L P + 2 S P A B P. + 2 S z. B L z. + S z. B J z. Effetto Zeeman anomalo. Introduzione

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1 Effetto Zeeman anomalo Introduzione Abbiamo visto come l interazione spin-orbita rimuova solo parzialmente la degenerazione rispetto al momento angolare totale P J che rimaneva anche dopo aver tenuto conto dell interazione elettrostatica residua La degenerazione è rimossa parzialmente sia nello schema l-s che nello schema j-j Nel primo schema applichiamo prima l interazione elettrostatica residua, che da origine a degli stati che sono autostati di L S L z S z (perché l Hamiltoniana completa commuta con questi operatori) Poi, per applicare lo spin-orbita, si cambia base, passando all autobase comune di L S J J z, in cui lo spinorbita è diagonale (si usa il teorema di Wigner-Echart per trasformare l interazione da P l i A P s i a L P A S P, e poi, sviluppando J, si arriva a esprimerla con L S J ) Lo spin-orbita rimuove la degenerazione rispetto a J, ma rimane la degenerazione rispetto a J z, che è pari a J+ Vogliamo studiare che succede se l atomo è immerso in un campo magnetico costante (effetto Zeeman) Faremo questo studio nello schema l-s Termine di interazione col campo magnetico Dunque il momento angolare totale e lo spin totale si accoppiano con il campo magnetico esterno, dando origine ad un un termine di interazione Abbiamo già studiato questo termine di interazione nel caso di un atomo idrogenoide (vedi), ottenendo la seguente espressione per questo termine di interazione (i momenti angolari sono misurati in unità S, µ B è il magnetone di Bohr) : µ B L P + S P A B P (termine di interazione) Se supponiamo che il campo magnetico ha componente solo lungo z il termine diventa : µ B B L z + S z µ B B L z + S z + S z µ B B J z + S z Se supponiamo che prima di applicare questa perturbazione abbiamo applicato la perturbazione di spin-orbita al sistema, gli stati del sistema sono rappresentati nell autobase comune degli operatori L S J J z, e dunque in

2 questa base l operatore S z non è diagonale! Per ovviare a ciò possiamo utilizzare il teorema di Wigner Eckart (vedi) Infatti le componenti dello spin totale hanno delle regole di commutazione col momento angolare totale tali da soddisfare le ipotesi del teorema di Wigner Eckart Si ottiene che L S J S z L S J k L S J J z L S J k dove k è l elemento di matrice ridotto Allora l interazione diventa µ B B J z (+k) e quindi la correzione è µ B B (+k) (correzione, forma implicita) La questione è a questo punto quella di calcolare l elemento di matrice ridotto Calcolo dell elemento di matrice ridotto Consideriamo il seguente elemento di matrice : L S J S P A P J L S J L S J S x J x + S y J y + S z J z L S J Se applichiamo il teorema di Wigner Eckart a tutt e tre le componenti dello spin totale, sappiamo che l elemento di matrice ridotto è uguale per tutte e tre, ed uguale a quello scritto poco prima per S z e che stiamo cercando di calcolare Possiamo mettere in evidenza l elemento di matrice ridotto, ottenendo : k L S J J x J x + J y J y + J z J z L S J k L S J J L S J k J(J+) Per conoscere l elemento di matrice ridotto calcoliamo questo elemento di matrice anche in un altro modo, più diretto Utilizziamo un altro modo di esprimere il prodotto scalare in questione :

3 3 S P A P J S P A L P + S P L P A S P + S Ma J J x + J y + J z L x + S x + L y + S y + L z + S z L x + S x + L x S x + L y + S y + L y S y + L z + S z + L z S z L + S + L P A S P da cui Dunque L P A S P J L S (questa relazione l abbiamo usata anche nello studio dell interazione di spin-orbita, vedi) S P A P J L P A S P + S J L S + S J L + S Dunque, l elemento di matrice è L S J S P A P J L S J L S J J L + S L S J J J + L L + + S S + Uguagliando i due risultati ottenuti nei due modi diversi si ha :

