ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 1

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1 Zeno Martini (admin) ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 20 February 2011 Presentazione Ho pensato di pubblicare alcuni articoli con esercizi svolti sui sistemi trifase dissimmetrici. In rete sembrano prevalere nettamente quelli da svolgere, anche se le richieste di "aiuto" che arrivano nel nostro forum, permettono a RenzoDF di ridurre lo squilibrio, come in questo caso ad esempio. Come faccio di solito, ho preso in mano un'antica dispensa: Esercizi di Elettrotecnica di Gaetano Malesani edizioni CLEUP. Ormai è completamente sfasciata, ed una rilegatura virtuale potrebbe anche darle nuova vitalità. Ogni esercizio sarà sviluppato in più modi: lo scopo è, infatti, non risolvere l'esercizio specifico, ma imparare a risolvere gli esercizi, sapendo scegliere gli strumenti di analisi e calcolo disponibili. Inevitabile la consultazione della mia personale "Bibbia Elettrotecnica" che ho citato più volte: Elettrotecnica Generale di Giovanni Someda. ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 1

2 L'esercizio che propongo in questo primo articolo è la classica stella non simmetrica, una stella di tre impedenze non tutte uguali. I valori delle impedenze sono. La stella è alimentata da una terna simmetrica di tensioni concatenate con. Si determinino le correnti di linea e le indicazioni dei wattmetri La prima soluzione proposta, è quella classica con Millman Il famoso corollario del metodo dei potenziali di nodo, calcola la tensione tra i nodi O' ed O con una formula:. Quindi le correnti di linea si ricavano con Posto tensione della fase 1 sull'asse immaginario del piano di Gauss si ha operatore che fa ruotare un vettore di in senso antiorario Ecco il ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 2

3 Il grafico vettoriale Le indicazioni dei wattmetri si calcolano con oppure con ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 3

4 come nel paragrafo che segue Per i calcoli si può usare SpeQ consigliato vivamente da RenzoDF. Svolgimento dell'esercizio con SPeQ ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 4

5 Ricordo anche che, su questo metodo, RenzoDF ha già scritto un articolo dove propone un utilissimo script Scilab, facilmente modificabile per controllare quanto fin qui svolto, compreso il tracciamento del grafico vettoriale. Oppure si può usare l'applicazione EXCEL, Circe2010 realizzata proprio dallo stesso Renzo, con la quale è possibile risolvere qualsiasi rete lineare a regime, in continua od in alternata. Calcoli con Circe2010: nodo 1=O; 2=O' L'applicazione di Renzo Del Fabbro dimostra quali siano i fondamenti dell'analisi delle reti: i principi di Kirchhoff, la cui importanza ha determinato perfino la scelta del suo avatar ;-) Ma oltre le "semplici" ed eleganti soluzioni precedenti, c'è anche un modo più complicato per risolvere il problema. "E allora perché usarlo?" ( diranno subito i classici miei venticinque lettori). Non è in effetti il metodo da usare se lo scopo è risolvere il problema specifico, ma familiarizzarsi con esso è consigliabile per l'importanza che riveste nello studio dei guasti nelle reti trifase (cortocircuiti netti e non, ed interruzioni). E' il metodo che si basa sulla scomposizione delle terne di vettori nelle tre terne: diretta (d), inversa (i) ed omopolare (0). Le equazioni per la stella dell'esercizio sono ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 5

6 Scomponiamo le tre tensioni, determinando il primo vettore di ogni terna con Stesso trattamento riserviamo alle tre impedenze Anche la terna di correnti può essere scomposta nelle tre terne Sostituendo (ed eleborando un po') si ottiene allora La stella dissimmetrica delle tensioni è una delle infinite stelle che si appoggiano ai vertici del triangolo delle tensioni concatenate, e che differiscono solo per la terna omopolare. La stella il cui centro coincide con il baricentro del triangolo, ha componente omopolare nulla. La componente omopolare di tutte le altre stelle, coincide con l'unione del loro centro stella con il baricentro del triangolo. La scomposizione si può eseguire anche per le tensioni concatenate. Poiché la loro somma è sempre nulla, anche se sono dissimmetriche, si ricavano le relazioni seguenti (dopo alcuni passaggi matematici per le componenti dirette ed inverse) ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 6

7 Una terna simmetrica fornisce la sola terna diretta. Quindi, nel nostro caso, essendo simmetrica la terna delle tensioni concatenate, avremo Posto si ha quindi Essendo il collegamento delle impedenze a stella, non può circolare la corrente omopolare, per cui Sostituendo Le incognite del sistema sono la tensione omopolare correnti diretta,, e quella della terna inversa Risolvendo il sistema si ottiene, la componente della terna di Quindi si ricavano le correnti Nota: ho risolto il sistema ricorrendo allo ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 7

