Università ditrento Dip.diPsicologiaeScienzeCognitive

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1 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui A Università ditrento Dip.diPsicologiaeScienzeCognitive CdL in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Prima prova intermedia di Analisi Matematica A.A Rovereto, 30 Ottobre 2014 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 10 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. Èobbligatorioconsegnaresiailtesto,siatuttiifogliricevuti;al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso. a1) Siano dati gli insiemi A = { 3, 3} e B =] 3, 3]. Determinate l insieme A \ B. a2) Sia A = {x 2 R : x 2 4}. Dite quali delle seguenti a ermazioni sono vere e quali sono false: (i) mina = 2; (ii) ] 3, 2[2 P(A); (iii) A non è limitato ; (iv) non esiste maxa. a3) Scrivete la negazione della seguente proposizione: 8x 2 R,x 2 0. a4) Determinate almeno un a 2 R tale che l equazione ax 2 +2x 1 = 0 abbia una soluzione.

2 a5) Rappresentate graficamente E = {(x, y) 2 R 2 : x =2, y = x}. a6) Determinate il punto di intersezione della retta r di equazione y + x 1 = 0 con l asse y. a7) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme E delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti x 2 + y>0. a8) Risolvete in R la seguente disequazione x2 1 x 2 +1 apple 0. a9) Sia f :[ 2, 1]! R la funzione definita da f(x) =2x 2. Determinate l immagine di f. a10) Siano f,g: R! R le funzioni definite da 3x +1 sex<1 f(x) = p g(x) = x x se x 1 2. Determinate (f + g)( 2) e ( f g )(4).

3 b1) i) Scrivete la negazione della seguente proposizione A : 8x 2 R, 9y 2 Z : y = x + 2. ii) Dite (motivando la risposta) quale delle due proposizioni è vera e quale è falsa. b2) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti il seguente sistema di disequazioni 4x 2 + y 2 8x 4y +4apple 0 4(x 1) 2 + 4(y 3) 2 > 1. b3) i) Determinate i punti di intersezione della retta r di equazione y + x 1 = 0 con la circonferenza di equazione x 2 + y 2 2x 2y +1=0. ii) Determinate l equazione della retta r 0 perpendicolare alla retta r e passante per il punto P =(3, 1). iii) Rappresentate graficamente la retta r, la retta r 0 e la circonferenza. b4) Siano dati gli insiemi A e B definiti da A = {x 2 R :(x 2 9)(x 2) 2 < 0}, B = {x 2 R : 1 x 2 +1 > 1 2 }. i) Determinate A e B e rappresentateli sulla retta reale. Dite se sono intervalli. ii) Determinate gli insiemi A [ B e A \ B. iii) Dite se A è un insieme limitato. Determinate, se esiste, il minimo di B. iv) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A B. b5) Siano f :[ 8, 2]! R e g : R! R le funzioni definite da 8 < f(x) = 3 p x 1 se 8 apple x apple 1 p x 1 se 1 <xapple 2 g(x) = 1 (x 1) : 2 se x 2 R \{1} 0 se x =1. i) Rappresentate graficamente f e g. ii) Determinate l immagine di f. iii) Rappresentate graficamente la funzione inversa f 1 : f([ 8, 2])! [ 8, 2]. iv) Dite, motivando la risposta, se g è iniettiva. v) Rappresentate graficamente, nel suo dominio, la funzione x 7! f(x) + 1.

4 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui B Università ditrento Dip.diPsicologiaeScienzeCognitive CdL in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Prima prova intermedia di Analisi Matematica A.A Rovereto, 30 Ottobre 2014 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 10 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. Èobbligatorioconsegnaresiailtesto,siatuttiifogliricevuti;al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso. a1) Siano dati gli insiemi A =] 4, 3[ e B = { 3, 3}. Determinate l insieme A \ B. a2) Sia A = {x 2 R : x 2 2}. Dite quali delle seguenti a ermazioni sono vere e quali sono false: (i) non esiste maxa ; (ii) ] 3, 1[2 P(A); (iii) A non è limitato ; (iv) mina = 2. a3) Scrivete la negazione della seguente proposizione: 9x 2 R : x 2 > 0. a4) Determinate almeno un a 2 R tale che l equazione ax 2 +2x 1 = 0 non abbia nessuna soluzione.

