Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 6. Analisi funzionale

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Giacomo Bossi
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1 Riccarda Rossi Lezione 6

2 Introduzione Obiettivo: anticipare le problematiche relative alle formulazioni deboli di PDE, per motivare lo studio delle topologie deboli; lo studio delle proprietà topologiche di spazi funzionali di tipo integrale Capiremo perché: - preferire gli spazi di funzioni con proprietà di tipo integrabilità, anziché continuità; - privilegiare la nozione di integrale di Lebesgue a quella di Riemann

3 Il più semplice esempio di PDE u(x, t) u(x, t) = 0 t x x R t (0, + ). È un equazione di evoluzione: la soluzione u è una funzione u : R (0, + ) R È la più semplice equazione di tipo trasporto

4 Soluzioni classiche Consideriamo l associato problema di Cauchy { u(x, t) u(x, t) = 0 t x u(x, 0) = u 0(x) con u 0 : R R dato iniziale. x R t (0, + ), x R (P) Quale nozione di soluzione per (P)?? Soluzione classica Diciamo che una funzione u : R (0, + ) R è una soluzione classica di (P) se tutte le derivate parziali che compaiono nella PDE sono funzioni continue, cioè { u t C0 (R [0, + )), u u C 1 (R [0, + )) x C0 (R [0, + ))

5 Esistenza di soluzioni classiche { u(x, t) u(x, t) = 0 t x u(x, 0) = u 0(x) Teorema Se u 0 C 1 (R), allora la funzione x R t (0, + ), x R (P) risolve il problema di Cauchy (P). u(x, t) = u 0(x + t)

6 Critica all approccio classico { t u(x, t) u(x, t) = 0 x x R t (0, + ), u(x, 0) = u 0 (x) x R - Richiedo a priori una regolarità molto forte sulla soluzione u - L equazione del trasporto lineare è la più semplice PDE:

7 Verso una formulazione debole { t u(x, t) x u(x, t) = 0 x R t (0, + ), u(x, 0) = u 0 (x) x R Moltiplichiamo entrambi i membri della PDE per una funzione test v C 1 (R [0, + )), nulla al di fuori di un insieme limitato A R [0, + ). e integriamo su R (0, + ): ( ) 0 = u(x, t) u(x, t) v(x, t) dxdt t x R (0,+ )

8 La formulazione debole { t u(x, t) u(x, t) = 0 x x R t (0, + ), u(x, 0) = u 0 (x) x R (P) Diciamo che u : R [0, + ) R è soluzione della formulazione debole per il problema di Cauchy (P) se + ( ( x v(x, t) ) ) v(x, t) u(x, t) dx dt = u 0(x)v(x, 0) dx t R 0 R per ogni funzione test v C 1 c(r [0, + )) Osservazioni: - L operatore differenziale t x - La condizione iniziale (FD)

9 Formulazione debole & formulazione classica Confrontiamo con + ( 0 R { t u(x, t) u(x, t) = 0 x x R t (0, + ), u(x, 0) = u 0 (x) x R ( x v(x, t) ) ) v(x, t) u(x, t) dx dt = u 0 (x)v(x, 0) dx t R per ogni funzione test v C 1 c(r [0, + )) (P) (FD) N.B.: per dare senso a (FD) non serve più che u C 1 (R [0, + ))

10 Osservazioni finali 1. Perché gli spazi di funzioni (e quindi l analisi funzionale) sono così importanti nella teoria delle PDE? 2. Quali spazi funzionali sono significativi per la formulazione debole delle PDE? 3. Perché sono importanti le proprietà topologiche degli spazi funzionali?

11 Integrale di Lebesgue vs. integrale di Riemann (I) Ambienteremo le formulazioni deboli di PDE in spazi di funzioni integrabili, secondo la teoria dell integrale di Lebesgue: - infatti, vogliamo rinunciare a ipotesi di tipo regolarità - Se usassimo la nozione di integrale di Riemann, lavoreremmo in spazi tipo C 0 ([a, b]), C 1 ([a, b]), dotati di norme integrali invece di C 0 ([a, b]) potremmo considerare L([a, b]) = {f : [a, b] R : f integrabile secondo Riemann su [a, b]} ma (L([a, b]), 1) NON è completo.

12 Integrale di Lebesgue vs. integrale di Riemann (II) - La teoria dell integrale di Riemann manca di adeguati risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale

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