SISTEMI A CODA MARKOVIANI TEMPO-DISCRETI

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1 SISTEMI A CODA MARKOVIANI TEMPO-DISCRETI La sequenza di variabili aleatorie xi, i.. n, forma una catena di Markov temodiscreta se er ogni n e er tutti i valori assunti dalle variabili aleatorie si ha P(xn j x i, x2 i2... xn- i n-) P (xn j xn- in-) si dice che il rocesso e' senza memoria, il valore a secondo membro rende il nome di robabilita' di transizione e i valori di xi, i.. n, rendono il nome di stati della catena. Se il valore della robabilita di transizione non diende da n ma soltanto dagli stati a cui si riferisce la catena si dice omogenea e si indica con ij P (xn j xn- i) il temo di ermanenza in ciascuno stato di una catena di Markov temo-discreta ha una distribuzione geometrica la robabilita' che il sistema rimanga nello stato i er m istanti dato che vi e' aena arrivato e' P(m)(-ii) ii m- Code markoviane 8.

2 MODALITA DI SOLUZIONE detto Π il vettore delle robabilita di stato e P la matrice delle robabilita di transizione la determinazione di Π avviene mediante il seguente sistema di equazioni: note le robabilita di transizione ΠΠ P n Π i i Code markoviane 8.2

3 SISTEMI TEMPO-DISCRETI I rocessi associati alla coda sono rocessi temo-discreti: le variazioni di valore della variabile di stato sono ammesse soltanto su un insieme numerabile di istanti Convenzioni t il rocesso degli utenti in coda ai confini degli slot si evolve nel modo seguente: y n+ y n + a n - d n+ il rocesso degli utenti in coda doo che gli arrivi hanno avuto luogo e dato da x n y n + a n a seconda di quale rocesso viene osservato si uo descrivere il comortamento di sistemi reali differenti Processo degli arrivi di Bernoulli (x) er x (x) - er x (x) altrimenti dove si fa corrisondere a x l evento arrivo e a x l assenza di arrivo E un rocesso senza memoria in cui il temo interarrivo ha distribuzione geometrica: (i)(-) i er i (i) esrime la robabilita che il temo interarrivo abbia durata i slot Code markoviane 8.3

4 CODA geom/geom/ Probabilita di arrivo in uno slot: Probabilita di una artenza in uno slot: q Il rocesso degli utenti nella coda e una catena di Markov Consideriamo il rocesso x n ; il diagramma delle transizioni di stato e il seguente: Utilizzando le equazioni di bilanciamento er i vari nodi si ottiene: k k ω q er k> avendo osto ω ( q) q( ) e dalla condizione di normalizzazione ( q)( ω) q( ω) q con coda infinita ( q)( ω) q( ) L ω q( ω) q ω L+ con coda finita di lunghezza L ricordando che L L+ s ω ω er ω < ω s Code markoviane 8.4

5 Coda geom/geom/: restazioni THROUGHPUT S: numero di utenti serviti er unita di temo S ) q ( nel caso di sistema di caacita infinita risulta S Probabilita di blocco nel sistema di caacita finita L ( ω) ω Π b L L+ ( ω ) q( ω) Se il sistema reale ha caacita' finita L la robabilita' di erdita e' limitata sueriormente dalla robabilita' che ci siano iu' di L acchetti nel sistema a buffer infinito P loss P ( K > L ) ( ) k L+ q k ω q L ω q Ritardo Utilizzando il risultato di Little: k ( ω) q q W k k nel sistema a coda infinita W L L k k k nel sistema a coda finita S Osservazione Se la durata dello slot e molto iccola, tale che e q tendono a zero, mantenendo costante il loro raorto /q ρ si ha P k (-ρ)ρ k Che e la distribuzione all equilibrio di una coda M/M/ temo-continua. Code markoviane 8.5

6 CALCOLO DEL RITARDO MEDIO IN UN COMMUTATORE CON ACCODAMENTO IN INGRESSO W q e q ( ) ln( ) con q 2 ritardo medio ,,2,3,4,5,6,7 carico Tabella dei valori ottenuti q W,,94922,5998,2,896284,48956,3,842,293656,4,78346,56639,5, ,25889,6, ,29746,6,647828,3993,62,6477 8,29454,63,633642,5925 Code markoviane 8.6