4 k J J + J J + L L + + S S + da cui k J J + L L + + S S + J J + Andando a sostituire questo nell espressione della correzione trovata prima, otteniamo : B µ B + k B µ B + J J + L L + + S S + J J + B µ B g (correzione dovuta al campo magnetico) dove g viene detto fattore di Landé Vediamo che se lo spin totale è nullo, si ha S, e JL, e quindi g Se invece L si ha JS, la frazione vale, e quindi g Questi risultati sono coerenti col fatto che il fattore giromagnetico per il momento angolare orbitale vale, mentre per lo spin vale Tuttavia, in generale, quando sono non nulli sia il momento angolare orbitale che lo spin, il fattore di Landé è un numero non intero, e non costante Dunque, a differenza dell effetto Zeeman per atomo idrogenoide (effetto Zeeman normale ), l intervallo in energia dei livelli non è costante Questo ha delle conseguenze sullo spettro dei livelli energetici, e quindi sulle righe di emissione dell atomo immerso in un campo magnetico Bisogna dire che è determinante il fatto che stiamo applicando questa perturbazione sui livelli già perturbati dall interazione di spin-orbita Richiami sull effetto Zeeman normale La situazione che abbiamo in questo caso è diversa da quella che abbiamo visto per l atomo idrogenoide (effetto Zeeman normale, vedi) Infatti in quel caso, applicavamo la perturbazione del campo magnetico direttamente sugli autostati imperturbati (e degeneri rispetto a L, S e J ) di atomo idrogenoide Dunque potevamo usare l espressione in L z e S z della perturbazione, in quanto entrambi questi operatori erano diagonali Allora la correzione era µ B B (m l + m s ), e poiché sia m l che m s variano di un unità alla volta, ottenevamo

5 5 dei livelli equispaziati Cosiderando poi le regole di selezione, in quel caso si avevamo solo tre righe di emissione (tripletto di Lorentz) Per maggiori dettagli vedi studio dell effetto Zeeman per atomo idrogenoide Notiamo anche che in presenza di un campo magnetico forte (dell ordine di Z ), il termine di interazione col campo magetico diventa maggiore del termine di interazione spin-orbita e dunque torniamo ad una situazione simile a quella appena descritta per l atomo idrogenoide, e cioè al cosiddetto effetto Zeeman normale In quel caso si parlerà di effetto Pashen-Back Effetto Zeeman anomalo Il caso più frequente è quello in cui dobbiamo applicare le correzioni dovute al termine di interazione col campo magnetico dopo quelle dello spin-orbita In tal caso la correzione ai livelli energetici, che contiene il fattore di Landè, è tale per cui i livelli che ne risultano non sono più equispaziati, come succedeva per l effetto Zeeman normale In altre parole, anche nel caso in esame l interazione col campo magnetico rimuove la degenerazione rispetto a J z, ma a differenza dell effetto Zeeman normale, viene rimossa in maniera diversa per ciascuno dei livelli Questo si vede dal fatto che il fattore di Landé è una funzione di J, di L e di S Riguardo poi alle righe di emissione, l effetto Zeeman anomalo produce dei multipletti di righe, anzicché il tripletto di Lorentz Per illustrare l effetto Zeeman anomalo, studieremo l esempio dell atomo di Sodio Riepilogo sui livelli energetici Il sodio è un metallo alcalino, e come tutti i metalli alcalini ha un solo elettrone nella shell più esterna (elettrone ottico) In particolare, nello stato fondamentale, quest unico elettrone sta nella sottoshell 3s, che è due volte degenere Possiamo poi considerare degli stati eccitati del sodio nei quali questo elettrone si trova nella sottoshell 3p, la cui degenerazione è (@+) 6 Sappiamo che per un Hamiltoniana con potenziale coulombiano tutti gli stati di entrambe le sottoshell avrebbero la stessa energia (vedi) Dunque in quel caso è tutta la shell che ha un unico livello 8 volte degenere (vedi) L elettrone ottico dei metalli alcalini risente di un potenziale che è quello coulombiano del nucleo, ma schermato dagli elettroni interni, e quindi globalmente è un potenziale non centrale Lo si divide in un potenziale centrale, ma non coulombiano (che si trova con i metodi di Thomas-Fermi o di Hartree-Fock), e una parte non sferica, detta interazione elettrostatica residua Il fatto che il potenziale centrale sia non coulombiano risolve la degenerazione rispetto a l

