UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE

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1 Zeno Martini (admin) UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 26 March 2019 Premessa Un utente è andato a ripescare nel forum un esercizio, di 10 anni fa, su un sistema trifase in cui compariva una strana potenza reattiva capacitiva assorbita da una fase in cui non c'era alcuna capacità. Ho pensato allora di riproporre quel tipo di esercizio per discuterlo con più dettagli di quanti apparissero nel topic antico. L'esercizio prevede un sistema di alimentazione trifase simmetrico, con generatori a stella senza distribuzione del neutro che alimenta un carico trifase equilibrato collegato a stella, ed un carico monofase derivato tra fase e fase. Si tratta di trovare le correnti erogate dai generatori e le potenze, attiva e reattiva, da essi erogate ed impegnate nelle fasi. Svolgeremo l'esercizio con quelle specifiche, ma anche considerando tensioni dissimmetriche e carico trifase squilibrato. Lo schema è il seguente Note: lo scopo dell'esercizio è puramente didattico. L'ho svolto per tenermi in esercizio (come diceva spesso anche RenzoDF ai "tempi d'oro di EY ": eh sì c'è sempre un'età dell'oro! ;); da rimpiangere!? da rinnovare!? ) e per utilizzare una specie di calcolatrice che ho scritto in Python per provare ad imparare questo linguaggio molto diffuso. Avevo perfino intenzione di proporre questa mia applicazione. Però è diventata un guazzabuglio inestricabile, come capita ai programmatori sprovveduti come me, completamente spiazzati, oltre due decenni fa dalla potente programmazione ad oggetti :(. I grafici e le etichette gialle con scritte rosse sono comunque output di tale applicazione) UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 1

2 Tensioni simmetriche e carico trifase equilibrato dati_1 Si hanno Essendo il carico trifase equilibrato, O' ed O hanno lo stesso potenziale per cui si ha quindi La corrente sul carico monofase è Le correnti di linea a monte dei due carichi valgono Le potenze complesse delle fasi del carico trifase, transitanti nella sezione S t sono mentre le potenze complesse transitanti nella sezione S Ltot, quindi erogate dai generatori, sono UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 2

3 Osservazioni Le sono le potenze erogate dai generatori; le quelle assorbite dal carico trifase. La differenza dei loro valori rappresenta la variazione delle potenze erogate dai generatori con l'inserzione del carico monofase. La potenza attiva richiesta dalla resistenza derivata tra le fasi 2 e 3, risulta equamente divisa tra i generatori rispettivi, mentre quella attiva del carico trifase equilibrato è equamente divisa tra le tre fasi. Le potenze attiva erogata dal generatore della fase 2, ad esempio, (P L2 ), in seguito all'inserzione del carico monofase, incrementa della metà della potenza attiva di quest'ultimo (NB: nei calcoli sono state considerate quattro cifre significative) La potenza reattiva è richiesta solo dal carico induttivo trifase. L'inserimento del carico monofase lascia inalterata la reattiva della fase 1. Le fasi 2 e 3 risultano squilibrate nell'erogazione di tale potenza. Nella fase 2 la potenza reattiva diminuisce di che è la quantità di cui aumenta nella fase 3: UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 3

4 Rappresentazione grafica dei fasori di tensione e corrente Componenti simmetriche NB:Per la scomposizione delle terne di fasori si veda l' ultimo paragrafo dell'articolo. Le tensioni sono simmetriche per cui esiste solo la componente simmetrica diretta. Le correnti sono invece squilibrate; non essendoci il filo neutro, la componente omopolare è nulla. Si hanno pertanto, considerando i valori dei dati_1, UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 4

5 La totale potenza complessa è la somma delle potenze complesse relative alle componenti simmetriche. Si ha cioè dove tensioni. sono gli angoli di sfasamento delle correnti di sequenza rispetto alle relative Nel nostro caso solo le componenti di sequenza diretta danno luogo alle potenze che, a parte le differenze numeriche per le approssimazioni di calcolo, coincidono, rispettivamente, con la somma delle potenze attive e reattive delle tre fasi dati_2 Manteniamo immutati tutti i dati precedenti tranne potenza attiva assorbita dal carico monofase. Quindi abbiamo:. In pratica risulta quadruplicata la Il carico trifase non risente della variazione (stiamo supponendo che i generatori di tensione siano ideali). Correnti assorbite, quindi potenze relative, rimangono immutate, identiche a quanto calcolato in precedenza. La corrente monofase derivata tra i fili 2 e 3 invece quadruplica per cui si modificano le correnti di linea nei fili 2 e 3 I tre generatori forniscono ad ogni fase del carico trifase la richiesta potenza attiva; quella richiesta dal carico monofase è ancora equamente divisa tra i generatori delle fasi 2 e 3. Ora, come si può vedere nei calcoli che seguono, la potenza reattiva assorbita dalla fase 2 diventa negativa. La corrente nella linea 2 è infatti in anticipo sulla rispettiva tensione di fase, come si può vedere nel grafico dei fasori. La fase 3 si prende in carico tutta la potenza reattiva delle fasi 2 e 3 del carico trifase oltre a quella assorbita ora dal generatore della fase 2. UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 5

