Funzioni Elementari 1/2

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1 Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Elementari 1/ y y y m q y a a c b b d c Funzioni Potenza: y a Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica y a y log a ( ) Funzioni (tri)gonometriche y y y sin( ) cos( ) tan( ) 1

2 Funzioni Elementari / Conoscenza Proprietà Elementari Segno Monotonia Invertibilità Concavità Simmetrie Periodicità Conoscenza grafici elementari Conoscenza grafici immediatamente riconducili ai grafici elementari

3 3 Monotonia Def. Funzione Monotona Crescente Def. Funzione Monotona Crescente in senso stretto Def. Funzione Monotona Decrescente Def. Funzione Monotona Decrescente in senso stretto ) ( ) ( con, f f A ) ( ) ( con, f f A ) ( ) ( con, f f A ) ( ) ( con, f f A Y X A f : 1 1 Le funzioni Monotone in senso stretto su tutto il campo di esistenza sono biunivoche e dunque invertibili

4 Funzioni Inverse e Monotonia 1/3 Teorema Se f è una funzione strettamente monotona allora f è iniettiva Dim (diretta) Si supponga f monotona crescente in senso stretto. Dimostriamo che f è iniettiva: 1, A con 1 f ( 1 ) f ( ) 1, A con 1 f ( 1 ) f ( ) se vel f : A R se se 1 1 f( 1 ) f ( ) f( 1 ) f ( ) Per la monotonia di f. In entrambi i casi: f( 1) f ( ) c.v.d. 4

5 Funzioni Inverse e Monotonia /3 Teorema Se f è una funzione strettamente monotona allora f è iniettiva Dim (per assurdo) Si supponga f monotona crescente in senso stretto. f : A R 1, A con 1 f ( 1 ) f ( ) Dimostriamo che f è iniettiva. Per assurdo: f ( ) f ( ) 1 con 1, 1 A se infatti fosse 1 1 f ( 1 ) f ( ) oppure 1 f ( 1 ) f ( ) In entrambi i casi ci sarebbe contraddizione con l ipotesi per assurdo. c.v.d. Corollario Se f è una funzione strettamente monotona allora f è biunivoca (tra il proprio dominio ed il proprio codominio), dunque esiste la funzione inversa f -1 5

6 Funzioni Inverse e Monotonia 3/3 Teorema Se f è una funzione strettamente monotona (sul proprio dominio) allora la funzione inversa f -1 è strettamente monotona dello stesso tipo di f. Dim Si supponga f monotona crescente in senso stretto. 1, A con 1 f ( 1 ) f ( ) f : A R Il corollario precedente afferma l esistenza della funzione inversa f -1. Dimostriamo che f -1 è monotona strettamente crescente: 1 1 y1, y f ( A) con y1 y f ( y1) f ( y) Per assurdo: 1 1 f y ) f ( y ) 1 1 f y ) f ( y ) ( f y1) f ( y) ( ( 1 f ) f ( ) y1 f ( 1 ) f ( ) y ( 1 Poichè f è monotona crescente in senso stretto: y1 y c.v.d. 6

7 Concavità Convessità (globali) Def. Funzione Convessa (su un intervallo) La funzione f:r R è detta convessa sull intervallo [ 1, ] se la corda congiungente i punti ( 1, f( 1 )), (, f( )) sta al di sopra del grafico di f. Def. Funzione Concava (su un intervallo) La funzione f:r R è detta concava sull intervallo [ 1, ] se la corda congiungente i punti ( 1, f( 1 )), (, f( )) sta al di sotto del grafico di f. 7

8 8 Simmetria Pari Def. Funzione Pari Una funzione è detta pari se f()=f(-) per ogni di A Una funzione pari risulta simmetrica (simmetria assiale) rispetto all asse delle ordinate (asse y) Y X A f : 3 ) ( 4 f ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 4 f f

9 Simmetria Dispari Def. Funzione Dispari Una funzione f : A X Y è detta dispari se f()=-f(-) per ogni di A Es. f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) Una funzione dispari risulta simmetrica (simmetria centrale) rispetto all origine degli sistema di assi cartesiani 9

10 Def. Funzione Periodica Periodicità 1/ f : A X Y è detta periodica se f ( T ) f ( ) A, T R T è il più piccolo numero reale positivo che soddisfa alla condizione precedente, ed è chiamato Periodo della funzione f. sin( ) sin( ) R Es. Poiché il periodo della funzione seno è pari a π 10