6 6 L interazione elettrostatica residua risolve ulteriormente la degenerazione Bisogna prima passare dalla rappresentazione delle configuarazioni alla rappresentazione dei termini (vedi) I termini sono un modo per rappresentare gli stati che tiene conto dei numeri quantici dei momenti angolari totali (orbitale e di spin) L interazione elettrostatica residua separa in energia i termini con diverso valore di L ed S Rimane comunque una certa degenerazione Notiamo che, riguardo all atomo di sodio, poiché consideriamo solo l elettrone ottico, i momenti angolari totali coincidono con quelli di singola particella Infatti poiché sappiamo che la correzione elettrostatica residua è nulla sulle sottoshell complete, teniamo conto solo delle sottoshell incomplete, e dunque totale si riferisce solo alle sottoshell incomplete Successivamente, applicando la perturbazione dovuta all interazione di spin-orbita, otteniamo un ulteriore separazione in energia, in base al valore del modulo quadro del momento angolare totale P J - Livelli dovuti all interazione elettrostatica residua - La sottoshell 3s è cartterizzata dal valore L, mentre lo spin vale S/, e quindi la molteplicità di spin è Notiamo che c è un unico elettrone, e quindi i momenti angolari totali, orbitale e di spin, coincidono con quelli della singola particella Allora il termine corrispondente è uno solo, e cioè P La degenerazione di questo livello è 3 (spin) 6 La sottoshell 3p è cartterizzata dal valore L, mentre lo spin vale S/, e quindi la molteplicità di spin è Allora il termine corrispondente è uno solo, e cioè S La degenerazione di questo livello è (spin) Dunque l interazione elettrostatica residua produce un solo livello energetico per ognuna delle sottoshell Riguardo alla degenerazione, se tenessimo conto anche della terza sottoshell, la 3d, che completa la shell, la quale ha L, e quindi degenerazione (@+), avremmo una degenerazione totale di +6+8, coerente col conto precedente - Livelli dovuti all interazione spin-orbita - L interazione di spin-orbita separa ulteriormente in energia i termini, assegnando energie diverse ai termini che hanno diversi valori del momento angolare totale, somma di quello angolare e di spin Per il termine S si ha L, S/, e poiché il teorema di addizione dei momenti angolari dice che il (modulo quadro del) momento angolare totale va da L-S -/ / a L+S +/ /, c è un solo valore possibile per J, e cioè J / Invece, per il termine P si ha L, S/, quindi J va da L-S -/ / a L+S +/ 3/, e dunque si hanno due distinti livelli energetici

7 7 Ordinamento Riguardo ai due livelli superiori, che originano dalla sottoshell 3p, poiché la sottoshell è meno che semipiena, il livello con J/ sarà più basso in energia di quello con J3/ (vedi qui e qui) Da notare inoltre che il fatto che il termine S è più basso in energia del P non è in contraddizione con la seconda regola di Hund (vedi), in quanto sono termini che hanno origine da due sottoshell diverse (il prof dice configurazioni anzicché sottoshell ) In definitiva, tenuto conto dell interazione elettrostatica residua e di spin-orbita, ecco uno schema dei livelli energetici : 3p { P 3/ P / 3s S / I due livelli superiori provengono dalla sottoshell 3p, mentre quello inferiore proviene dalla sottoshell 3s Spettro di emissione Se l elettrone ottico viene eccitato dalla sottoshell 3s alla sottoshell 3p, può trovarsi in stati con due possibili energie Allora diseccitandosi può emettere due diverse frequenze, corrispondenti al famoso doppietto del sodio Per la cronaca le due lunghezze d onda sono λ 589 Å e λ Å Effetto Zeeman per il sodio Vediamo che succede a questi livelli energetici, e quindi come cambia lo spettro di emissione, se applichiamo all atomo un campo magnetico uniforme La correzione dovuta al termine di interazione col campo magnetico, calcolata in precedenza (vedi), è B µ B g L S J dove g L S J è detto fattore di Landé, e vale g L S J + J J + L L + + S S + J J + Calcoliamo il valore del fattore di Landé per i vari livelli : Termine P 3/

