frequenzen i

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1 Esercizio 1 In unalocalitàbalnearesonostatiraccolti50 campionidi acquaper valutarela presenzadi un certoinquinante. La tabellariportailivellidi inquinante rilevati: classi x i frequenzen i (a) Fornire una rappresentazione grafica opportuna (b) Disegnare il box-plot (c) Calcolare moda e coefficiente di variazione Esercitazione 1 1

2 x i classi n i freq. assolute f i freq. relative a i ampiezza classi d i = f i / a i densità /50 = = /10 = /50 = = /30 = /50 = = /10 = (a) Istogramma Esercitazione 1 2

3 x i n i f i a i d i = f i / a i /50 = = /10 = /50 = = /30 = /50 = = /10 = Primo quartile F < =. La prima colonna dell istogramma ha area 0.32 e Q1 stacca un area di Quindi Q1 sta nella prima classe. Q1 : Q =0.25 Q1 20 = Q1= =27.8 Esercitazione 1 3

4 Oppure: Primo quartile x i n i f i a i N i freq. assoluta cumulata l i = n i / a i /10 = /10 = /10 = =50 4 =. 1= () + 4! " = Q1 =+..$ =27.8 Esercitazione 1 4

5 x i n i f i a i d i = f i / a i /50 = = /10 = /50 = = /30 = /50 = = /10 = Mediana F < = sta tra 0.32 e =0.80, quindi Q2 sta nella seconda classe: Q =0.50 Q2= =41.25 Q2 Esercitazione 1 5

6 Oppure: Mediana x i n i f i a i N i freq. assoluta cumulata l i densitàdi freq. assol /10 = /10 = /10 = =50 2 = Q2 2= () + =&+ $.' 2! " = =41.25 Esercitazione 1 6

7 x i n i f i a i d i = f i / a i /50 = = /10 = /50 = = /30 = /50 = = /10 = Terzo quartile F <& =.( 0.75 sta tra 0.32 e =0.80, quindi Q3 sta nella seconda classe: Q =0.75 Q3= =56.9 Q3 Esercitazione 1 7

8 Oppure: Terzo quartile x i n i f i a i N i freq. assoluta cumulata l i densitàdi freq. assol /10 = /10 = /10 = = =&(. 3= () + 3 4! " = Esercitazione 1 Q3 =&+ &(. $.' =56.9 8

9 Abbiamo calcolato: Baffi Q1 = 27.8 mediana= Q3 = 56.9 Serve il range interquartile: 1.5 x IQR = 1.5 x (Q3-Q1) = 1.5 x ( ) = Baffosuperiore= Q x IQR = = = 70 Baffoinferiore = Q1-1.5 x IQR = = = 20 I datiosservativarianoda 20 a 70. I valoricalcolatideibaffisonofuoridall intervallo20-70 deidati, quindiibaffisonopostiugualia 20 e 70. In talcasonon ci sonooutliers. Esercitazione 1 9

10 x i f i classi n i Frequenze relative a i d i punto medio m i classi (20+30)/2 = (30+60)/2 = (60+70)/2 = Media oppure =+,-.=/+ f i = 0 = =42.6 =+,-.= + =( )/50=42.6 Esercitazione 1 10

11 Baffo superiore = 70 Q3 = 56.9 Mediana = Q1 = 27.8 Baffo inferiore = 20 media=42.6 Non ci sono outliers Esercitazione 1 11

12 x i n i f i a i d i m i (c) Moda La classe modale èla classe a cui è associata la massima densità e la moda è il punto medio della classe modale. La massima densità è 0.032, quindi laclasse modale è da cui ABCD=5 Esercitazione 1 12

13 x i n i f i a i d i m i (c) Coefficiente di Variazione xj=media= CV= σ H xj = =0.33 σ K x =varianza= /+ 2 f i xj 2 = 0 = (42.6) 2 = = σ H =scarto quadratico medio= =14.2 Esercitazione 1 13

14 x i n i f i a i d i m i La varianza si può calcolare anche così: σ x K =varianza=/ + K f i = = ( ) ( ) = = oppure σ x K =varianza= / + K Esercitazione 1 n i /= = /50= =

15 QUIZ 1 Sia X unavariabilecon media Q R = 3 e varianza S R2 =2 Se T= U 9, allora: (a) S V2 = 7 (b) Q V = 12 (c) Q V = 6 (d) S V2 = 7 T= U 9= 1 U 9 X Y = 1 Q R 9= 1 3 9=3 9= $ Z Y = 1 2 S R 2 = 1 2 2=1 2= Esercitazione 1 15

16 Esercizio 2 Siano A e B eventi indipendenti con P(A)=0.2 e P(B)=0.1. Calcolare [ \ ^, [ \ ^ e [ \ ^. Eventiindipendenti [ \ ^ =[ \ [ ^ = =0.02 [ \ ^ =[ \ +[ ^ [ \ ^ = =0.28 [ \ ^ =[ \ =0.2 Esercizio 3 Siano A e B eventi incompatibili con P(A)=0.2 e P(B)=0.1. Calcolare [ \ ^, [ \ ^ e [ \ ^. Eventiincompatibili \ ^= b(\ ^)=0 [ \ ^ =[ \ +[ ^ [ \ ^ = =0.3 [ \ ^ = [(\ ^) [(^) = =0 16

17 QUIZ 2 SianoA e B due eventicon [ \ =0.4 e [ ^ =0.2 Quale affermazione è vera? (a)[ \ ^ =2 (c) [ \ ^ 0.6 (b)[ \ ^ =0 (d) [ \ ^ =0.08 Si sceglie(c) per esclusione: (a) Falso. La probabilitàè sempreun valoretra0 e 1 (b) Falso. Sarebbeverose A e B fosseroincompatibili, ma questo non è specificatoneltesto. Quindiin generale(b) è falso. (d) Falso. Sarebbeverose A e B fosseroindipendenti, ma questo non è specificatoneltesto. Quindiin generale(d) è falso. 17