7 CODA geom/geom/ CON CUT-THROUGH Un sistema con cut-through revede che un arrivo in un time-slot ossa essere servito nel medesimo time-slot Il relativo modello si ricava dalla descrizione del rocesso di coda y n negli istanti di confine tra gli slot Diagramma degli stati Dalle equazioni di bilanciamento si ottiene: k k ω e dalla condizione di normalizzazione: ω er il sistema a caacita infinita L+ ω ω er il sistema a caacita infinita Probabilita di blocco L ( ω) ω Π b L L+ ω Probabilita di blocco k q q W k k Code markoviane 8.7

8 SISTEMI MULTICODA-MULTISERVITORE Assunzioni generali: acchetti di lunghezza fissa arrivi bernoulliani o Poissoniani code associate agli ingressi di lunghezza infinita gestione delle code FIFO i servitori trasmettono al iu' un acchetto er slot temorale alcuni servitori ossono essere inattivi ur essendo resenti acchetti dietro il acchetto di testa: blocco Head-Of-Line (HOL) Code markoviane 8.8

9 MULTIPLATORE sistema con N ingressi ed L uscite una uscita qualunque uo' essere utilizzata er il servizio di un acchetto l'intero sistema uo' essere raresentato con una catena di Markov temodiscreta con stato vettore N-dimensionale (K...KN) in cui la variabile aleatoria Ki e' il numero di acchetti nella coda di ingresso i L'effetto HOL si manifesta quando ci sono code iene in numero minore dei servitori disonibili: H e' una variabile aleatoria che indica quanti ingressi hanno Ki> se H L tutti i acchetti HOL vengono serviti, altrimenti si scelgono L su H in modo casuale (er esemio). I rimanenti L-H rimangono bloccati Code markoviane 8.9

10 COMMUTATORE in questo caso il acchetto orta anche informazione di indirizzo si assumono indiendenti gli indirizzi di tutti i acchetti nuovi il fenomeno HOL si verifica a causa di acchetti che contendono er la stessa linea e bloccano i acchetti in coda i acchetti HOL non hanno indirizzi indiendenti a causa del blocco una descrizione comleta dello sazio degli stati richiede di secificare Ki e gli indirizzi dei acchetti HOL si assume er semlicita' di analisi λiλ er tutti gli ingressi ovvero carico bilanciato sugli ingressi indirizzi di uscita equirobabili ovvero carico bilanciato sulle uscite Code markoviane 8.

11 DECOMPOSIZIONE DEL SISTEMA Sia er commutatori che er multilatori la soluzione esatta diventa intrattabile al crescere di N Si introducono alcune iotesi di indiendenza er ridurre lo sazio degli stati ogni coda viene trattata searatamente come coda a servitore singolo in cui il servizio e' fornito con robabilita' qe[γ]. La dinamica del sistema e' quella vista nel caso Geom/Geom/. le locazioni HOL vengono considerate come un sistema searato deto sistema HOL. Ogni acchetto HOL viene servito con la stessa robabilita' q indiendentemente dalla storia assata di arrivi e servizi. Occorre correlare il valore di q al grado di blocco HOL e al ritmo di arrivo: er fare questo si analizza la dinamica del sistema HOL Il sistema HOL Viene descritto dal numero di acchetti HOL Nei commutatori e' inoltre necessario conoscere la moltelicita' Nj di ogni indirizzo di uscita J er tali acchetti HOL Metodi di analisi: arossimato:considera indiendenti le occuazioni HOL esatto: tiene in considerazione la diendenza Code markoviane 8.

12 IL SISTEMA HOL Assunzioni: acchetti HOL indiendenti robabilita di servizio q calcolata tenendo conto della dinamica del sistema HOL Code markoviane 8.2

13 CONSERVAZIONE DEL FLUSSO ATTAVERSO UNA CODA Conservazione del flusso nella coda di ingresso λ - q λ ritmo di arrivo robabilita di buffer vuoto q ritmo di servizio della osizione HOL ( ) q e' il numero medio di acchetti serviti er slot all'equilibrio deve essere uguale al flusso di acchetti in ingresso λ ( ) q λ Conservazione del flusso nel sistema HOL λ ρ q ρ ritmo di arrivo nella osizione HOL libera i acchetti ossono entrare solo nelle osizioni non bloccate allo slot recedente: M e' una variabile aleatoria che indica il numero di tali osizioni All'equilibrio E[M] ρ Νλ Code markoviane 8.3