8 8 si ha L, S/ e J3/, e dunque g Ma la correzione dipende anche da che, per questo termine, essendo J3/, può assumere i valori {3/, /, -/, -3/} Dunque, l unico livello energetico del termine P 3/ viene splittato dal campo magnetico in quattro livelli corrispondenti alle seguenti quattro correzioni µ B B /3 µ B B -/3 µ B B - µ B B Termine P / Per questo termine si ha L, S/ e J/, e dunque g Inoltre, essendo J/, può assumere i valori

9 9 {/, -/} Dunque, l unico livello energetico del termine P 3/ viene splittato dal campo magnetico in due livelli corrispondenti alle seguenti quattro correzioni /3 µ B B -/3 µ B B Termine S / Per questo termine si ha L, S/ e J/, e dunque g Inoltre, essendo J/, può assumere i valori {/, -/} Dunque, l unico livello energetico del termine P 3/ viene splittato dal campo magnetico in due livelli corrispondenti alle seguenti quattro correzioni µ B B - µ B B Dunque possiamo tracciare uno schema dei livelli energetici :

10 correzioni P 3/ { 6/3 /3 -/3-6/3 P / { /3 -/3 S / { - Sulla destra sono segnate le correzioni, in unità µ Β B Notare che la separazione dei livelli è pari a g µ Β B, in quanto varia di un unità alla volta Sussiste la relazione ω L B µ B S dove ω L è detta frequenza di Larmor Spettro di emissione Le regole di selezione, nell approssimazione di dipolo elettrico, permettono solo le transizioni per le quali S ; J± ;, ± (?) riguardo all ultima sembra esserci una contraddizione con quanto studiato in seguito (vedi regole di selezione di dipolo elettrico) ma forse la cosa si risolve considerando il caso di polarizzazione circolare Lo Spin è / per tutti i livelli, e per le transizioni tra i livelli P e i livelli S si ha J Ma ci sono due di queste transizioni che non soddisfano l ultima regola, quella rispetto a, e quindi non sono permesse Per vedere quali, riportiamo lo schema dei livelli indicando accanto a ciascuno il valore di :

11 MJ P 3/ { 3/ / -/ -3/ /3 S ω L P / { / -/ /3 S ω L S / { / -/ S ω L Vediamo che sono proibite le transizioni tra il livello più alto del termine P 3/ e quello più basso del termine S / e tra il livello più basso del termine P 3/ e quello più alto del termine S /, perche avrebbero un rispettivamente di - e In basso sono riportate le righe spettrali Poiché, come notato prima, e come riportato nello schema, la separazione dei livelli è diversa a seconda del termine da cui originano, le frequenze emesse da ogni transizione sono diverse In particolare l effetto Zeeman anomalo consiste per il sodio nello splittare la prima riga del doppietto in quattro, e la seconda in sei Commento sull effetto Zeeman anomalo L effetto Zeeman anomalo è una evidenza sperimentale dell esistenza dello spin Infatti se lo spin fosse nullo, come osservato prima, il fattore di Landé varrebbe, coincidendo col fattore giromagnetico del momento angolare orbitale In tal caso si osserverebbe l effetto Zeeman normale, ossia il tripletto di Lorentz Effetto Paschen - Back Se applichiamo un campo magnetico abbastanza forte, il termine di interazione col campo magnetico diventa più grande del termine di interazione spin-orbita In questo caso si riottiene l effetto Zeeman normale Infatti, applichiamo prima le correzioni dovute al termine di interazione col campo magnetico, ottenendo lo schema dei livelli dell effetto Zeeman normale Quando successivamente applichiamo le correzioni dovute allo spin-orbita, queste, essendo uguali per tutti gli

