Il tubo di Pitot in correnti incomprimibili

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1 PARTE 15 09/06/01 - PITOT-01 Il tubo di Pitot in correnti incomprimibili Indice 1. Principio di funzionamento pag Misura della pressione totale Misura della pressione statica Collocazione delle prese di pressione sul Pitot Uso del tubo di Pitot Uso del tubo di Pitot negli strati limite sottili Il tubo di Pitot è uno strumento che, note la direzione ed il verso locali della corrente e la densità del fluido, consente di rilevare il modulo del vettore velocità locale, attraverso le misure della pressione totale P tot e della pressione statica p. P V E' uno strumento di buona affidabilità e ottima precisione, ma inadatto alla misura della velocità istantanea in correnti fortemente non stazionarie o turbolente. I tempi di risposta della catena di misura delle pressioni (prese, canalizzazioni e trasduttore o manometro) sono infatti piuttosto elevati e la risoluzione spaziale è modesta (il volume di misura è difficilmente inferiore a qualche decina di millimetri cubici). 1 - Principio di funzionamento Il funzionamento del tubo di Pitot si basa sulla definizione di pressione totale che, in un determinato punto del campo di moto P ( x, y, z) ed in un determinato istante t è data dalla somma della pressione statica p e della pressione dinamica: P tot ( x,y,z,t) = p( x,y,z,t) ρv 2 ( ) x,y,z,t ( ) (1.1)

2 che viene generalmente riscritta per semplicità nella forma: P tot = p + 1 ( 2 ρv 2 ) (1.2) omettendo di indicare esplicitamente la dipendenza dal punto e dall'istante di tempo. E' evidente che, qualora di due grandezze siano note la somma (la pressione totale) ed il valore di una di esse (la pressione statica), è immediato ricavare il valore della seconda, ovvero della pressione dinamica: 1 ( 2 ρv 2 ) = P tot p e da questa, se è nota la densità del fluido, il modulo della velocità: V = 2( P tot p) ρ (1.3) Altrettanto evidente è il fatto che, dal momento che il tubo di Pitot viene necessariamente impiegato in correnti di fluidi viscosi il cui atto di moto è, altrettanto necessariamente, rotazionale (non fosse che per la presenza di uno strato limite sulla superficie del Pitot stesso) non sussiste, in generale, alcuna delle ipotesi di validità del teorema di Bernoulli. Il problema della misura del modulo della velocità in un punto P del campo di moto, all'istante t, si riconduce quindi a quello della misura delle pressioni totali e statica della corrente, nel medesimo punto ed istante temporale. La corretta misura di tali pressioni non è però del tutto banale e richiede che vengano rispettate alcune condizioni riportate nel seguito. 2 - Misura della pressione totale La misura della pressione totale di una corrente, in un suo punto P, non pone particolari problemi nel caso di correnti incomprimibili ad elevato numero di Reynolds. Infatti, se il numero di Mach è sufficientemente piccolo da garantire, non solo la completa assenza di onde d'urto, ma anche l'effettiva trascurabilità degli effetti locali della comprimibilità e, al contempo, il numero di Reynolds è sufficientemente elevato, la conversione dell'energia cinetica della corrente in pressione, che si verifica al punto d'arresto (o di ristagno) avviene in spazi e tempi così ridotti da potersi ritenere con ottima approssimazione isoentropica ed adiabatica. Se tali condizioni sono verificate, la pressione totale che si rileva con una presa di pressione collocata in un punto di ristagno coincide quindi effettivamente Parte 15 - Pag. 1