11 Periodicità / cos( ) cos() R il periodo della funzione coseno è pari a π il periodo della funzione tangente è pari a π tan( ) tan() R \ k, k Z 11

12 Funzione Mantissa Def. Funzione Parte Intera: []. [] è il più grande intero minore o uguale ad Def. Funzione Mantissa: Mant():=-[]. il periodo della funzione mantissa è pari a 1 1

13 Funzione Lineare 1/3 Funzione Costante: f()=k Il grafico è rappresentato da una retta orizzontale: y=k Retta Verticale (Non è una funzione!): =k Il grafico è rappresentato da una retta verticale Diretta proporzionalità (Funzione Lineare): f()=m Il grafico è rappresentato da una retta passante per l origine: y=m. m è detto Coefficiente Angolare della retta ed è legato all angolo α che la retta forma con l asse delle (semiasse positivo) dalla relazione m=tan(α). Ma anche y m Rappresentazione geometrica del coefficiente angolare. Proprietà di additività: Proprietà di omogeneità: tan() f ( 1 ) f ( 1) f ( ) f ( k1 ) kf( 1) Una funzione in generale è detta lineare se soddisfa contemporaneamente alle due precedenti proprietà cioè se è additiva ed omogenea. 13

14 Funzione Lineare /3 Funzione Lineare Affine: f()=m+q Il grafico è rappresentato da una retta non verticale non passante per l origine: y=m+q. q=f(0) rappresenta l ordinata dell intercetta all origine. Es. Si consideri la retta y=-+1 Se ne tracci un grafico Si trovino le intercette (punti di intersezione) con gli assi coordinati cartesiani [R. (0,1) (1/,0) ] Date due rette: y=m 1 +q 1 e y=m +q Rette Parallele (Condizione di parallelismo): m 1 =m Rette Perpendicolari (Condizione di perpendicolarità): m 1 *m =-1 Intersezione tra rette: y y m m 1 q 1 q 14

15 Funzione Lineare 3/3 Fascio Proprio di rette di centro ( 1,y 1 ) y-y 1 =m(- 1 ) Retta per due punti ( 1,y 1 ) e (,y ) Vale la formula sopra con m ( y ( y 1 1 ) ) quindi y y ( y ( y ) ( ) ) Es. Determinare la retta passante per P=(-1,) e perpendicolare alla retta y=3-5 [R. y=-1/3+5/3 ] Es. Determinare la retta passante per P=(-1,) e parallela alla congiungente A=(-1,0) e B=(1,1) [R. y=1/ + 5/ ] Es. Siano y 1 =+5 e y =-+7. Scrivere l equazione della retta passante per il punto di intersezione di y 1 ed y e parallela alla retta di equazione y 3 =1/+. [R. y=1/ + 6 ] 15

16 Equazioni e Disequazioni di I grado Equazioni m+q=0 Possono essere viste come la ricerca del punto di intersezione tra la retta y=m+q e l asse delle (y=0) Soluzione: =-q/m Disequazioni m+q>0 (m+q<0) Insieme dei valori per cui il grafico della retta y=m+q sta al di sopra (sotto) l asse delle. Ricorda: moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, la disequazione cambia di verso Es. Eq. I grado : 3+7=(-5) [ R. X=-17 ] Es. Diseq. di I grado [ R. S=Ø ] 16

17 Funzione Quadrato 1/3 Funzione: f()=a Rappresenta una parabola y= a E una funzione pari (grafico simmetrico rispetto all asse y) E convessa se a>0, concava se a<0 Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0)) Passa per l origine e non ha altre intersezione con gli assi coordinati Funzione: f()=a +b+c Rappresenta una parabola y= a +b+c E convessa se a>0, concava se a<0 Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0)) b V, con b 4ac a 4a e le intersezioni con gli assi coordinati Intersezione asse y y a 0 b c 0,c 17

18 Intersezione asse Funzione Quadrato /3 y y a 0 b c a b c 0 1, b a Δ>0 Due Intersezioni Distinte (Parabola secante l asse delle ) Δ=0 Due Intersezioni Coincidenti (Parabola tangente l asse delle ) Δ<0 Non ci sono intersezioni tra la Parabola e l asse delle 18

