Un esempio: Il letto di un fiume è posto lungo la parabola di equazione

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1 Massimi e Minimi Vincolati La precedente sezione si è chiusa con due interessanti problemi (facoltativi), riconducibili alla ricerca del minimo assoluto per funzioni definite in tutto riguardanti gli estremi relativi è stato possibile in quanto. L uso (tra gli altri) di risultati è un insieme aperto e di conseguenza tutti i suoi punti sono punti interni. Ci sono però problemi altrettanto interessanti di ricerca di minimo (o massimo) assoluto (qui di seguito se ne dà un esempio) per i quali il citato teorema non è utilizzabile. R R Un esempio: Il letto di un fiume è posto lungo la parabola di equazione y = x. Se ci troviamo nel punto (,3), qual è la nostra distanza dal fiume? Qual è il punto del fiume più vicino alla nostra posizione? Formalizzazione del problema: Essendo ( ) f( x, y) = ( x ) + ( y 3) la distanza del punto (,3) dal generico punto ( x, y ) del piano, il secondo quesito posto si può formalizzare nel seguente modo: Trovare il (punto di) minimo assoluto della funzione f ( xy, ) (o equivalentemente della funzione {(, ) (. ) } [ ] f( x, y) = ( x ) + ( y 3) ) sull insieme ( ) Osservazione: E = x y Φ x y = y x = - Non appena si trova ( x, y punto di minimo assoluto (di (, ) la risposta al primo quesito. Soluzione: Il generico punto del fiume (e quindi dell insieme sua distanza (al quadrato) dal punto (1). f xy o di [ (, )] E ) ha coordinate f xy ), f ( x, y è ( x, x ) e allora la (,3) è ( )( (, )) ( ) ( F x = f x x = x + x 3). Il problema posto è stato così ricondotto alla ricerca del minimo assoluto di una funzione di una sola variabile, che non presenta particolari difficoltà. Osservazione: Si noti, nella procedura utilizzata, l importanza dell essere l insieme E il grafico di una funzione. Gli argomenti che seguono tra l altro hanno lo scopo di rimuovere questa forte restrizione. Definizione: Siano f ( xy, ) e Φ ( x, y) due funzioni elementari. Il problema di individuare eventuali punti di minimo e/o di massimo (e quindi dell eventuale valore minimo e/o massimo), assoluti o ( ) Essendo f( x, y) e l applicazione t t crescente su estremi assoluti su un fissato insieme E. [ [ 18, +, le funzioni (, ) f xy e [ ] f ( xy, ) hanno gli stessi

2 relativi, della funzione f ( xy, ) sull insieme {(, ) (, ) } E = x y Φ x y =, dicesi problema di ricerca di estremi vincolati della funzione z = f( x, y) soggetta al vincolo Φ ( xy, ) =. Osservazione: Come è gia stato segnalato, se l insieme E {( x, y) ( x, y) } = Φ = è il grafico di una funzione y = ϕ( x) (risp. x = ψ ( y) ) il problema della ricerca degli estremi vincolati, si riduce a trovare gli estremi della funzione di una sola variabile Analogamente se parametrica rt ( ) E f ( x, ϕ ( x)) (risp. f ( ψ ( y), y) ). è il sostegno di una curva parametrizzata regolare con rappresentazione, allora il problema si riduce a trovare gli estremi della funzione Al fine di esaminare il caso in cui l insieme E {( x, y) ( x, y) } descritti nella precedente osservazione si premette la seguente f ( rt ( )). = Φ = non sia di uno dei due tipi Definizione: Sia ( x, y E(o equivalentemente Φ ( x, y =. Si dice che l equazione Φ ( xy, ) = definisce implicitamente la funzione y = ϕ( x) (risp. x = ψ ( y) ) in un intorno del punto ( x, y se a) y ϕ( x) = è definita in un intorno ] x δ, x δ [ + di y ); intorno ] y δ, y δ [ b) ϕ ( x = y(risp. ψ ( y = x; c) ( x, ϕ( x)) Φ = per x ] x δ, x δ [ + di x (risp. x = ψ ( y) è definita in un + (risp. ( ψ ( y), y) dunque il grafico della funzione ϕ (risp. ψ ) è contenuto in E. Φ = per y ] y δ, y δ [ + ) e Il seguene teorema, del quale sarà omessa la dimostrazione, dà una condizione sufficiente perché l equazione prefissato punto. Φ ( xy, ) = definisca una funzione y = ϕ( x) oppure x = ψ ( y) in un intorno di un Teorema: Sia Φ ( x, y) una funzione elementare e ( x, y un punto del suo dominio tale che Φ ( x, y =. Se Φ( x, y allora l equazione Φ ( xy, ) = definisce implicitamente una funzione derivabile, in un intorno di ( x, y ; in particolare se f ( x, y ), allora Φ ( xy, ) = definisce implicitamente una (unica) funzione y = ϕ( x) a) 19