3 con la pressione totale della corrente in quel punto. Qualora la sonda presenti una marcata simmetria assiale (come nel caso riportato in figura 2.1) e il suo asse sia allineato con la direzione locale della corrente (o della corrente media, nel caso di correnti turbolente), il punto di ristagno coincide con il punto di prua. 3 - Misura della pressione statica La misura della pressione statica p è concettualmente più critica della misura della pressione totale. La pressione statica (o termodinamica) è, infatti, definita come la forza per unità di superficie prodotta dagli urti delle molecole causati dal moto di agitazione termica, nel caso in cui il moto relativo medio tra la massa di gas e la parete solida sia nullo (si veda il capitolo sulla teoria cinetica). Affinché la pressione agente su di un punto della superficie di una sonda coincida con la pressione statica (indipendentemente dalla forma della sonda utilizzata, dalla collocazione della presa di pressione sulla sua superficie e dall'orientazione del suo asse) è quindi sufficiente che il moto relativo tra la superficie della sonda ed il fluido sia nullo. A p Vista A-A P tot D A circa 3 diametri circa 6 diametri Sezione B-B B B al trasduttore di pressione Figura Configurazione tipica di tubo di Pitot. Il diametro D può raggiungere valori minimi dell'ordine di 3 4 mm. Ma se annullare il moto relativo tra sonda e fluido è concettualmente banale (basta infatti muovere la sonda alla velocità locale istantanea della corrente nel punto P ), ciò richiede però di conoscere a priori la velocità che si intende, al contrario, misurare. Parte 15 - Pag. 2

4 Un'ottima approssimazione della pressione statica è tuttavia ottenibile anche in presenza di moto relativo tra fluido e sonda. In condizioni di moto relativo nullo tra sonda e fluido, il campo di pressione nell'intorno della sonda coincide con la pressione statica essenzialmente perché le linee di flusso della corrente, in termini di curvatura, direzione locale e spaziatura, non vengono minimamente alterate dalla presenza della sonda. Si può quindi ritenere che, anche in condizioni di moto relativo non nullo, il campo di pressione intorno alla sonda coincida con la pressione statica, a patto che la presenza della sonda non modifichi (o modifichi in misura minima) le linee di flusso della corrente in cui viene introdotta. misura della pressione statica misura della pressione totale Si può obiettare che, in condizioni di moto relativo, la presenza della sonda è comunque avvertita dalla corrente anche attraverso azioni tangenziali che, in condizione di quiete relativa, sarebbero rigorosamente nulle. Tuttavia, qualora: supporto A titolo di esempio, per effettuare la misura della pressione statica all'interno di un vortice piano stazionario, il tubo di Pitot dovrebbe avere una curvatura pari a quella delle linee di flusso locali ed essere collocato nella corrente come mostrato in figura. a) il numero di Reynolds della corrente attorno alla sonda sia elevato, b) la forma della sonda sia appropriata, c) ne sia garantito l'allineamento con la direzione locale della corrente (che deve essere nota, eventualmente ricorrendo a tecniche di visualizzazione), lo strato vorticoso che si sviluppa sulla superficie della sonda, che è sede di tali azioni tangenziali, può avere spessore estremamente ridotto e possono quindi applicarsi le conclusioni della teoria dello strato limite sottile di Prandtl. In particolare, per quanto riguarda il problema qui esaminato, si può affermare che vorticità e sforzi tangenziali, seppure certamente presenti, non modificano affatto il campo della pressione 1. E' però lecito chiedersi se le condizioni a), b) e c) possano essere effettivamente soddisfatte nelle normali applicazioni del tubo di Pitot. La condizione a) che il numero di Reynolds della corrente attorno alla sonda sia elevato è spesso determinata indirettamente dalla difficoltà pratica di misurare pressioni differenziali (qui la pressione dinamica) inferiori a qualche decina di Pa. Valori inferiori sono infatti generalmente incompatibili con la sensibilità dei normali manometri a liquido ed anche di molti trasduttori di pressione e costringono a ricorrere ad altri tipi di strumento (quali il velocimetro laser o l'anemometro a filo caldo) per rilevare la velocità della corrente. Se allora assumiamo che la pressione 1 E' per questo motivo che si afferma talvolta che il funzionamento del Pitot si basa sul teorema di Bernoulli: affermazione che, come si vede, non ha affatto validità generale. Parte 15 - Pag. 3