12 elementi di uno stesso termine, non alterano lo schema Effetto di campo intermedio Quando i due termini di interazione di spin-orbita e di interazione col campo magnetico sono dello stesso ordine di grandezza, abbiamo una situazione intermedia tra l effetto Zeeman anomalo e il caso di campo magnetico forte In questo caso intermedio non è possibile valutare la correzione dovuta ad un termine, e sugli autostati corretti, cambiando rappresentazione, quelle dovuta all altro Occorre valutare contemporaneamente la perturbazione di entrambi i termini Poiché, come abbiamo visto studiandoli, i due termini di interazione in questione non ammettono un autobase comune, dovremo utilizzare la teoria delle pertrbazioni per stati degeneri Per semplicità tratteremo solo i metalli alcalini, modellizzandoli come un solo elettrone che risente di un potenziale centrale medio L Hamiltoniana di un tale sistema è dunque costituita da una parte imperturbata : H P m e V r e da una perturbazione formata dai due termini di interazione di spin-orbita, e di interazione col campo magnetico : W W + W e S m c r d V r d r + B µ B L z + S z A questo punto dobbiamo scegliere in che base rappresentare gli stati, cioè quale delle due perturbazioni rendere diagonale Scegliamo l autobase comune a L S L z S z Se fissiamo L e S (termini) gli stati sono caratterizzati dagli autovalori di L z e S z, e cioè M L e M S : L S M L M S Poiché stiamo trattando un sistema ad un solo elettrone, lo spin totale è sempre /, e dunque la molteplicità di spin è sempre x / + Fissato L, per ogni valore di M L si hanno due possibili stati, caratterizzati dai due valori M S ±/ : L S M L M S L S M L M S

13 3 Siccome però dobbiamo trattare anche lo spin-orbita, che è diagonale su L S J J z, ci conviene esprimere M L in funzione di, utilizzando la relazione M L + M S M L M S, e quindi i due stati di prima (i due stati di ogni termine, caratterizzati dallo stesso valo re di M L ) li rappresenteremo così : L, S, M, S L, S, M +, S Ripetiamo che questi sono i due stati corrispondenti alla sola degenerazione di spin, e cioè quelli caratterizzati dallo stesso valore di L, di S, e di M L Ma fissare M L equivale a fissare, poiché fissato S i due sono legati univocamente Notiamo che tramite i coefficienti di Clabsh-Gordan potremmo passare da questi autovettori agli autovettori di J e J z Ma in questo studio siamo interessati solo agli autovalori, e non all espressione degli autovettori Vediamo adesso come sono rappresentati, in questo sottospazio a due dimensioni, i due termini di interazione Il termine di interazione col campo magnetico è diagonale, perché contiene L z e S z Invece il termine di spin-orbita, contenendo il prodotto sclare, e quindi anche L x L y S x e S y non è diagonale Calcoliamo esplicitamente le rappresentazioni dei due termini, calcolando per ognuno i quattro elementi di matrice Per il termine di interazione col campo magnetico è semplice, perché, essendo funzione solo di L z e S z, gli elementi di base sono suoi autovettori, e quindi, essendo ortonormali, si ha la seguente rappresentazione : B µ B M L + M S M L + M S B µ B M S + M S M S + M S M B µ J + B + +

14 B µ B + Vediamo ora il termine di spin-orbita Cominciamo con lo sviluppare il prodotto scalare : L P A S P L S + + S L + + L z S z Vediamo l azione sui due vettori di base Se questo operatore agisce sul primo vettore, che indichiamo con,, la prima coppia di operatori gradino, che contiene S +, lo annichila, perché lo spin è massimo Per l azione della seconda coppia di operatori gradino bisogna ricordare il valore della costante di normalizzazione relativa all azione dell operatore L +, che è L L + M L M L + (vedi) con la convenzione di misurare i momenti angolari in unità S Nel nostro caso possiamo riscrivere questa costante come L L + + L + L L + L azione del terzo termine è banale, in quanto il vettore ne è un autovettore In definitiva si ha L P A S P, + L L + M L M L + +, + + M L M S, L + +, +, Sul secondo vettore si ha che il primo prodotto di operatori gradino genera una costante di normalizzazione pari a L L + M L M L che nel nostro caso assume lo stesso valore precedente