5 a5) Rappresentate graficamente E = {(x, y) 2 R 2 : x =2, y = x}. a6) Determinate il punto di intersezione della retta r di equazione y + x + 4 = 0 con l asse x. a7) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme E delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti x 2 + y>0. a8) Risolvete in R la seguente disequazione x2 1 x 2 +1 > 0. a9) Sia f :[ 2, 3]! R la funzione definita da f(x) =x 2 1. Determinate l immagine di f. a10) Siano f,g: R! R le funzioni definite da 3x +2 sex<1 f(x) = p g(x) = x x se x 1 2. Determinate (f + g)( 3) e ( f g )(4).

6 b1) i) Scrivete la negazione della seguente proposizione A : 8x 2 R, 9y 2 N : y + x = 3. ii) Dite (motivando la risposta) quale delle due proposizioni è vera e quale è falsa. b2) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti il seguente sistema di disequazioni 4x 2 y 2 8x +4y 4 apple 0 4(x 1) 2 + 4(y + 3) 2 > 1. b3) i) Determinate i punti di intersezione della retta r di equazione y x + 1 = 0 con la circonferenza di equazione x 2 + y 2 2x +2y +1=0. ii) Determinate l equazione della retta r 0 perpendicolare alla retta r e passante per il punto P =(2, 1). iii) Rappresentate graficamente la retta r, la retta r 0 e la circonferenza. b4) Siano dati gli insiemi A e B definiti da A = {x 2 R : x 2 1 (x 2) 2 > 0}, B = {x 2 R : 1 x 2 +1 apple 1 5 }. i) Determinate A e B e rappresentateli sulla retta reale. Dite se sono intervalli. ii) Determinate gli insiemi A \ B e A \ B. iii) Dite se A è un insieme limitato. Determinate, se esiste, il minimo di B. iv) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A A. b5) Siano f :[ 5, 0]! R e g : R! R le funzioni definite da 8 8 < 3 se 5 apple x apple 2 < 1 f(x) = x 1 g(x) = (x + 1) : (x + 2) 2 : 3 se x 2 R \ { 1} +1 se 2 <xapple0 0 se x = 1. i) Rappresentate graficamente f e g. ii) Determinate l immagine di f. iii) Rappresentate graficamente la funzione inversa f 1 : f([ 5, 0])! [ 5, 0]. iv) Dite, motivando la risposta, se g è iniettiva. v) Rappresentate graficamente, nel suo dominio, la funzione x 7! f(x) + 1.

7 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui C Università ditrento Dip.diPsicologiaeScienzeCognitive CdL in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Prima prova intermedia di Analisi Matematica A.A Rovereto, 30 Ottobre 2014 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 10 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. Èobbligatorioconsegnaresiailtesto,siatuttiifogliricevuti;al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso. a1) Siano dati gli insiemi A =] 4, 3[ e B = { 3, 4}. Determinate l insieme A [ B. a2) Sia A = {x 2 R :4x 2 1}. Dite quali delle seguenti a ermazioni sono vere e quali sono false: (i) non esiste maxa ; (ii) ]0, 1 2 [2P(A); (iii) A è limitato ; (iv) mina = 1 2. a3) Scrivete la negazione della seguente proposizione: 9x 2 R : x 3 > 1. a4) Determinate almeno un a 2 R tale che l equazione ax 2 +4x 1 = 0 non abbia nessuna soluzione.

8 a5) Rappresentate graficamente E = {(x, y) 2 R 2 : x = 2, y = x}. a6) Determinate il punto di intersezione della retta r di equazione y + x + 3 = 0 con l asse x. a7) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme E delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti 2x + y > 0. a8) Risolvete in R la seguente disequazione x2 4 x 2 +1 < 0. a9) Sia f :[ 2, 1]! R la funzione definita da f(x) =x 3. Determinate l immagine di f. a10) Siano f,g: R! R le funzioni definite da 3x 1 se x<1 f(x) = p g(x) = x2 x se x 1 2. Determinate (f + g)( 2) e ( f g )(4).

