Sezioni d urto. Prof. Sergio Petrera Università degli Studi dell Aquila. 11 giugno La regola d oro di Fermi e la sezione d urto di Born

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Felice Corradini
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1 Sezioni d urto Prof. Sergio Petrera Università degli Studi dell Aquila giugno 008 La regola d oro di Fermi e la sezione d urto di Born La regola d oro di Fermi si ricava in Meccanica Quantistica Non Relativistica (MQNR) dalla teoria delle erturbazioni diendenti dal temo: w i f = π M fi [ρ(e)] Ef. () ρ(e) è la densità degli stati finali. M fi viene detto elemento di matrice o amiezza di transizione e viene scritto, in modo formale oure nello sazio delle coordinate, come: M fi = f U(r) i = Ψ f U(r)Ψ id 3 r, essendo U(r) il otenziale di scattering. Scriviamo la reazione come m + M m + M. Sia m il roiettile (di massa m ed imulso ), M il bersaglio (di massa M ed imulso 0 ), assunto fermo (cioè 0 = 0). Doo l urto le masse rimangono risettivamente uguali, mentre gli imulsi saranno e 0. ogliamo calcolare la sezione durto nel caso che la massa del bersaglio sia molto grande, cioè ne limite M, in modo tale che il caso ossa trattarsi come quello di scattering da otenziale. In queste condizioni si ha: = = me, 0 = 0 = 0 cioè siamo nel caso di uno scattering elastico: cambia solo la direzione dell imulso iniziale, ma non il suo modulo. La sezione d urto è uguale alla robabilità di transizione er unità di temo () divisa er il flusso di articelle incidenti: = dw i f Φ [s ] [cm s ]. () Il flusso incidente è uguale al rodotto della densità di articelle nello stato iniziale (/ ) er la velocità della articella incidente: Φ = v = m.

2 dw i f è la robabilità di transizione, er unità di temo, er articelle diffuse in. Questa è data da: d N = (π ) 3 d. (3) Quindi: [ ] dρ = d N E f de f = Sostituendo questa esressione in () si ha: (π ) 3 m. = π M fi m m (π ) 3 = ( m ) = Mfi. π Nell arossimazione di Born delle onde iane, gli stati iniziale e finale rendono la forma: Ψ i = e i r, Ψ f = e i r. Indicando con q = l imulso trasferito, si ottiene la formula della sezione d urto di Born: ( m ) = π e i q r U(r)d 3 r. (4) La sezione d urto di Rutherford Come rimo esemio di rocesso elementare consideriamo la diffusione di una articella di carica ze, massa m, imulso e sin 0 da un otenziale coulombiano generato da una carica Ze, massa M e sin 0. Sia mc e M m. In queste condizioni è ossibile usare l esressione (4) er la sezione d urto, usando er il otenziale (N.B. si tratta di un energia otenziale): U(r) = U(r) = zze 4πǫ 0 r. (5) L amiezza di transizione: M fi = zze 4πǫ 0 e i q r r d3 r (6) risulta indefinita in quanto è l integrale di una funzione oscillante esteso all infinito. L integrale uò invece essere limitato considerando che, in realtà, il otenziale non si estende all infinito, ma è schermato dagli elettroni atomici. Pertanto il otenziale (5) viene riscritto come: U(r) = zze e µr 4πǫ 0 r, (7) dove il termine esonenziale raresenta la funzione di schermo con µ /R A, R A essendo il raggio atomico. Date le dimensioni in oggetto si ha che la funzione di schermo

3 risulta diversa da solo er distanze dell ordine o maggiori di quelle atomiche. Quindi l introduzione dello schermo non cambia l integrale all interno del raggio atomico, ma roduce un raido decadimento al di fuori. Con questo cambiamento l amiezza di transizione l integrale diventa (k = q/ ): i k r e µr e r d3 r = e ikrcosθe µr r r drdcosθdφ = = π ik Per imulsi trasferiti 0 [ e (µ ik)r e (µ+ik)r] dr = π ik q µ ( µ ik ) µ + ik = c 00 Me fm = ke/c R A R A c 0 5 fm c = 4π k + µ il termine µ uò essere trascurato e ertanto la sezione d urto diventa: ( m ) ( ) zze ( ) 4π ( ) zze ( ) m = =. (8) π 4πǫ 0 q 4πǫ 0 q Poiché sotto le iotesi fatte all inizio l imulso trasverso si uò semlicemente scrivere q = sin θ/, si ottiene infine: ( ) zze =. (9) 4πǫ 0 v 4sin 4 θ 3 La sezione d urto di Rutherford er una distribuzione estesa di carica Si consideri il caso di una distribuzione estesa di carica ρ(r). Sia ρ(r) normalizzata in modo che: ρ(r)d 3 r = Z e Il otenziale (7) uò allora essere riscritto nel seguente modo: U(r) = ze e µr ρ(r) 4πǫ 0 r R d3 R, dove l integrale è esteso a tutto lo sazio o, comunque, ad una regione in cui la densità è diversa da zero. L amiezza di transizione er una carica estesa si scrive allora: [M fi ] E = ze ρ(r) 4πǫ 0 r R e µr e i k r d 3 R d 3 r Suonendo che le dimensioni lineari dell estensione della carica siano iccole risetto a quelle definite dall inverso del arametro µ (cioè R N R A ) e definendo il vettore s = r R, si ha: e µr e i k r e µs e i k s e i k R. 3