6 Il generatore della fase 3 eroga la potenza reattiva induttiva. Il generatore della seconda fase eroga potenza capacitiva, cioè assorbe potenza induttiva. Le fasi 2 e 3 del carico trifase richiedono una potenza induttiva per cui si ha Q L3 = Q L2 + Q 2 + Q 3. La differenza numerica, inferiore all'un per mille, è dovuta alle approssimazioni. La potenza attiva richiesta dalla resistenza è ancora equamente suddivisa tra le fasi due e tre. nota: la differenza, inferiore allo 0,1% è compatibile con le approssimazioni di calcolo (4 cifre significative, in genere) Rappresentazione grafica dei fasori UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 6

7 Carico trifase squilibrato e tensioni simmetriche Il carico monofase ora è ohmico-induttivo NB: nei calcoli che seguono si considerano 4 cifre significative Correnti nel carico trifase applicando il metodo dello spostamento del centro stella (vedi richiamo nell'ultimo paragrafo), otteniamo UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 7

8 Correnti e tensioni nel carico trifase Le potenze complesse relative sono date da TrimonoDisplayCaricoTrifase.jpeg UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 8

9 Osservazione Le potenze erogate dai singoli generatori che alimentano il solo carico trifase, non coincidono con quelle assorbite dalle corrispondenti fasi del carico stesso. Si hanno infatti Naturalmente la potenza complessa globalmente erogata dai tre generatori coincide con la potenza complessa assorbita dal carico trifase come si può vedere da (la somma delle tre correnti è nulla per il primo principio di Kirchhoff) Correnti erogate dai generatori La corrente nel carico monofase è Quindi le correnti di linea erogate dai generatori sono date da: UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 9

10 Correnti di linea a monte del carico monofase Le corrispondenti potenze complesse sono date da La potenza complessa del carico monofase è UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 10

11 Osservazioni La variazione della potenza complessa del generatore 2 dopo l'inserzione del carico monofase è data da Quella del generatore della fase 3, da La somma delle due variazioni corrisponde naturalmente alla potenza complessa assorbita dal carico monofase La potenza complessa del generatore 1 rimane immutata componenti simmetriche Le tensioni dei generatori hanno la sola componente simmetrica diretta, per ipotesi. Le correnti squilibrate hanno invece sia una componente diretta che una inversa. La componente omopolare è invece nulla, non essendoci il neutro Le totali potenze del sistema sono dovute quindi alla sole sole componenti dirette NB: la differenza numerica, di circa lo 0,3 per mille, è compatibile con le approssimazioni di calcolo (4 cifre significative) Carico trifase squilibrato e tensioni dissimmetriche NB: è stato lasciato per la reattanza della fase 1 il simbolo X L1 e nel disegno il simbolo di induttanza, ma, ovviamente, avendo anteposto il segno "-" nel valore, si tratta di una capacità UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 11

12 Correnti nel carico trifase applicando il metodo dello spostamento del centro stella, otteniamo Carico Trifase: tensioni e correnti Le corrispondenti potenze complesse sono UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 12

13 Come in precedenza, le potenze erogate dai singoli generatori che alimentano il solo carico trifase, non coincidono con quelle assorbite dalle corrispondenti fasi del carico stesso. Si hanno infatti Naturalmente la potenza complessa globalmente erogata dai tre generatori coincide con la potenza complessa assorbita dal carico trifase La corrente nel carico monofase vale e la sua potenza complessa vale Le correnti di linea valgono UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 13

14 Trimono3-4j_54J_10_7j_100_200j j j.jp Le corrispondenti potenze complesse valgono Naturalmente tale potenza è la somma della potenza complessa del carico trifase e di quella del carico tra fase e fase UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 14

15 Osservazioni Valgono naturalmente le stesse osservazioni del caso precedente circa le variazioni di potenza complessa dei generatori con l'inserzione del carico monofase. Quindi: Non si modifica la potenza complessa erogata dal generatore della fase 1 in quanto non si modifica la corrente Si modificano invece le potenze complesse erogate dai generatori 2 e 3 e la loro variazione corrisponde alla potenza complessa del carico monofase La precedente equazione complessa si scinde nelle due reali per le potenze attive e reattive P L2 + P L3 P 20 P 30 = 0 Q L2 + Q L3 Q 20 Q 30 = Q 23 con i nostri valori numerici, rispettivamente Si verifica, nel caso specifico, che la potenza attiva erogata dal generatore 3 diventa negativa; cioè non è erogata ma assorbita. E' il generatore 2 che gliela fornisce questa potenza, insieme a quella che deve essere fornita alla fasi 2 e 3 del carico trifase. Il carico monofase non assorbe potenza attiva essendo una pura reattanza induttiva. componenti simmetriche Ricaviamo le componenti simmetriche delle tensioni dei generatori e delle correnti di linea. Per queste ultime, non essendoci il neutro, la componente omopolare è nulla. Si ricavano Le potenze in gioco sono prodotte dalle componenti simmetriche corrispondenti. Quindi abbiamo UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 15

16 Richiami Spostamento del centro stella La formula è un'applicazione del teorema di Millman per una rete binodale. sulle componenti simmetriche Data una terna dissimmetrica di fasori compongono la terna dissimmetrica è dato dalle formule il primo fasore delle tre terne simmetriche che Si veda in proposito questo antico articolo Dissimmetria Ci sono anche alcuni esercizi Esercizi sui sistemi trifasi dissimmetrici - 1 Esercizi sui sistemi trifasi dissimmetrici - 2 Estratto da " UN ESERCIZIO CON CARICO TRA FASE E FASE 16