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1 Laboratorio di dati e sistemi multimediali Scienze e tecnologie Multimediale Prof. Christian Micheloni

2 Relazioni tra dati Si consideri un insieme di elementi generico O = o 1,, o n Potrebbe essere imossibile fornire una raresentazione a feature degli oggetti o k, k = 1,, n Al contrario è ossibile fornire una relazione tra coie di oggetti n n r 11 r 1n r = r n1 r nn R r ij si riferisce al grado di similarità, dissimilarità, comatibilità, imcomatibilità, distanza ecc.. Tra l oggetto o i e o j Laboratorio di dati e sistemi multimediali 2

3 Funzioni di Dissimilarità Una funzione d è detta di dissimilarità in R se er ogni x, y R d x, y = d y, x d x, y = 0 x = y d x, z d x, y + d y, z Da cui segue che d x, y 0 Laboratorio di dati e sistemi multimediali 3

4 Norma: Funzione di dissimilarità Una funzione : R R + è una norma se x = 0 x = 0,, 0 a x = a x a R, x R x y x + y x, y R Hyerbolic norm x h = x(i) Laboratorio di dati e sistemi multimediali 4

5 Norma rodotto scalare Una classe di norme molto oolare è quella basata sul rodotto scalare definita come x A = xax t A R La norma iù conosciuta è la norma euclidea x A = xax t A = Laboratorio di dati e sistemi multimediali 5

6 Lebesgue La norma di Lebesque è definita come x α = α x i α City Block x 1 = x(i) Euclidea x 2 = 2 x i 2 Laboratorio di dati e sistemi multimediali 6

7 Dissimilarità di Hamming La distana di Hamming è definita come d H x, y = ρ(x i, y(i) Dove ρ x, y = 1 se x = y 0 altrimenti Laboratorio di dati e sistemi multimediali 7

8 Misure di similarità Una funzione è detta essere una misura di similarità R se er ogni x, y R s x, y = s y, x s x, y s x, x s x, z s x, y + s y, z s x, y 0 Laboratorio di dati e sistemi multimediali 8

9 Dualità Similarità- Dissimilarità Qualsiasi funzione di dissimilarità uò essere utilizzata er definire una corrisondente funzione di similarità e vice versa s x, y = d x, y Laboratorio di dati e sistemi multimediali 9

10 PROBLEMA???? Funzioni di similarità Coseno s x, y = x i y(i) x i 2 y i 2 Overla Dice s x, y = s x, y = min x i y(i) x i 2, x i y(i) x i 2 + y i 2 y i 2 Laboratorio di dati e sistemi multimediali 10

11 Esercizio 1 Si scrivano delle funzioni in Matlab/Octave che calcolano le seguenti distanze Euclidea City Block Hamming Si utilizzino tali funzioni er calcolare la distanza tra i seguenti vettori (0,1,0,1,0,1,0,1) (1,0,1,0,1,0,1,0) (1,1,1,1,1,1,1,1) (0,0,0,0,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,0,1) (1,0,1,0,0,0,0,0) Laboratorio di dati e sistemi multimediali 11

12 Esercizio 2 Quale delle seguenti funzioni è di similarità o di dissimilarità 1. f x, y = 1 se x = y 0 altrimenti 2. f x, y = x y T x x T y y^t Laboratorio di dati e sistemi multimediali 12

13 Correlazione La correlazione quantifica la relazione tra diverse feature Identifica candidati di interesse Correlazione lineare Semlice, robusta e efficiente da calcolare Identifica solo diendenze lineari Correlazione non lineare Identificano diendenze non lineari Richiedono la definizioni di arametri Laboratorio di dati e sistemi multimediali 13

14 Correlazione Laboratorio di dati e sistemi multimediali 14

15 Correlazione Lineare Quantifica la relazione lineare tra diverse feature o misure. Dato un data set esresso da n vettori X R la covarianza C è calcolata come c ij = 1 n 1 n k=1(x k, i x(i))(x k, j x j ) = COV(x i, x j ) cij>>0 forse diendenza ositiva tra i e j cij<<0 forte diendenza negativa tra i e j cij==0 diendenza debole tra i e j Laboratorio di dati e sistemi multimediali 15

16 Indice di correlazione lineare L indice di correlazione lineare esrime la eventuale relazione di linearità tra due variabili aleatorie s ij = COV x i, x j VAR x i VAR x j s ij = n k=1(x k, i n ( k=1 (x k, i x(i))(x k, j x(i)) 2 x k, j x j ) x j 2 Laboratorio di dati e sistemi multimediali 16

17 Esercizio Scrivere una funzione matlab er il calcolo della covarianza tra due vettori Scrivere una funzione matlab er il calcolo dell indice di correlazione tra due vettori Scrivere una funzione matlab er il calcolo della matrice di covarianza del dataset IRIS Scrivere una funzione matlab er il calcolo dell indice di correlazione del dataset IRIS Laboratorio di dati e sistemi multimediali 17

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