R) X u = (X 1 u, X 2 u) inr 2 S 1 X 3 = [X 1, X 2 ]. Se u C 1 X non esiste X 3u Sezioni del tangente orizzontale f C 1 (Ω, HX) Sublaplaciano div X (f 1, f 2 ) = X 1 f 1 + X 2 f 2 X u = X 2 1 u + X 2 2 u Diffusione lungo le curve integrali dei campi u t = X u A. Sarti, G. Citti p 12

14 distanza: [Nagel, Stein, Weinger], Bibliografia essenziale soluzione fondamentale - stime locali: [Rothshild Stein] [Sanchez Calle] stime gaussiane in gruppi omogenei: [Bonfiglioli, Lanconelli, Uguzzoni] Nonlinear equations [Citti, Lanconelli, Montanari], viscosity solutions [Stroffolini, Manfredi] Teorema di Dini, rettificabilita in gruppi omogenei di passo 2 [B.Franchi, R.Serapioni, F.Serra Cassano] [L.Ambrosio, B.Kirchheim] A. Sarti, G. Citti p 13

15 Algebre nilpotenti e non Ammettono una stratificazione g = V 1 V 2, V 1 = span{x 1, X 2 } V 2 = span{x 3 } and[v 1, V 2 ] = {0}. Dilatazioni δ λ (X 1 ) = λx 1. δ λ (X 3 ) = [λx 1j, λx 1i ] = λ 2 X 3 X 1 = cos(θ) x + sin(θ) y X 2 = θ Non esistono dilatazioni. Se esistessero X 1 = [X 3, X 2 ] = [[X 1, X 2 ], X 2 ] δ λ (X 1 ) = λ 3 X 1. A. Sarti, G. Citti p 14

16 Riduzione al caso nilpotente X 1 ξ = (cos( θ) (θ θ) sin( θ)) x + +(sin( θ) + (θ θ) cos( θ)) y X 2 ξ = θ X 3 ξ = [X 1 ξ, X 2 ξ] = sin( θ) x + cos( θ) y Esiste un cambio di variabile Φ ξ e vettori X 1H = e1 + e 2 e3 X 2H = e2 e 1 e3 generatori dell algebra di Heisenberg, tali che (X i ξu) Φ ξ = X ih (u Φ ξ) dilatazioni approssimate Φ ξ δ λ Φ 1 ξ A. Sarti, G. Citti p 15

17 Parametrice della soluzione fondamentale La soluzione fondamentale di t = ξ = X 2 1 ξ + X2 2 ξ e Γ ξ(z, t; ζ, τ) = Γ H (Φ θ(z), t; Φ θ(ζ), τ), dove Γ H, soluzione fondamentale dell operatore del calore per Heisenberg e nota esplicitamente. Teorema La soluzione fondamentale Γ di t = X soddisfa (Γ Γ ξ)(z, t; ζ, τ) (t τ) 1/2 Γ ξ(z, t; ζ, τ) per z, ζ in un intorno di ξ. Inoltre 0 Γ(z, t; ζ, τ) C ( (t τ) exp Q/2 d2 (z, ζ) ) t τ dove Q = 4, per ogni 0 t τ T, for every z, ζ. A. Sarti, G. Citti p 16

18 Superfici regolari in gruppi omogenei Σ = {(x, y, θ) : v = 0, X v 0} vettore normale X v/ X v Teorema [Franchi Serapioni Serracassano] e definita implicitamente una funzione continua θ. Problema aperto: regolarita di θ Congettura: θ e regolare lungo le proiezioni delle curve orizzontali che giacciono sulla superficie ([Ambrosio Serracassano] nel caso omogeneo) A. Sarti, G. Citti p 17