19 Funzione Quadrato 3/3 Es. Determinare l equazione della parabola con vertice v=(1,) passante per il P(0,4) [R. y= -4+4 ] Es. Disegnare la parabola: f()= Es. Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse delle y e passante per i punti di coordinate (0,0) (1,1) e (-,4) [R. y= ] 19

20 a Equazioni e Disequazioni di II grado 1/4 b c 0 1, b a b c 0 ( 0) a Δ>0 Radici Reali Distinte a>0 a +b+c>0 (all esterno delle radici 1 ed ) < 1 vel > a +b+c<0 (all interno delle radici 1 ed ) 1 << a<0 a +b+c>0 (all interno delle radici 1 ed ) 1 << a +b+c<0 (all esterno delle radici 1 ed ) < 1 vel > 0

21 Equazioni e Disequazioni di II grado /4 Δ=0 Radici Reali Coincidenti a>0 a +b+c>0 per -b/a a +b+c<0 per nessun (la disequazione non ha soluzioni) a<0 a +b+c>0 per nessun (la disequazione non ha soluzioni) a +b+c<0 per -b/a 1

22 Equazioni e Disequazioni di II grado 3/4 Δ<0 Radici Complesse Coniugate a>0 a +b+c>0 per ogni reale a +b+c<0 per nessun (le disequazione non ha soluzioni) a<0 a +b+c>0 per nessun (le disequazione non ha soluzioni) a +b+c<0 per ogni reale

23 Equazioni e Disequazioni di II grado 4/4 Es. 0 [R. 1] Es. ( 3) 4 3 [R. 1 3 ] Es. Risolvere, in dipendenza del parametro reale k, le seguenti disequazioni: I) k 8 0 II) 1 k per per. per per per k 0, k k 0, vel k k -1/ 8, k 1/ 8 k 0, k k -1/8,S 1 1 8k k 1 1 8k k per R. per k k 0, S 0,1 k 1 k 3

24 4 Funzione Modulo (Valore Assoluto) Def. 0 se 0 se 0 ) f( se ) ( 0 se ) ( ) ( f f() f f Proprietà: y y Disuguaglianza triangolare y y

25 5 Funzione Modulo (Valore Assoluto) y y y y y y y y y y y y b y b a b b a a b b a a a b b b a b a b a a b b a b a Scambiando a e b Portando a primo membro: E quindi Sommando membro a membro:

26 Equazioni e Disequazioni con Modulo 1/3 Es. f() =k se k <0 non esistono soluzioni se k=0 f()=0 se k>0 f()=±k Es. +4 =3 Es. f() <k (**) se k <0 non esistono soluzioni se k=0 non esistono soluzioni se k>0 -k<f()<k f ( ) k k f ( ) k f ( ) k Es. +4 <3 Es. f() >k se k <0 : ogni (che definisce f) è soluzione se k=0 : ogni (che definisce f() 0) è soluzione se k>0 f()>k vel f()<-k Es. +4 >3 6

27 7 Equazioni e Disequazioni con Modulo /3 Es. f() <k (**) se k <0 non esistono soluzioni se k=0 non esistono soluzioni se k>0 -k<f()<k (**) 0 vel ) ( 0 f() -k k f ) ( ) ( 0 ) ( vel ) ( 0 ) ( k f k f f k f f ) ( k f k

28 Equazioni e Disequazioni con Modulo 3/3 A) f() =g() f() f() 0 g() vel f() 0 -f() g() f() -g() Es. +1 =3 S= {=1} Attenzione!!! f ( ) g( ) f ( ) g( ) B) f() <g() f() f() 0 g() vel f() 0 -f() g() f() -g() g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Es. +1 < S={ >1 } 8

29 Equazioni e Disequazioni con Modulo 3bis/3 C) f() >g() f() f() 0 g() vel f() 0 -f() g() f() -g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) Es. + >+1 S={ <-+ 3 v >1 } D) f() = g() f ( ) g( ) f ( ) - g( ) Es. -1 = -1 S={ =0,,-1± 3} Es. Generico +4 =3-1 9

30 Disequazioni Razionali Fratte Sono del tipo N( ) D( ) 0 0 Risoluzione: si studia N()>0, D()>0 separatamente, poi si fa un grafico di confronto, mettendo su una retta il segno di N e su una retta parallela il segno di D, poi si determina il segno di N/D tenendo conto della regola dei segni Es [ R. 8 1] La stessa risoluzione vale anche per N()*D()>0 (<0) 30