15 5 L L + + L + L L + Il secondo prodotto di operatori gradino annulla il vettore, mentre il terzo è diagonale In definitiva si ha L P A S P +, L +, + + +, Allora, posto e S I d V r m c d r r R n l r dr dove R n l (r) è la parte radiale degli autostati, la matrice rappresentativa del termine di interazione col campo magnetico, tenendo conto dell ortonormalità dei vettori di base, è : L + L + A questo punto, avendo ottenuto la rappresentazione delle due perturbazioni, possiamo applicare la teoria delle perturbazioni per stati degeneri Controllo sull indipendenza dei risultati dalla rappresentazione Prima (o invece?) di proseguire col calcolo delle correzioni, facciamo a questo punto un controllo per vedere se il risultato ottenuto per la perturbazione di spin-orbita è o meno coerente con quello ottenuti studiandola nella base in cui è diagonale, e cioè l autobase di L S J e J z In altre parole diagonalizziamo la matrice che rappresenta il solo termine di spin-orbita nella base che abbiamo usato questa volta (che non è la base che abbiamo usato per studiarlo in precedenza, in cui questo termine è diagonale) : L + L + L equazione agli autovalori (equazione secolare) è : x M x L + J L +

16 6 + x M + + x L + J + x + L + + x + x L + x ± L + ± L + _ + L + ` L L L + Dunque, se ci mettiamo nell autobase di questa matrice, il termine di spin-orbita è diagonale, e le correzioni sono proprio questi due autovalori Sappiamo che l interazione di spin-orbita non può dipendere dalla componente z del momento angolare, e infatti queste correzioni sono indipendenti da Andiamo a confrontare questi risultati con quelli ottenuti a suo tempo studiando lo spin-orbita nella base L S J J z, in cui è diagonale (vedi) In quel caso abbiamo ottenuto per la correzione l espressione : J J + L L + S S + Nel nostro caso lo spin vale S/, e dunque il teorema di addizione dei momenti angolare dice che J ± / Allora, se scegliamo il segno + la correzione è : L + L + 3 L L + 3 L + L + 3 L + 3 L L 3 L mentre se scegliamo il segno - si ha L L + L L + 3 L + L L L L 3 L +

17 7 Dunque riotteniamo esattamente gli stessi due risultati, come deve essere, indipendentemente dalla rappresentazione Notiamo che, secondo quanto visto a proposito dell ordinamento in energia dei livelli ottenuti dalla perturbazione di spin-orbita (vedi e vedi) Infatti la sottoshell è meno che semipiena, il multipletto deve essere normale e cioè ordinato in energia per J crescenti E infatti il livello corrispondente al J più basso (L-/) è più basso in energia Caso generale : campo magnetico di intensità qualunque Avendo trattato separatamente i tre casi in cui l interazione spin-orbita è maggiore dell interazione col campo magnetico (effetto Zeeman anomalo), quello in cui l interazione col campo magnetico è maggiore dell interazione spin-orbita (effetto Paschen Back) e il caso intermedio, possiamo adesso trattare un caso generale, in cui il campo magnetico ha un intensità qualunque Inoltre vogliamo vedere come i due casi limite si riottengano a partire da questo caso generale Consideriamo dunque complessivamente la perturbazione, cioè la somma dei due termini di interazione di spinorbita e di interazione col campo elettrico : L + M J L + M J + B µ B + M J + B µ M B J + L + M J L + M J M + J + B µ M B J A questo punto applichiamo la teoria delle perturbazioni per stati degeneri (vedi, in particolare vedi il commento alla fine del caso autovalori degeneri, dialogo con Alessandro) Dunque si tratta di trovare i due autovalori di questa matrice L equazione agli autovalori è : M J + B µ B + x M + J + B µ B x L + + B µ M B J M J x B µ B M + J + + B µ B B µ B + x + M + J x B µ B x + x