3 derivabile, tale che f ( x, y ) b) ( x, ϕ( x)) ( x, y ϕ ( x) = x (in particolare si ha ϕ ( x = x ); ( x, ϕ( x)) ( x, y. Osservazione: La rappresentazione della derivata ϕ ( x) si deduce utilizzando il seguente argomento. Essendo Φ ( x, ϕ( x)) = in un intorno di x, in detto intorno si ha Φ( x, ϕ( x)) è ortogonale a (1, ϕ ( x)) d Φ ( x, ϕ( x)) = Φ( x, ϕ( x)) (1, ϕ ( x)) = dx ( x, ϕ( x)) + ( x, ϕ( x)) ϕ ( x) = x y e dalla seconda uguaglianza segue la rappresentazione della derivata prima di y = ϕ( x). La prima affermazione sarà invece utilizzata più avanti. Teorema (condizione necessaria per gli estremi vincolati): Sia z = f( x, y) una funzione differenziabile in un aperto A, ( x, y) Se ( x, y R è tale che Φ ( x, y = (cioè ( x, y E); Φ una funzione differenziabile e E {( x, y) ( x, y) } = Φ =. Φ( x, y (, (cioè ( x, y non è un punto critico della funzione Φ ( x, y) ); ( x, y è un estremo relativo (vincolato) della funzione z = f( x, y) su ; E ( ) allora esiste λ R tale che f ( x, y ) = λ Φ ( x, y ). ( ( x, y dicesi punto stazionario vincolato, che, in generale, non è un punto stazionario). Dimostrazione: Se è ( x, y, il precedente teorema assicura l esistenza della funzione y = ϕ( x) definita implicitamente dall equazione Φ ( xy, ) = in un intorrno di ( x, y. Allora la funzione f ( x, ϕ ( x)) (definita in un intorno di x ) ha in x un estremo relativo e pertanto si ha df ( x, ϕ( x)) dx x= x ( f x y ϕ x ) = (, ) (1, ( )) =. Essendo, come è stato già osservato, anche Φ( x, ϕ( x)) (1, ϕ ( x)) = per ogni x, si ha che i due vettori (in ) R f x y (, ) e Φ ( x, y sono ortogonali allo stesso vettore (1, ϕ ( x), donde sono ( ) cioè esiste δ > tale che per ogni ( x, y) B(( x, y, δ ) E si ha f ( x, y f( x, y) (risp. f ( xy, ) f( x, y ).

4 tra loro paralleli e quindi l asserto. (Si procede in modo pressochè analogo se è ( x, y. x Una riformulazione del precedente risultato è contenuto nella seguente Osservazione: Se f ( xy, ) e Φ ( x, y) sono funzioni differenziabili in un aperto A allora gli estremi relativi di f ( xy, ) su E = {( x, y) Φ ( x, y) = } (estremi vincolati con vincolo Φ ( xy, ) = ) sono da ricercare tra le soluzioni di uno dei seguenti sistemi Φ ( xy, ) = ( xy, ) = x ( xy, ) = y oppure f ( x, y) = λ ( x, y) x x f ( x, y) = λ ( x, y ) per qualche λ R. y y Φ ( xy, ) = Le soluzioni del secondo sistema sono i punti stazionari della funzione nelle tre variabili ( x, y, λ ) Lxy (,, λ) = f( xy, ) λφ ( xy, ), denominata funzione Lagrangiana del problema di estremo vincolato, mentre il parametro λ dicesi moltiplicatore di Lagrange. Esercizi: 1) Trovare il minimo e il massimo assoluto della funzione x y E = ( x, y) R + 1=. 4 9 f ( xy, ) x 3y = + sull insieme Soluzione: Intanto la funzione f ( xy, ) è continua e per il teorema di Weierstrass ha minimo e massimo assoluto sull insieme E che evidentemnete è chiuso e limitato. I punti di minimo e di massimo (assoluti) sono anche di minimo e massimo relativi e quindi o sono punti critici della funzione sistema x y Φ ( xy, ) = + 1 (si vede immediatamente che non ha punti critici) o soluzioni del 4 9 x(4 λ) = λ = 4 x= λx/ x= = λy/ 9 λy = λ =... y =. 8 x y y =± 3 1 x y non ha soluzioni + = = 4 9 1