31 Sistemi di Disequazioni Sono del tipo F( ) 0 G( ) Si determina l insieme delle soluzioni delle prima disequazione S 1, si determina l insieme delle soluzioni delle seconda disequazione S l insieme delle soluzioni del sistema sarà allora S S 1 S Es [ R. 1 4]

32 Funzione Omografica Inversa Proporzionalità: funzione f()=a/ Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti (gli assi cartesiani sono gli asintoti dell iperbole) Ha simmetria dispari, dunque l origine è un centro di simmetria Funzione Omografica: f()=(a+b)/(c+d) con ad-bc 0 Iperbole equilatera gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani ma sono ad essi paralleli. Essi hanno equazioni =-d/c y=a/c d a Il centro di simmetria (-d/c, a/c) Es. Disegnare il grafico di f ( ) a c C, c c b d f ( ) 7 3 3

33 Funzione Omografica f ( ) a c b d d C, c a c 33

34 Funzione Potenza (esponente intero pari ) Funzione Potenza: f() = n n pari Simmetria pari, f()>0 per 0,, f()=0 per =0 Non invertibile Monotona crescente per positive, decrescente per negative confronto y= con y= 4 [si provi per =1/, =] y= 4 y= 34

35 Funzione Potenza (esponente intero dispari ) Funzione Potenza: f() = n n dispari Simmetria dispari, f()>0 per >0, f()<0 per <0, f()=0 per =0 Invertibile Monotona crescente confronto y= 3 con y= 5 [si provi per =1/, =] y= 5 y= 3 35

36 Funzione Potenza (esponente frazionario) 1/4 Funzione Potenza: f() = 1/n n pari definita solo per 0 Inversa del ramo positivo di y= n confronto y= 1/ con y= 1/4 [si provi =1/16, =16] y= 1/ y= 1/4 36

37 Potenze-Radici: Funzioni Inverse /4 y=^(1/) y=^() 37

38 Funzione Potenza (esponente frazionario) 3/4 Funzione Potenza: f() = 1/n n dispari simmetria dispari definita solo per ogni reale Inversa di y= n confronto y= 1/3 con y= 1/5 y= 1/5 y= 1/3 38

39 Potenze-Radici: Funzioni Inverse 4/4 y= 1/3 y= 3 39

40 40 Proprietà Potenze 0, 0 y assumiamo n m n m a -a ab b a b a b a a a a b a b a y y 1 ) ( ) ( ) ( R

41 Equazioni/Disequazioni Irrazionali 1/3 n f ( ) g( ) n dispari f ( ) g( ) Risolta da : n f ( ) g( ) n dispari Risolta da : f ( ) g( ) n n n f ( ) g( ) n dispari f ( ) g( ) Risolta da : n Nota: applicando ad entrambi i membri di una disequazione una funzione monotona crescente, la disequazione con cambia verso e mantiene inalterate le proprie soluzioni. Facendo la stessa cosa con una funzione monotone decrescente la disequazione cambia di verso (e mantiene sempre inalterate le proprie soluzioni). 41

42 4 Equazioni/Disequazioni Irrazionali /3 n pari Risolta da : ) ( ) ( g f n n g f g f g f ) ( ) ( 0 ) ( n.n. 0 ) ( vel 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( g f n n pari Risolta da : n g f g f ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( g f n n pari Risolta da : n g f g f ) ( ) ( 0 ) ( n.n. 0 ) (

43 Equazioni/Disequazioni Irrazionali 3/ [ R. S R] 1 5 [ R. 1 3] 3 4 [ R. (-,-4] (4/3, )] 43

44 Funzione Esponenziale 1/4 Funzione f()=a può essere ben definita solo per a>0 per a=1 si ottiene la funzione costante f()=1 per a>1 è monotona crescente confronto tra e 4 per 0<a<1 è monotona decrescente confronto tra (1/) e (1/4) f() >0 per ogni reale, f(0)=1 f() è sempre invertibile ed è sempre convessa per a>1 Per 0<a<1 lim lim a a 0 lim lim a a 0 44