8 script Scilab del riquadro che basta copiare ed incollare nella finestra del famoso programma di calcolo freeware j=%i; // unità immaginaria a=%e^(j*2*%pi/3); // rotazione antioraria di +120 A=[7.67+j*0.833, -1+j*0.833, -1; 3.33-j*1.66, 7.67+j*0.833,... 0;-1+j*0.833, 3.33-j*1.66, 0]; // matrice dei coefficienti b=-[0;j*231;0]; //termini noti I=linsolve(A,b); // risoluzione sistema lineare E0=I(3)// componente omopolare delle tensioni Id=I(1)// componente sequenza diretta correnti Ii=I(2) // componente di sequenza inversa I1=Id+Ii // corrente di linea 1 I2=a^2*Id+a*Ii //corrente di linea 2 I3=a*Id+a^2*Ii //corrente di linea 3 Calcoliamo ora le correnti di linea con una trasformazione stella-triangolo Eseguendo la trasformazione della stella in un triangolo equivalente, si possono immediatamente ricavare le correnti nei lati del triangolo; quindi, applicando la LKI ai vertici, possiamo ricavare le correnti di linea Le formule di trasformazione possiamo trovarle qui. Sono per le resistenze, ma valgono anche per le impedenze:basta usare i numeri complessi. Applicandole otteniamo ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 8

9 Con una bella sorpresa: una resistenza negativa! Formalmente non c'è problema, ma nella pratica il ramo che la contiene è irrealizzabile. (Sulle resistenze negative, consiglio leggere il bel articolo di IsidoroKZ) Per i calcoli, il solito script che basta copiare ed incollare nella finestra Scilab j=%i;//unità immaginaria a=%e^(2*%pi*%i/3);//rotazione di 120* antioraria Z1=10;//stella Z2=j*5; Z3=-j*10; U23=400; //tensioni concatenate U31=a^2*U23; U12=a*U23; Z12=Z1+Z2+Z1*Z2/Z3//triangolo Z23=Z2+Z3+Z2*Z3/Z1 Z31=Z3+Z1+Z1*Z3/Z2 IZ1=U12/Z12//correnti di fase del triangolo IZ2=U23/Z23 IZ3=U31/Z31 Il1=IZ1-IZ3//correnti di linea IL2=IZ2-IZ1 IL3=IZ3-IZ2 Concludiamo con un'appendice teorica Reti trifasi simmetriche Una rete trifase con neutro accessibile, può essere schematizzata come il triplo bipolo di figura. La tensione applicata tra il terminale i ed il comune O, inietta nella rete la corrente ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 9

10 Le relazioni che legano correnti e tensioni sono Le sono le auto (i = j) e mutue ( ) ammettenze del triplo bipolo. Si determinano alimentando un terminale e cortocircuitando gli altri due La rete è simmetrica se sono uguali tra loro autoammettenze e mutue ammettenze, quindi se In una rete simmetrica le componenti simmetriche delle tensioni danno luogo solo a correnti della stessa sequenza. Tenendo infatti presenti le relazioni di simmetria, scomponendo le correnti e le tensioni nelle loro componenti simmetriche nel sistema [r.1] si ottiene ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 10

11 con Questo permette di definire, per ogni rete simmetrica Che sono misurabili applicando separatamente alla rete una terna di sequenza zero, una terna di sequenza diretta, un terna di sequenza inversa. Le impedenze alla sequenza inversa e diretta sono uguali se. In particolare questo si verifica per per tutte le reti che non contengono parti in movimento. Se per ogni si ha la rete è detta reciproca e, per quanto detto, lo può essere solo se non esistono parti in movimento. E' immediato constatare che una stella con tre impedenze identiche costituisce una rete simmetrica. L'autoammettenza comune è l'ammettenza di un ramo. Le mutue ammettenze sono nulle se non vi è accoppiamento. Quando il terminale comune O non esiste od è inaccessibile, l'impedenza alla sequenza zero è infinita ( ) Se non esistono accoppiamenti cioè se per, le impedenza alle sequenze sono tutte uguali all'inverso dell'unica autoammettenza La rete in tal caso è riconducibile ad una stella di tre impedenze uguali. Vale ovviamente il viceversa: tre impedenze uguali a stella costituiscono una rete simmetrica e le tre impedenze di sequenza sono uguali all'impedenza di un ramo. Nello studio degli impianti elettrici le normali linee trifase, nonché trasformatori ed alternatori, sono considerati elementi simmetrici, come pure i carichi come i motori asincroni. Si assume anche in genere che le tre fasi siano in condizioni di simmetria rispetto al terreno e rispetto al neutro, sia che ci siano effettivi collegamenti a centri stella di componenti della rete, sia che il collegamento sia dovuto alle capacità parassite d'esercizio. ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 11

12 Bibliografia Esercizi di Elettrotecnica - Gaetano Malesani CLEUP Elettrotecnica generale - Giovanni Someda Estratto da " index.php?title=userspages:admin:esercizi-sui-sistemi-trifase-dissimmetrici-esquilibrati-1" ESERCIZI SUI SISTEMI TRIFASE DISSIMMETRICI. (1) 12