5 dinamica sia almeno dell'ordine di qualche decina di Pa e che il fluido in esame sia aria in condizioni standard, la velocità che ne risulta è tale che il corrispondente numero di Reynolds, pur basato su di un diametro della sonda, che può essere soltanto di qualche millimetro, raggiunge generalmente valori dell'ordine di Le condizioni b) e c) possono risultare anch'esse soddisfatte se si opera in modo corretto. Si è sopra affermato che, al fine di rilevare la pressione "statica" in un punto di una corrente di fluido è indispensabile che la forma e l'allineamento della sonda siano tali da non alterarne in misura apprezzabile le linee di flusso. Ma se la forma della sonda deve essere tale da seguire le linee di flusso locali della corrente in esame, ciò garantisce automaticamente che lo strato limite che si sviluppa sulla sua superficie non possa giungere a separare e si mantenga di spessore sufficientemente limitato da garantire l'applicabilità delle conclusioni della teoria di Prandtl. 4 - Collocazione delle prese di pressione sul Pitot Si è visto che, al fine di rilevare la pressione totale, è necessario collocare una presa di pressione in corrispondenza del punto di ristagno sul Pitot. La presa per la misura della pressione statica deve essere invece posta in una regione in cui le linee di flusso del campo di moto non vengano alterate dalla presenza della sonda, e quindi in una posizione che, necessariamente, non può coincidere con quella della presa di pressione totale. La collocazione della presa per la misura della pressione statica è funzione, non solo della forma della sonda, ma anche di quella del suo supporto. Nel caso di un Pitot posto in una corrente uniforme con linee di flusso parallele al suo asse, la distribuzione della pressione misurata sulla sua superficie, in funzione della coordinata assiale è riportata in figura 4.1, attraverso il coefficiente di pressione definito come: C p px p = (4.1) 2 ρ V 1 2 dove: p indica il valore della pressione statica effettivamente presente nella regione di misura, nella corrente non perturbata dalla sonda (ovvero proprio la pressione statica che si desidera rilevare), p x è il valore locale della pressione agente sulla superficie della sonda, in funzione della coordinata x, a partire dal punto di prua (pressione che può essere rilevata con una serie di prese di pressione poste sulla sua superficie), 1 2 ρ V 2 è la pressione di riferimento, qui scelta pari alla pressione dinamica della corrente asintotica. Parte 15 - Pag. 4

6 Il coefficiente di pressione assume ovviamente valore unitario quando la presa di pressione è posta nel punto di ristagno ( x = 0) e rileva pertanto una pressione pari alla somma della pressione statica p e della pressione dinamica. Esso assume poi valori leggermente negativi, nella regione in cui la velocità locale della corrente è superiore a quella asintotica, si mantiene intorno allo zero nella regione centrale della sonda e risale infine a valori dell'ordine di in prossimità del supporto, che produce una linea di ristagno, con effetti analoghi, ma più deboli, di quelli indotti dal punto di ristagno anteriore. Il coefficiente di pressione si annulla quando la pressione misurata sulla superficie della sonda coincide con il valore della pressione statica della corrente imperturbata in quel punto, ed è quindi evidente che la regione della superficie della sonda in cui va collocata la presa per la misura della pressione statica (o, preferibilmente, una corona di prese di pressione) è proprio quella caratterizzata da un coefficiente di pressione nullo. 1 Cp = p x - p 1 ρ V x p(x) x Figura Distribuzione del coefficiente di pressione definito dalla (4.1) in funzione della distanza x della presa di pressione, misurata a partire dal punto di ristagno. Parte 15 - Pag. 5

7 5 - Uso del tubo di Pitot Il fatto che le prese per la misura della pressione totale e della pressione statica non possano essere collocate in posizioni coincidenti, pone seriamente in discussione la possibilità di utilizzare la relazione (1.1) che impone esplicitamente che le pressioni vengano rilevate nel medesimo punto. A rigore, la misura di tali pressioni può anche essere effettuata nel medesimo punto, a patto di misurare la pressione totale e quella statica in tempi successivi, ovvero posizionando il Pitot in modo tale che il punto P coincida dapprima con il suo punto di ristagno e poi con la presa di pressione statica (come mostrato in figura 5.1). Tuttavia ciò è poco pratico e richiede comunque che la corrente sia stazionaria (oppure, se turbolenta, mediamente stazionaria). In certi casi, si può anche ipotizzare che la variazione della pressione totale tra i due punti in cui vengono rilevate le pressioni sia trascurabile, e si assume che totale e statica, pur misurate in punti diversi, siano compatibili con la (1.1). Questa è ovviamente un'approssimazione, dal momento che la pressione totale è realmente uniforme soltanto nell'ipotesi di moto ovunque irrotazionale. Tuttavia, nel caso in cui le prese di pressione siano molto vicine tra loro (ovvero le dimensioni della sonda siano molto piccole) si può talvolta verificare che la risultante delle azioni viscose, pur certamente presente nella corrente e nello strato limite sulla sonda, non alteri tuttavia in misura sensibile il valore della pressione totale, rispetto a quello misurato al punto di ristagno 2. P P Figura Misura in sequenza delle pressioni totale e statica in un medesimo punto di una corrente stazionaria. Si tratta però di un'approssimazione del tutto inutile e facilmente evitabile, se si accetta di effettuare la taratura del tubo di Pitot, una semplice operazione che ne consente un uso perfettamente corretto. 2 Questa approssimazione risulta poi del tutto accettabile quando sussistono le già citate condizioni che consentono agli strati vorticosi di mantenere spessori limitati e alla pressione totale di conservarsi inalterata nella corrente irrotazionale al loro esterno. Parte 15 - Pag. 6