45 Funzione Esponenziale /4 y=() y=(1/) e lim 1 n 1 n n...y e e=

46 Funzione Esponenziale 3/4 y=(4) y=() si provi per =-1/, =1/ = 46

47 Funzione Esponenziale 4/4 y=(1/4) y=(1/) si provi per =-1/, =1/ = 47

48 Equazioni e Disequazioni esponenziali Elementari a a f ( ) g ( ) f ( ) g( ) Es a f ( ) g ( ) ( ) a f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) S se a 1 se 0 a 1 0 Es. e e Poiché ep() è una funzione monotona crescente Es Poiché (1/)^() è una funzione monotona decrescente 48

49 Funzione Logaritmica: funzione inversa dell esponenziale y=() y=log () 49

50 Funzione Logaritmica: funzione inversa dell esponenziale y=(1/) y=log 1/ () 50

51 Funzione Logaritmica 1/ Funzione Logaritmica: funzione inversa dell esponenziale (La funzione esponenziale è invertibile in quanto sempre monotona.) y f ( ) log a ( ) a y lim 0 a>0 et a 1 Fissiamo a >1 definita per >0 monotona crescente f(1)=0 f() è concava lim log log a a ( ) ( ) y=log 4 () y=log () si provi per =1/ = log 4 (1/)=-1/ log 4 ()=1/ log (1/)=-1 log ()=1 51

52 Funzione Logaritmica / Funzione Logaritmica: funzione inversa dell esponenziale y a>0 a 1 Fissiamo 0<a<1 definita per >0 monotona decrescente f(1)=0 f() è convessa lim log 0 lim a log ( ) a ( ) f ( ) log a ( ) y=log 1/4 () a y y=log 1/ () si provi per =1/ = log 1/4 (1/)=1/ log 1/4 ()=-1/ log 1/ (1/)=1 log 1/ ()=-1 5

53 Proprietà Logaritmi log log a log log log a ( y) a a a y log log a a ( ) log ( ) log a a ( y) ( y), y, y k k log ( ) 0, k R log log b 0 b a ( ) ( a) 1 log ( a) b a,b 0 a 1 b 1 b 0 0 log a b a b log a b a b CONVENZIONI log e ln( ) log 10 Log ( ) 53

54 Equazioni e Disequazioni Logaritmiche Elementari log a ( f ( )) b f ( ) b a Es. 4 log ( 1) S 15 log ( f ( )) log ( g( )) a a f( ) 0 (C.E.) g ( ) 0 (C.E.) f ( ) g( ) Es. log ( ) log ( 1) / 1 S 1 Es. log( ) log(3 )

55 Equazioni e Disequazioni Logaritmiche Elementari Es. log ( f ( )) log ( g( )) a ( ) f( ) 0 (C.E.) g ( ) 0 log ( ) log ( 3) a f ( ) g( ) S ( ) f ( ) g( ) ( ) se a 1 se 0 a 1 Es. log ( ) log (3 ) S 0 3 / Es. log 5 (3 ) S 3 Es. log 1 ( 4) log 1 ( ) S

56 Equazioni e Disequazioni Risolvibili con Logaritmi a a b f ( )ln( a) g( )ln( b) f ( ) g ( ) a b b f ( )ln( a) g( )ln( b) ( ) f ( ) g ( ) ( ) Es. 5 4 Applico la funzione inversa log 5 (4) ln( 4) ln( 5) Es. e Es. e 1 5 [R. S e 1 R] Es. e ( ) 3 0 [R. ] 56

57 Identità Esponenziali ln( e ) R y e ln(y) y R e ln( ) e ln() R 57

58 Circonferenza 1/ Def. (Circonferenza) Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto CENTRO. La distanza è detta RAGGIO. 0; 0 P ; y C y ( ) ( y y ) R d( C; P) R 0 0 y yy y R O R P y yy y R y a by c 0 a 0 b y0 c y R 0 0 M. Mozzanica a 0 b y0 R 0 y0 c 58

59 Circonferenza / y a by c 0 Rappresenta una circonferenza se e solo se R y c a b c a b c 4 0 R y c 0 0 a b 4c La circonferenza non è il grafico di una funzione. P O M. Mozzanica 59

60 SemiCirconferenza ( ) ( y y ) R 0 0 ( y y ) R ( ) 0 0 ( y y ) R ( ) 0 0 y y R ( ) 0 0 O R P Se il centro è nell origine: y R M. Mozzanica 60