4 Sostituendo si ottiene: [M fi ] E = ze 4πǫ 0 [ zze ] = e i k se µs d 3 s 4πǫ 0 s e i k se µs s [ Z e d 3 s ρ(r) e i k R d 3 R = ] ρ(r) e i k R d 3 R = [M fi ] P F, dove con [M fi ] P abbiamo indicato l amiezza di transizione definita dalla (6), cioè corrisondente ad una carica untiforme Ze. F come si vede è funzione dell angolo θ (che aare nel rodotto scalare k R), ma si usa comunemente scriverla come funzione di q. D altro canto abbiamo visto nel aragrafo recedente che esiste una relazione biunivoca tra q e θ, a definito imulso della articella incidente, tramite la q = sin θ Si ottiene ertanto il seguente risultato generale: [ ] [ ] = F(q ) E cioè la sezione d urto dovuta ad un otenziale la cui sorgente sia estesa è uguale a quella dovuta ad un otenziale con la stessa sorgente untiforme, moltilicata er il modulo quadro di una funzione (in generale) comlessa dell imulso trasferito quadro. Tale funzione è nota come fattore di forma ed è roorzionale alla trasformata di Fourier della distribuzione che descrive la sorgente estesa. Nel caso secifico trattato, quello del otenziale coulombiano in cui tale distribuzione è data dalla densità di carica, il fattore di forma elettrico è: F(q ) = Z e P (0) ρ(r) e i q r d 3 r () 4 La sezione d urto di Rutherford relativistica Consideriamo di nuovo il caso dello scattering da otenziale coulombiano untiforme, caso che ci ha ortato alla sezione d urto di Rutherford. Si noti erò che tale formula è stata ottenuta nel limite classico, cioè er v c. Lasciamo tutte le iotesi invariate (M fermo, con M m, e sin 0 er entrambe le articelle) articelle in oggetto). Assumiamo invece che la articella incidente abbia E mc, essendo questo il caso di maggiore interesse fisico negli eserimenti sulla struttura dei nuclei (as es. diffusione elastica di elettroni). Nel riferimento in cui M è inizialmente in quiete i quadrimulsi che raresentano il sistema sono, er lo stato iniziale: e er lo stato finale: P = {E, }, P 0 = {M,0} P = {E, }, P 0 = {E 0, 0} Si noti che abbiamo usato la convenzione c =. 4

5 La conservazione del quadrimulso si esrime: Il quadrimulso trasferito è definito come: P + P 0 = P + P 0 q = P P = P 0 P 0 e er le sue comonenti si usano le notazioni, q = {ν, q}, con ν = E E = E 0 M, q = = 0 q è il (3-)vettore imulso trasferito già incontrato nei recedenti aragrafi. La norma (modulo quadro) del quadrimulso trasferito è di tio sazio (sace-like) : q = P + P PP = m EE + EE ( cosθ) 4 sin θ () q uò anche essere calcolato in funzione delle variabili del nucleo bersaglio: q = P 0 + P 0 P 0P 0 = M ME 0 (3) Lo scattering è elastico quando E 0 M. In realtà E 0 è dato da: E 0 = M q M = M + ν (4) quindi lo scattering elastico si ha er ν 0. Uguagliando () e (3) si ha: da cui si ottiene: 4 sin θ = M(M E 0 ) = M(E E) M( ) = + (/M)sin θ/ che è la stessa relazione che si ottiene er l effetto Comton. Per calcolare la sezione d urto di Rutherford nel caso relativistico, basta ricalcolare la densità degli stati finali (l amiezza di transizione è la stessa calcolata nel caso non relativistico). Dalla (3) si ha: Ma, usando le (4) e (5): [ ] dρ = E f d. (π ) 3 de f (5) e quindi: E f = E + E 0 + M + sin θ/ M de f = + sin θ/ d M = 5

6 C è infine da osservare che se c non viene omesso (con c = ), aare nell ultima esressione, un ulteriore c a denominatore. Quindi, si ha er la sezione d urto (ultra-)relativistica di Rutherford (tra articelle di sin 0): = π M fi (π ) 3 c ( ) c = π ( ) zze ( ) 4π 4πǫ 0 q (π ) 3 c Si noti che nell esresione del flusso si è usata c er la velocità. Osservando che nel caso elastico si ha q = q, sostituendo la () nell esressione recedente, si ottiene infine: ( ) zze = 4πǫ 0 c 4sin 4 θ ( ( ). ). (6) 6

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