8 La taratura si effettua ponendo il tubo di Pitot in oggetto in una corrente di cui sono perfettamente note le proprietà del fluido e la velocità, e registrando, al variare ( ) di questa, la differenza Δp = ρv 2 2 tra la pressione totale e quella statica misurate dalla sonda. Si determina pertanto una successione di punti appartenenti ad una curva che definisce la funzione di trasferimento, o curva di taratura, appunto, della sonda in oggetto (vedi figura 5.2). In seguito, ogniqualvolta si utilizzerà quel tubo di Pitot in una corrente simile a quella per la quale si è ottenuta la funzione di trasferimento, nel medesimo campo di numeri di Reynolds e di livelli di turbolenza, sarà possibile, a partire dalla pressione differenziale rilevata dalle prese di pressione, passare attraverso la curva di taratura e conoscere il valore effettivo del modulo della velocità. La taratura del Pitot elimina quindi ogni problema associato al fatto che la pressione totale e quella statica non vengono misurate nello stesso punto, come richiede invece la definizione di pressione totale (1.1) Δ p misurato [Pa] 2500 fluido: aria, ρ= velocità [m/s] Figura Esempio di curva di taratura di un tubo di Pitot. Ma rimane ancora un'ambiguità concettuale: dal momento che le pressioni usate per definire la pressione dinamica sono misurate in punti diversi, diciamo P 1 e P 2, a quale di questi punti dello spazio si deve associare il valore della velocità così misurato? La risposta a questo quesito dipende dal tipo di corrente in esame. Ovviamente, nel caso di una corrente che sia perfettamente uniforme (almeno in una regione esterna allo strato limite, che abbia estensione molto maggiore del volume di misura del Pitot) il fatto di riferire il modulo della velocità misurato al punto P 1 o al punto P 2 è del tutto ininfluente. Parte 15 - Pag. 7

9 Ma si può verificare, al contrario, che nella corrente siano presenti forti gradienti del modulo della velocità. Ad esempio, nel caso del convergente riportato in figura, velocità e pressione statica presentano un gradiente non trascurabile nella direzione dell'asse del condotto. Al contrario, qualora la corrente abbia numero di Reynolds elevato, la pressione totale, all'esterno degli strati limite sulla parete del condotto e sulla superficie del Pitot è praticamente uniforme. In questi casi, pertanto, il valore del modulo della velocità rilevato dal Pitot deve essere indubbiamente attribuito alla sezione della corrente coincidente con la presa di pressione statica. In generale, si può dire che il problema della collocazione della misura della velocità può essere ignorato soltanto se la distanza che separa i punti P 1 e P 2 è piccola rispetto alla distanza lungo la quale, nella corrente in esame, si verificano variazioni significative del modulo del vettore velocità. In altri termini, se, fissata la risoluzione spaziale necessaria per apprezzare le variazioni Δ V del modulo della velocità nella corrente in esame, risulta: Ptot p sezione alla quale va attribuita la velocità rilevata V L << Δ V dove L indica la distanza tra i punti P 1 e P 2, misurata nella direzione locale,, della corrente. 6 - Uso del tubo di Pitot negli strati limite sottili Come si è detto, l'uso del tubo di Pitot non richiede affatto la validità del teorema di Bernoulli, e pertanto questo strumento può essere correttamente utilizzato anche per rilevare la distribuzione della velocità all'interno di strati limite, purché risultino verificate le condizioni seguenti: - le condizioni di stabilità dello strato limite devono essere tali da non risentire eccessivamente della presenza della sonda (in caso contrario è preferibile usare un anemometro a filo caldo oppure, ancor meglio, un velocimetro laser), - le dimensioni della sonda devono essere compatibili con il piccolo spessore dello strato limite e con l'elevato gradiente, sia della componente parallela alla parete della velocità, sia della pressione totale, in direzione normale alla parete che, come è noto, sono caratteristici di questi strati di corrente. A patto che la prima condizione sia verificata, la seconda può essere soddisfatta in modo relativamente semplice, ancora un volta grazie alla teoria dello Parte 15 - Pag. 8