61 Rette Tangenti: Parabola y ( f ( )) a b c Pb. : trovare l equazione della retta tangente ad una parabola (asse verticale)) in un punto del suo grafico di coordinate date: T ( ; y f ( ) a b c) Metodo Algebrico y a b c y f ( 0) m( 0) 0 Inviluppo Coeff. Ang. Tangenti Regola dello sdoppiamento y f ( 0) m( 0) m a0 b M. Mozzanica y yy0 0 yy y 0 y y0 y

62 Rette Tangenti: Circonferenza Metodo Algebrico y a by c 0 y y 0 m( 0) 0 Perpendicolare alla congiungente il centro Regola dello sdoppiamento y yy0 0 yy y 0 y y0 y 0 0 M. Mozzanica 6

63 Angoli e loro Misura Def. (Angolo) Definiamo angolo come la parte di piano limitata da due semirette uscenti da un punto comune detto vertice. M. Mozzanica 63

64 Angoli e loro Misura Def. (Grado Sessagesimale - -deg) Per grado (deg) si intende la 360-esima parte dell angolo giro (la 90-esima parte di un angolo retto). La sessantesima parte di un grado si dice minuto primo, la sessantesima parte di un primo, minuto secondo. Def. (Radiante - rad) Per misura di un angolo in unità radianti (rad) si intende il rapporto la l arco di circonferenza (centrata nel vertice, con raggio a piacere) intercettato dai lati dell angolo ed il raggio della stessa. 64

65 Angoli e loro Misura Indicando con la misura in radianti di un angolo e con α la corrispondente misura in gradi avremo che: 1 :60' g: ' 1':60'' g': '' Angoli Orientati 65

66 Angoli e loro Misura M. Mozzanica 66

67 Angoli e loro Misura 1 : 60' 0,9578: ' 1': 60'' 0,7468: '' ' 600, , 7468 '' 600, ,808 M. Mozzanica 67

68 Angoli e loro Misura M. Mozzanica 68

69 69 Funzioni Goniometriche O A B C D θ OA AC sin() OA OC cos() ) cos( ) sin( ) tan( OC AC OA BD Teorema di Pitagora : 1 ) ( cos ) ( sin

70 Valori di Funzioni Goniometriche di angoli «notevoli» Es. Ottenere i precedenti valori dalla geometria elementare di un triangolo equilatero e di un triangolo rettangolo isoscele M. Mozzanica 70

71 A Triangoli rettangoli: Teoremi c b Teo. (Pitagora) c a b Teo. (Euclide 1) B a C 90 rad 90 rad Teo. (Euclide ) 71

72 Trigonometria: triangoli rettangoli A c b B a C 90 rad 90 rad a csin() b ccos() a ccos() b csin( ) a btan() b a tan() 7

73 Trigonometria: triangoli qualsiasi c B a 180 rad A b C Teo. Corda: AC Rsin( ) Teorema di Carnot (del coseno): c a b Teo. dei seni: abcos( ) a sin( ) b sin( ) c sin( ) R Area: 1 A a bsin( ) Raggio Circ. Circoscritta: R abc 4A Raggio Circ. Inscritta: r A Teorema Erone: A p( p a)( p b)( p c) p 73

74 Cerchio Goniometrico Parametrizzazioni cos( ) y sin( ) Rcos( ) y Rsin( ) 0 R cos( ) y y0 R sin( ) 0 R cos( t) y y0 Rsin( t) M. Mozzanica 74

75 Funzioni Goniometriche di angoli associati M. Mozzanica 75

76 Segno Funzioni Goniometriche M. Mozzanica 76

77 Formule di Addizione e Sottrazione 77

78 Formule di Addizione e Sottrazione M. Mozzanica 78

79 Formule di Duplicazione E Bisezione Formule di Bisezione: M. Mozzanica 79

80 Relazioni Fondamentali sin ( ) cos ( ) sin( ) tan( ) cos( ) 1 1 cos ( ) 1 tg ( ) 80

81 Identità Goniometriche 1/ M. Mozzanica 81

82 Identità Goniometriche / M. Mozzanica 8

83 Formule Parametriche Razionali M. Mozzanica 83

84 Relazioni tra funzioni goniometriche di uno stesso angolo M. Mozzanica 84

85 Formule di Triplicazione e oltre M. Mozzanica 85

86 Funzione Seno 1/ Funzione y=sin() Periodo π Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi) Simmetria dispari Crescente per 0 π/ e per 3/π < π Decrescente per π/ 3/π Concava 0 π Convessa π < π 86