18 8 L + raggruppando e riordinando x + M J B µ B + + M + J B µ B x + B µ M B J B µ B M + J L + x + + B µ M B J + B µ M B J + x [ ] Le due soluzioni sono + B µ M ± B J L + + B µ M + B B µ J B Che rappresentano dunque le due correzioni Notare che L può variare, e questo rimuove la degenerazione dei due livelli Ritrovare i due casi limite Vogliamo verificare che questo caso generale restituisce i risultati dei due casi limite (effetto Zeeman anomalo e effetto Paschen-Back) se uno dei due termini della perturbazione è trascurabile Se il termine di interazione col campo magnetico è trascurabile rispetto allo spin-orbita, dovremmo ritrovare l effetto Zeeman anomalo Ed infatti in questo caso si ha B µ Β << e quindi nell espressione delle correzioni possiamo trascurare il terzo termine sotto la radice, usando l espressione approssimata + B µ B ± L + + B µ B dopodiché divido e moltiplico tutto il radicando per il primo termine, e poi lo porto fuori della radice :

19 9 + B µ B ± L + + B µ M B J L + + B µ B ± L + + B µ B L + A questo punto sviluppiamo in serie di Tailor intorno allo zero la radice rispetto a B µ Β / (che è piccolo) Posto si ha : ε / B µ B + L + ε / ï + L + ε / ε + + L + ε / L + ε ε + L + ε e dunque la correzione è δ E + B µ B ± L + + B µ B L + + B µ B ± L + ± B µ B L + Sviluppiamo nei due casi : δ E + + B µ M + B J L + + B µ M B J L + L + B µ B + L + L + B µ B L + L +

20 δ E + B µ M B J L B µ M B J L + L + + B µ B L + L + + B µ B L L + Ricordiamo adesso l espressione della correzione per l effetto Zeeman anomalo (vedi) : B µ B + J J + L L + + S S + J J + Calcolando il fattore di Landé nei due casi in questione, e cioè per S±/ e dunque JL±/ si ha g L L + L L + L L L L + + L L L L + 3 L + L L L + L L + L + e dunque la correzione è proprio δ E B µ B L L + Analogamente, anche per JL+/ si ottiene lo stesso risultato : δ E + B µ B L + L + Quindi in entrambi i casi, nel limite in cui l interazione col campo magnetico è molto più piccola dell interazione di spin orbita, è possibile considerare prima la perturbazione di spin-orbita, agente sugli stati corretti dalla sola interazione elettrostatica residua, e dopo la perturbazione dovuta al campo magnetico, riottenendo i risultati dell effetto Zeeman anomalo Vediamo adesso l altro caso limite, e cioè il caso in cui l interazione col campo magnetico è molto minore di quella di spin-orbita, in cui si dovrebbe riottenere l effetto Paschen-Back Sebbene sia possibile fare uno sviluppo in serie, come nell altro caso limite, i conti sono un pò complicati

21 Allora possiamo trattare questo caso limite escludendo brutalmente il termine di interazione di spin-orbita (che se fatta agire prima corregge i livelli mantenendone la struttura Dunque rimane come unico termine perturbativo quello di interazione col campo magnetico : B µ B L z + S z Infine, vediamo uno schema dei livelli : + np J3/ / 3/ / -/ -3/ + J/ - / -/ - + spin-orbita campo magnetico debole campo magnetico forte I numeri sulla destra dei livelli indicano le correzioni, in unità, rispetto al livello np iniziale In particolare per gli ultimi livelli, i numeri sulla destra sono i valori di M L +M S Come succedeva in precedenza, lo stato centrale, con correzione nulla, è due volte degenere Notiamo che quando abbiamo studiato in precedenza l effetto Paschen-Back, abbiamo considerato sia gli stati s che gli stati p, mentre adesso stiamo considerando solo stati p Gli stati ottenuti invece dal campo magnetico piccolo non sono degeneri, cioè il campo magnetico piccolo rimuove completamente la degenerazione (effetto Zeeman anomalo) E istruttivo ricavare un grafico dell andamento della perturbazione in funzione di B