9 b1) i) Scrivete la negazione della seguente proposizione A : 9x 2 Z : 8y 2 N,x y apple 3. ii) Dite (motivando la risposta) quale delle due proposizioni è vera e quale è falsa. b2) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti il seguente sistema di disequazioni 4x 2 + y 2 +8x 4y (x 2) 2 + 9(y + 3) 2 1. b3) i) Determinate i punti di intersezione della retta r di equazione y + x + 1 = 0 con la circonferenza di equazione x 2 + y 2 +2x +2y +1=0. ii) Determinate l equazione della retta r 0 perpendicolare alla retta r e passante per il punto P =(1, 4). iii) Rappresentate graficamente la retta r, la retta r 0 e la circonferenza. b4) Siano dati gli insiemi A e B definiti da A = {x 2 R : x 2 1 (x 3) 2 > 0}, B = {x 2 R : 1 x 2 +1 > 1 5 }. i) Determinate A e B e rappresentateli sulla retta reale. Dite se sono intervalli. ii) Determinate gli insiemi A \ B e A \ B. iii) Dite se A è un insieme limitato. Determinate, se esiste, il minimo di B. iv) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme B B. b5) Siano f :[ 5, 1]! R e g : R! R le funzioni definite da 8 8 < 2 se 5 apple x apple 1 < 1 f(x) = x 1 g(x) = (x 1) : (x + 1) 2 : 3 se x 2 R \{1} +1 se 1 <xapple1 0 se x =1. i) Rappresentate graficamente f e g. ii) Determinate l immagine di f. iii) Rappresentate graficamente la funzione inversa f 1 : f([ 5, 1])! [ 5, 1]. iv) Dite, motivando la risposta, se g è iniettiva. v) Rappresentate graficamente, nel suo dominio, la funzione x 7! f(x) + 1.

10 Cognome Nome Matricola Non scrivere qui D Università ditrento Dip.diPsicologiaeScienzeCognitive CdL in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Prima prova intermedia di Analisi Matematica A.A Rovereto, 30 Ottobre 2014 Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matricola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è di DUE ORE E MEZZA. IL SUPERAMENTO DEI PRIMI 10 ESERCIZI È CONDIZIONE NECESSARIA PERCHÈ LA SECONDA PARTE DEL COMPITO VENGA VALUTATA. Èobbligatorioconsegnaresiailtesto,siatuttiifogliricevuti;al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso. a1) Siano dati gli insiemi A =] 4, 3] e B = { 4, 3}. Determinate l insieme A \ B. a2) Sia A = {x 2 R : x 2 apple 2}. Dite quali delle seguenti a ermazioni sono vere e quali sono false: (i) non esiste maxa ; (ii) ]0, 2[2 P(A); (iii) A è limitato ; (iv) mina = 0. a3) Scrivete la negazione della seguente proposizione: 9x 2 R : x 3 > 0. a4) Determinate un a 2 R tale che l equazione ax 2 +2x = 0 abbia una soluzione positiva.

11 a5) Rappresentate graficamente E = {(x, y) 2 R 2 : x =1, y = 2x}. a6) Determinate il punto di intersezione della retta r di equazione y + x 4 = 0 con l asse y. a7) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme E delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti 2x + y > 0. a8) Risolvete in R la seguente disequazione x3 1 x 4 +1 > 0. a9) Sia f :[ 3, 1]! R la funzione definita da f(x) =x 2. Determinate l immagine di f. a10) Siano f,g: R! R le funzioni definite da 3x +2 sex<1 f(x) = p g(x) = x x se x 1 2. Determinate (f g)( 3) e ( g f )(4).

12 b1) i) Scrivete la negazione della seguente proposizione A : 8x 2 R, 9y 2 Z : y = x + 2. ii) Dite (motivando la risposta) quale delle due proposizioni è vera e quale è falsa. b2) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A delle coppie (x, y) 2 R 2 soddisfacenti il seguente sistema di disequazioni x 2 +4y 2 2x 16y (x 1) 2 (y 2) 2 < 4. b3) i) Determinate i punti di intersezione della retta r di equazione y x 1 = 0 con la circonferenza di equazione x 2 + y 2 +2x 2y +1=0. ii) Determinate l equazione della retta r 0 perpendicolare alla retta r e passante per il punto P =( 1, 4). iii) Rappresentate graficamente la retta r, la retta r 0 e la circonferenza. b4) Siano dati gli insiemi A e B definiti da A = {x 2 R :(x 2 4)(x 1) 2 < 0}, B = {x 2 R : 1 x }. i) Determinate A e B e rappresentateli sulla retta reale. Dite se sono intervalli. ii) Determinate gli insiemi A [ B e A \ B. iii) Dite se A è un insieme limitato. Determinate, se esiste, il minimo di B. iv) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano l insieme A B. b5) Siano f :[ 8, 2]! R e g : R! R le funzioni definite da 8 p 3 x +1 se 8 apple x apple 1 < 1 f(x) = p g(x) = (x 2) x 1 se 1 <xapple2 : 2 se x 2 R \{2} 3 se x =2. i) Rappresentate graficamente f e g. ii) Determinate l immagine di f. iii) Rappresentate graficamente la funzione inversa f 1 : f([ 8, 2])! [ 8, 2]. iv) Dite, motivando la risposta, se g è iniettiva. v) Rappresentate graficamente, nel suo dominio, la funzione x 7! f(x) + 1.