87 Funzione Seno / Particolari valori sin( 0) 0 sin 4 sin 1 sin 6 sin Valori uguali sin( ) sin( ) Valori opposti sin( sin( ) sin( ) ) sin( ) 87

88 Funzione Coseno 1/ Funzione y=cos() Periodo π Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi) Simmetria pari Crescente per π < π Decrescente per 0 π Concava per 0 π/ e per 3/π < π Convessa π/ < 3/π 88

89 Funzione Coseno / Particolari valori cos( 0) cos 4 os 1 0 cos 6 cos Valori uguali cos( ) cos( ) Valori opposti cos( cos( ) cos( ) ) cos( ) 89

90 Funzione y=tan() Periodo π. Si studia tra 0 e π Illimitata Simmetria dispari Crescente per π/ Concava per π/ < π Convessa per 0 < π/ Funzione Tangente 1/ 90

91 Funzione Tangente / Particolari valori tan( 0) tan tan 6 tan Valori opposti tan( ) tan( ) 91

92 Equazioni/Disequazioni Goniometriche sin( ) 1 0 4sin ( ) 8sin( ) 3 0 cos ( ) cos( ) 0 sin( ) cos( ) 0 9

93 Funzione Arco-seno Viene operato un taglio in [-π/, +π/] per poter invertire la funzione per cui: arcsin( ) : 1,1, 93

94 Funzione Arco-coseno Viene operato un taglio in [0, π] per poter invertire la funzione per cui: arccos( ) : 1,1 0, 94

95 Funzione Arco-tangente Viene operato un taglio in [-π/, π/] per poter invertire la funzione per cui: arctan( ) : R, 95

96 Grafico y= f() Notiamo: y Grafici Riconducibili 1/9 f() se f() 0 f ( ) -f() se f() 0 La parte del grafico corrispondente a valori negativi della funzione (sotto l asse delle ) viene simmetrizzata rispetto all asse delle ascisse. La parte del grafico corrispondente a valori positivi della funzione viene lasciata invariata. 96

97 Grafici Riconducibili /9 Grafico y=f( ) Notiamo: y f ( ) f() f( se 0 ) se 0 Per le positive o nulle il grafico coincide con quello di f() per quelle negative il grafico è il simmetrico di quello per le positive rispetto all asse delle y (ordinate). 97

98 Grafici Riconducibili 3/9 Grafico y=f()+b Il grafico presenta una traslazione di b lungo l asse delle y. b=-3 b= 98

99 Grafici Riconducibili 4/9 Grafico y=a f() se a>0 se a>1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore a lungo l asse delle y se 0<a<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore a lungo l asse delle y a= a=0.5 99

100 Grafici Riconducibili 5/9 Grafico y=a f() se a<0 se a=-1 il grafico è ottenuto da quello di f() attraverso una simmetria assiale rispetto all asse delle (ascisse) se a<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore a lungo l asse delle y, composto con la simmetria (assiale) rispetto all asse delle ascisse se -1<a<0 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore a lungo l asse delle y, composto con la simmetria (Assiale) rispetto all asse delle ascisse a=-0.5 a=-1 a= 100

101 Grafici Riconducibili 5b/9 a=-0.5 a=-1 a= 101

102 Grafico y= f(+c) Grafici Riconducibili 6/9 Il grafico presenta una traslazione di c lungo l asse delle c=+ c=- 10

103 Grafici Riconducibili 7/9 Grafico y=f(d) se d>0 se d>1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/d lungo l asse delle se 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/d lungo l asse delle d= d=

104 Grafici Riconducibili 8/9 Grafico y=f(d) se d<0 se d=-1 il grafico presenta una simmetria assiale (asse delle y) rispetto al grafico originale se d<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/ d lungo l asse delle, composta con la simmetria assiale rispetto all asse delle y se 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/ d lungo l asse delle, composta con la simmetria assiale rispetto all asse delle y d=-1 d=- d=

105 Grafici Riconducibili 8b/9 d=-1 d=-0.5 d=- 105

106 Grafici Riconducibili 9/9 Grafico y=f(d). Caso funzioni goniometriche (o periodiche). Supponiamo d>0. Il valore d va a modificare il periodo della funzione f. Precisamente se il periodo della funzione f è T, il grafico della funzione y=f(d) presenta un periodo T =T/d. Se d<0 alla variazione di periodo indicata sopra va aggiunta la simmetria rispetto all asse y. Es. y=sin() ha periodo T=π. La funzione y=sin() ha periodo T = π La funzione y=sin(/) ha periodo T = 4π y=sin() y=sin(/) y=sin() 106