10 strato limite di Prandtl, anche nel caso di strati limite che abbiano spessore convenzionale dell'ordine di pochi millimetri. Supponiamo che lo strato limite in esame sia quello schematizzato in figura 6.1, e che il suo spessore convenzionale δ sia dell'ordine di 5 millimetri. E' evidente che un tubo di Pitot del tipo riportato in figura 2.1 sarebbe del tutto inutile allo scopo: anche ricorrendo a tecnologie raffinate, è infatti difficilmente pensabile di realizzare una sonda con prese di pressione statica e totale, e relative canalizzazioni, che abbia un diametro inferiore a 3 4 millimetri. E anche in tal caso (e pur ammettendo, per assurdo, che il volume di misura della sonda risulti accettabile in termini di risoluzione spaziale), l'asse del Pitot non potrebbe essere portato a distanze dalla parete inferiori al suo raggio, precludendo la possibilità di compiere rilievi proprio nella regione di parete, che riveste il maggior interesse 3. Ma uno dei risultati della teoria dello strato limite sottile garantisce che, anche in presenza di curvatura 4, la componente del gradiente di pressione in direzione normale alla parete è trascurabile. Il che significa che la pressione statica all'interno di uno strato limite, fissata la sezione di misura, assume il medesimo valore indipendentemente dalla quota. E' quindi possibile, non solo evitarne la misura alle diverse quote, ma anche misurarla direttamente sulla parete, il che è estremamente comodo e garantisce, per di più, di non alterare affatto le linee di flusso della corrente. sezione di misura c. 1 mm c. 0.2 mm Vista frontale della presa di pressione totale Presa di pressione statica a parete 1 mm Figura Misura della velocità all'interno di uno strato limite sottile, con prese separate per la misura della pressione statica e di quella totale. 3 Infatti, è proprio la pendenza del profilo della velocità, misurata alla parete, a determinare lo sforzo tangenziale e, quindi, la resistenza d'attrito locale, oppure la tendenza, o meno, alla separazione. 4 Purché il raggio di curvatura della parete e delle linee di flusso sia molto maggiore dello spessore δ. Parte 15 - Pag. 9

11 Ne consegue che il tubo di Pitot che deve traslare entro lo strato limite può essere costituito dalla sola presa di pressione totale, ovvero da un semplice tubicino che può avere diametro inferiore al millimetro. La risoluzione spaziale in direzione normale alla parete può essere inoltre ulteriormente migliorata (e la distanza minima dalla parete ulteriormente ridotta) utilizzando un tubicino con l'estremità appiattita e riducendone quindi lo spessore fino a qualche decimo di millimetro 5. 5 La perdita di risoluzione trasversale, conseguente all'appiattimento della presa, è del tutto ininfluente, dal momento che il gradiente della velocità (e della pressione totale), in tale direzione, è generalmente molto minore (o addirittura nullo, nel caso di strati limite 2-D). Per lo stesso motivo, anche la presa di pressione a parete è sempre collocata lateralmente alla presa di pressione totale, in modo tale da non risentire della sua interferenza nelle misure in prossimità della parete: curvatura e spaziatura locali delle linee di flusso verrebbero modificate dalla presenza della presa di pressione totale e ciò comporterebbe, come è noto, una alterazione della pressione statica. Parte 15 - Pag. 10