5 Gli unici punti candidati ad essere punti di minimo o massimo assoluto sono (,3) e (, 3) ; essendo f (,3) = 9 e f (, 3) = 9, il primo è il valore massimo assoluto e il secondo il valore minimo assoluto. Osservazione: Essendo θ [, π ] E il sostegno della curva con rappresentazione parametrica x = cosθ, y = 3sinθ, il problema può anche essere risolto considerando la funzione di una sola variabile f (cos θ,3sin θ) = 4cos θ + 9sinθ e cercando per questa i punti di minimo e massimo assoluti. Si vede immediatamente che gli unici punti stazionari sono θ = π / e θ = 3 π /in corrispondenza dei quali si hanno i punti (,3) e (, 3) e i corrispondenti valori 9 e 9. ) Trovare i punti di minimo e massimo assoluti della funzione f ( xy, ) x y = + soggetta al 3/ 3/ vincolo x + y = 1. Soluzione: Intanto il vincolo è un insieme chiuso limitato (si prova facilmente) e su di esso non ci sono punti critici, pertanto i punti di minimo e massimo assoluti sono tra le soluzioni del sistema 3 x = λ x 3 y = λ y, 3/ 3/ x + y = 1 /3 /3 che sono (,1), ( 1, e (, ) e quindi Osservazione: I punti (,1) e (1, sono punti che soddisfano il vincolo, ma si trovano sulla frontiera dell insieme di definizione della funzione 3/ 3/ Φ ( xy, ) = x + y 1, pertanto vanno presi in considerazione come possibili estremi assoluti indipendentemente dal fatto che essi siano punti stazionari della lagrangiana. 3) Trovare il minimo e massimo assoluto della funzione sull insieme E {( x, y) 4x y 1} = + =. f xy x y x y (, ) = ) Trovare il minimo e massimo assoluto della funzione f( x, y) = x y+ y /5 sull insieme chiuso e limitato 4 {(, ) 1} E = x y x + y =. 5) Trovare gli estremi assoluti della funzione 4 {(, ) } E = x y x x + y =. f ( xy, ) x y = + sull insieme (chiuso e limitato) 6) Trovare la minima e la massima distanza dell origine dalla linea di livello 5x + 6xy+ 5y = 8.

6 7) Trovare il minimo e massimo assoluto (esistono?) della funzione sull insieme D {( x, y) x y 1} =. f ( xy, ) = x+ y xy 8) Trovare il minimo e massimo assoluto (esistono?) della funzione sull insieme D {( x, y) x 4y 1} = +. f ( xy, ) = 4x + y 9) (Facoltativo) Trovare il minimo e massimo della funzione a) sull insieme E {( x, y) 4x y 4} = + ; f xy x y x y (, ) = b) sull insieme F limitato dal quadrato avente come verici opposti i punti (, e (3,3). Soluzione: a) Intanto la funzione f ( xy, ) è continua sull insieme E, che è chiuso e limitato, allora dotata di valore minmo e di valore massimo (per il teorema di Weierstrass). I corrispondenti punti di minimo e di massimo se sono interni ad E sono punti stazionari, altrimenti se sono sulla frontiera sono estremi vincolati; in definitiva essi sono da ricercare tra i punti stazionari di f ( xy, ) che sono interni ad 8x = 1 ( la cui soluzione è (,) y 4= 4 ) che però non è interno ad E ; E ; e quindi si considera il sistema i punti critici della funzione Φ ( xy, )( = 4x + y 4) (non ci sono punti critici); i punti stazionari vincolati sono Essendo 8x = 8λx 4 x(1 λ) = 1 4 x(1 λ) = 1 y 4= λy y(1 λ) = 8x= y le cui soluzioni 4x + y = 4 4x + y = 4 4x + y = ( ±, ± ) (si noti che non si riporta il valore di λ ) f (, ) = 5 e secondo è il valore massimo. b) In questo caso il punto stazionario 1 (,) f (, ) = 5+ 4 il primo è il valore minimo e il della funzione f ( xy, ) è interno ad sua frontiera è l unione dei seguenti grafici di funzione di una sola variabile: y = per x [,3], y = 3 per x [,3], x= per y [,3], x 3 per y [,3] Su questi ultimi la funzione f ( xy, ) diventa rispettivamente =. F. Però la f( x, 4x x 1 per x [,3] = + e quindi i possibili punti estremi sono 1 (,, (,, (3,; 4 3

7 f( x,3) 4x x per x [,3] = e quindi i possibili punti estremi sono f(, y) y 4y 1 per y [,3] 1 (,3), (,3), (3,3) ; 4 = e quindi i possibili punti estremi sono (,), (,, (,3) ; = + e quindi i possibili punti estremi sono (3,), (3,, (3,3). f(3, y) y 4y 31 per y [,3] Essendo 1 13 f (,) =, f (, =, f (, = 1, si ha