107 Grafici Riconducibili 9b/9 y=sin(/) y=sin() y=sin() 107

108 Grafici Riconducibili Composti 1/ Grafico y= f(-1) y=f((-1/)) rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l asse delle seguito da una traslazione di +1/ lungo l asse delle. y=f() y=f(-1) 108

109 Grafici Riconducibili Composti / Grafico y= - f(+)+1 y=- f((+1)) +1 rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l asse delle seguito da una traslazione di -1 lungo l asse delle seguito da una simmetria rispetto l asse delle seguito da una dilatazione di fattore lungo l asse delle y seguito da una traslazione di +1 lungo l asse delle y y=f() y=f(+) y=-*f(+)+1 109

110 Confronto Grafico 1/ Equazione: f()=g() Disequazione: f()>g() [f()<g()] Si tenga conto del grafico di y=f() e del grafico di g() e poi se ne operi un confronto quantitativo e, ove non è possibile, qualitativo. Es. sin()-cos()>0 sin( sin( ) ) cos( ) y y y cos( ) 1 1 sin( ) cos( ) y S R :

111 Confronto Grafico / Es. ln()->0 ln( ) y1 ln( ) y y1 y S Es. ln()+>0 ln( ) y1 ln( ) y y1 y ln()=- ammette un unica soluzione 0 : 0< 0 <1 0 ~ S R : 0 111

112 Trasformazioni :Riassunto Sulla Funzione Sull argomento f () f ( ) f () f ( ) f ( ) a f ( a) a f () f ( a ) 11

113 Appende A - Polinomi M. Mozzanica 113

114 Appendice A Eq. Diseq. Algebriche M. Mozzanica 114

115 Appendice A - Geometria Analitica M. Mozzanica 115

116 Appendice A - Geometria Analitica M. Mozzanica 116

117 Appendice A - Geometria Analitica M. Mozzanica 117

118 Appendice B Divisione Polinomi (algoritmo euclideo) La divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il dividendo sia di grado maggiore od uguale a quello del divisore. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili. N( ) R( ) Q ( ) D( ) D( ) Q() : quoziente R() : resto Se: n : grado di N() ; d : grado di D() ; q : grado di Q() ; r : grado di R() n d q n d r d N( ) Q( ) D( ) R( ) 118

119 Appendice B Divisione Polinomi

120 Appendice B Divisione Polinomi 10

121 Appendice C Teorema del resto e teorema di Ruffini Assumiamo il divisore di primo grado del tipo (-a) P( ) r Q ( ) ( a) ( a) P( ) Q( )( a) r Teo. (Del Resto) Nella divisione del polinomio P() per (-a) il resto è determinato da P(a) Dim. Dalla relazione precedente P( ) Q( )( a) r P( a) Q( a)( a a) r r Teo. (di Ruffini) Condizione necessaria e sufficiente affinché P() sia divisibile per il binomio (-a) è che P(a)=0 Dim. (Cond. Suff. ) P( ) divisibile per ( - a) r 0 P( a) 0 Dim. (Cond. Nec. ) P( a) 0 r 0 P( ) divisibile per ( - a) 11

122 Appendice C Regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma (-a) 3 P( ) 5 6 D( ) P() Q ( ) 3 1

123 Appendice C Regola di Ruffini 13

124 Appendice D Prodotti Notevoli 14

125 Appendice D Fattorizzazione Polinomi Raccoglimento Semplice Scomposizione Binomi : differenza quadrati a b a b a b ( )( ) 15

126 Appendice D Fattorizzazione Polinomi a b ( a b)( a ab b ) Somma e Differenza di Cubi a b ( a b)( a ab b ) 16

127 Appendice D Fattorizzazione Polinomi Scomposizione trinomi Quadrati Binomi a ab b ( a b) a ab b ( a b) Trinomi Particolari 17

128 Appendice D Fattorizzazione Polinomi Scomposizione quadrinomi Raccoglimento parziale Cubi di Binomi 18

129 Appendice D Fattorizzazione Polinomi Scomposizione quadrinomi Differenza di quadrati 19