19 Teorema di Dini in gruppi non omogenei Teorema [ - Manfredini]v C 1 X (Ω), Γ = {(x, y, θ) Ω : v(x, y, θ) = 0, θ v(x, y, θ) > 0} Allora esiste funzione implicita θ Se γ e curva integrale di X 1 + kx 2 di punto iniziale (x, y, θ(x, y)) e γ e la proiezione su R 2, allora esiste X θ (θ(x, y)) = (θ γ) (0) = X 1f(x, y, θ(x, y)) X 2 f(x, y, θ(x, y)) A. Sarti, G. Citti p 18

20 Curvatura di una superficie regolare [C. Sarti]! γ : γ = X θ ( γ) X θ = cos(θ(x, y)) x + sin(θ(x, y)). K X (γ) = γ 1 γ 2 γ 2 γ 1 (γ1 2 + γ2 2 )3/2 ( K X (Σ) = div X (ν X ) = δ ij X ivx j v ) Xi X j v D X v 2 D X v Moto per curvatura: ( v t = δ ij X ivx j v ) D X v 2 X i X j v A. Sarti, G. Citti p 19

21 Il modello di completamento [C. Sarti] u 0 = O t = 0 Σ 0 = {(x, y, θ) : θ u 0 = 0, θθ u 0 < 0} u(, 0) = u 0 δ Σ0 A. Sarti, G. Citti p

22 Il modello di completamento 1) diffusione lungo i campi t u = X u in R 2 S 1 [0, h] u(, 0) = u 0 δ Σ0 2) concentrazione che distrugge la diffusione normale e genera un moto per curvatura Σ 1 (h) = {ξ : νσ0 u(ξ, h) = 0, ν 2 Σ0 u < 0} u 1 (h) : Σ 1 (h) R u 1 (h) = hu(h) Al tempo t, dopo n passi di lunghezza h = t/n abbiamo due successioni Σ n (t), u n (t). Σ n (t) e definita come level set. Σ n (t) Σ(t) moto per curvatura di Σ 0 u n (t) u(t) evoluzione di u 0 Nel caso euclideo [Bence, Merriman, Osher] [Evans] A. Sarti, G. Citti p 21

23 Idea della prova Nel gruppo e definita un operazione di somma che commuta con le derivazioni Teorema Sia ξ 0 = 0 Σ 0, ν 0 la normale a Σ in ξ 0. Sia s R tale che Allora ξ 0 stν Σ 1 s = K X (ξ 0 ) + o(1) as t 0 dove K X (ξ 0 ) e la curvatura di Σ 0 In altre parole l incremento infinitesimo s in direzione normale e pari alla curvatura A. Sarti, G. Citti p 22

24 Dim locally Σ 1 = {θ = h(x, y) : (x, y) Q }, 0 = X 2 u(ξ) = X 2 Γ(ζ 1 ξ, t)u 0 (ζ)dσ(ζ) = Σ usando la parametrice = X 2 Γ ξ0 (ζ 1 ξ, t)u 0 (ζ)dσ(ζ) + O(e t ) Σ C se ν = X 2, ζ = (x, y, θ), ξ = (0, 0, st) (ζ 1 ξ) = (,, θ st), parametrizzando = X 2 Γ ξ0 (x, y, h(x, y) st, t) 1 + h 2 +O(e t ) Q usando le dilatazioni approssimate x = tp y = tq, 0 = X 2 Γ ξ0 (tp, tq, h( tp, tq) st) 1 + h 2 +O(e t ) R 2 imponendo l annullamento dello sviluppo di Taylor s = K(0) + O( t) A. Sarti, G. Citti p 23

25 struttura sub-riemanniana della corteccia V1 Macula cieca A. Sarti, G. Citti p 24

26 A. Sarti, G. Citti p 25

27 A. Sarti, G. Citti p 26

28 A. Sarti, G. Citti p 27

29 Direzioni di ricerca La struttura della corteccia e stata descritta come varieta di contatto definita dalla forma ω = cos(θ)dx + sin(θ)dy E possibile rilevare altre features, per esempio la scala, ovvero la dimensione dei campi recettori. L aggiunta di una variabile ambienta il problema in una varieta simplettica, descritta dalla forma d(e s ω). A. Sarti, G. Citti p 28