14 EFFETTO HOL IN UN MULTIPLATORE Assunzioni: arrivi indiendenti e bernoulliani caratterizzati da λ indiendenza delle occuazioni HOL variabile aleatoria h numero di acchetti HOL con distribuzione Πh Si vuole calcolare la robabilita' q che un acchetto venga servito in modo da caratterizzare la coda geom/geom/ associata a ciascun ingresso Si consideri una articolare coda con acchetto HOL er la quale si vuole determinare q La robabilita' Πh che ci siano h acchetti HOL e' data dalla robabilita' che ce ne siano altri h- sui rimanenti N- ingressi N ( h N h ) er h N h Π h Se h L il acchetto viene servito con robabilita' altrimenti viene servito con robabilita' L/h assumendo di scegliere a caso L acchetti su h L N L q Πh + Π h q( ) h h L+ h Dalla legge di conservazione del flusso si ha inoltre q λ Dalla soluzione del sistema di due equazioni nelle due incognite q e si ottiene il valore di q che insieme a λ caratterizza la coda geom/geom/ Code markoviane 8.4

15 EFFETTO HOL IN UN COMMUTATORE A PACCHETTO Consideriamo un sistema a N ingressi ed N uscite. Ci sono due tii di acchetti HOL: acchetti bloccati allo slot recedente non hanno indirizzi indiendenti acchetti nuovi che fanno la rima richiesta di servizio hanno indirizzi indiendenti I metodo: consideriamo tutti i acchetti HOL indiendenti; il acchetto bloccato erde l'informazione dell'indirizzo e ne genera uno nuovo a caso suoniamo che ci siano h acchetti HOL la robabilita' che almeno un acchetto sia destinato a una articolare uscita e' - (-/N)h che raresenta anche il throughut er una uscita con H acchetti HOL calcoliamo il throughut medio N h N h N h ( ) e N h h ( ) alicando la formula del binomio di Newton e introducendo l'arossimazione esonenziale. imoniamo l'eguaglianza del throughut medio a λ all'equilibrio + loge(-λ) imoniamo la conservazione del flusso (-)qλ Code markoviane 8.5

16 CORRELAZIONE TRA I PACCHETTI HOL NEL COMMUTATORE II metodo: consideriamo i acchetti HOL correlati negli indirizzi Equazione dinamica er il numero di osizioni non bloccate M allo slot n M N - numero di osizioni bloccate al termine dello slot n - Nj numero di acchetti HOL con destinazione j nello slot n - ε(νj) min (,Nj) numero di acchetti consegnati all'uscita j nello slot n N M N - [ N ε( N )] j j j valore medio dell'equazione dinamica E[M]/N - E[Nj] + E[ε(Nj)] dove all'equilibrio il throughut er la destinazione j E[ε(Nj)] deve eguagliare λ alico la conservazione del flusso nel sistema HOL E[M] ρ Νλ eliminando E[M] dalle due relazioni si ottiene E[Nj] + λ(-/ρ) Code markoviane 8.6

17 EQUAZIONE DINAMICA DI Nj Nj ' Nj - ε[νj] + Aj dove Aj e' il numero di nuovi arrivi HOL agli M ingressi non bloccati Aj e' sostanzialmente indiendente da Nj se N e' grande valore medio dell'equazione dinamica dove E N j E A + j E A ( A ) j 2( E A j j E[Aj] λ E[Aj(Aj-)]λ2 assumendo Aj di tio oissoniano con valore medio e varianza ari a λ ( 2 λ) λ da cui E N j 2( λ) robabilita' che un acchetto HOL venga servito Nλ q NE N j 2( λ) 2 λ cioe' il raorto tra il numero totale di acchetti trasmessi e il numero di acchetti contendenti Code markoviane 8.7

18 CONDIZIONI DI SATURAZIONE Senza correlazione Si ha saturazione quando : in tal caso si ottiene il valore del massimo throughut con l'iotesi di acchetti indiendenti: λ-e-.632 Con correlazione Si ha saturazione quando il ritmo di arrivo al sistema HOL e' uguale ad ρ 2λ( λ) 2 2 2λ λ da cui si ottiene il massimo throughut con l'iotesi di correlazione tra acchetti HOL λ Code markoviane 8.8