18 QUIZ 2 SianoA e B due eventicon [ \ =0.4 e [ ^ =0.2 Quale affermazione è vera? (a)[ \ ^ =2 (c) [ \ ^ 0.6 (b)[ \ ^ =0 (d)[ \ ^ =0.08 Con le informazionidisponibili, cosasipuòdire di d e f e d e f? Sappiamoche [ \ ^ =[ \ +[ ^ [ \ ^, quindi [ \ ^ [ \ +[ ^ [ \ ^ =0.6 Sappiamosolo che [ \ ^ è inferioresiaa [(\)siaa [(^), quindi [ \ ^

19 Esercizio 4 Un urnacontiene50 palline, di cui 40 bianchee 10 nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? Ela probabilitàdi estrarneunanera? B = estrazionepallinabianca P(B) = 40/50 = 0.8 N = estrazionepallinanera P(N) = 1-P(B) = = 0.2 Si estraeunapallinae, dopoaverlarimessanell urna, se ne estraeuna seconda. Qual è la probabilità che siano entrambe nere? Estrazionicon reimmissione(indipendenti): stesse probabilità ad ogni estrazione Estrazione n.1 P(N1) = 0.2 Estrazione n.2 P(N2) = 0.2 P(N1 N2) = P(N1) x P(N2)= 0.2 x 0.2 =

20 Si estraggono10 pallinecon reimmissione. Calcolarela probabilitàdi estrarne esattamente 7 bianche. X = numero di palle bianche su 10 estrazioni con reimmissione X ha distribuzione Binomiale(n = 10, p = 0.8) [ U= = g 1 g i=0,1,2,,n Quindi si tratta di calcolare: [ U=7 = j 1 0.8!k j 20

21 d l=( = j 1 0.8!k j = = 10! 7! 10 7! 0.8j 0.2 n = = ( ) (1 2 3) 0.8 j 0.2 n = = x3x10 ( ) (1 2 3) = 1 1 =. La probabilità di pescare esattamente 7 palline bianche su 10 estrazioni con reimmissione è

22 Calcolare la probabilità approssimata che, estraendo con reinserimento 35 palline, al massimo6 sianonere. X = numerodi palleneresu35 estrazionicon reimmissione X ha distribuzione Binomiale(n = 35, p = 0.2) Quindi si tratterebbe di calcolare: [ U 6 =[ U=0 +[ U=1 +[ U=2 + +[ U=6 = = p qk no È laborioso! Si puòricorrereall approssimazionedelladistribuzionebinomialecon la distribuzione Normale? l~fstuvswxy t,z = l tz tz( z) ~ }u~vwxy, qualora &,,. 22

23 Si può perché per n=35 e p=0.2 risulta t=& 30 tz=35 0.2=( 5, t z = =' 5 Quindi si applica questa approssimazione: l~fstuvswxy t,z = l tz tz( z) ~ }u~vwxy, tz=( tz( z)= = 5.6=.&( d l $ =[ =[ 0.42 =.&ƒ 23

24 area tratteggiata [ 0.42 [ 0.42 =.&ƒ =.ƒ Iacus Statistica, pag

25 Si estraggono3 pallinedistintedall urna. Calcolarela probabilitàchela prima sianerae le altrebianche. Palline distinte Estrazioni senza reinserimento (dipendenti) d } f f& =[ 1 [ ^2 1 [ ^3 1 ^2 =? Estrazionen.1 50 palline = 40 bianche + 10 nere P(N1)= 10/50 = 0.20 Estrazionen.2 49 palline = 40 bianche + 9nere P(B2 N1)= 40/49 = 0.82 Estrazionen.3 48 palline = 39 bianche + 9nere P(B3 N1 B2)= 39/48 = 0.81 d } f f& =[ 1 [ ^2 1 [ ^3 1 ^2 = = =. 25

26 QUIZ 3 Il carattere X associa ogni animale vertebrato ad una delle seguenti modalità: pesci, anfibi, rettili, uccelli, e mammiferi. Si trattadi un carattere: (a) quantitativo discreto (b) qualitativo/categorico nominale (c) quantitativo continuo (d) qualitativo ordinale È possibile calcolare: (a) la mediana (b) il terzo quartile (c) la moda (d) la varianza In talcaso, la rappresentazionegraficapiùopportunaè : (a) ildiagrammaa bastoncini/ aste/ barre (b) il box-plot (c) ildiagrammaa torta (d) l istogramma 26

27 Esercizio 5 Il direttore del personale di una azienda esegue un indagine sulla disponibilità dei dipendenti a turni di lavoro domenicali con i seguenti risultati: (a) Di che tipo è il carattere X? Fornire una rappresentazione grafica opportuna. X = x i grado di disponibilità n i Poco favorevole 3 Abbastanza favorevole 5 Favorevole 6 Molto favorevole 4 Estremamente favorevole

28 X=x i grado di disponibilità n i Poco favorevole 3 Abbastanza favorevole 5 Favorevole 6 Molto favorevole 4 Estremamente favorevole 2 20 X è un carattere qualitativoordinale(o categorico ordinale) Si rappresentacon un diagramma ad aste/bastoncini/barre n i X 28

29 (b) Calcolare moda, mediana, primo e terzo quartile. X=x i n i Poco fav. 3 Abbastanza fav. 5 Favorevole 6 Molto fav. 4 Estremamente fav La modaè la risposta (modalità) più frequente: Moda = Favorevole 29

30 (b) Calcolare moda, mediana, primo e terzo quartile. X=x i n i n i cumulato Poco fav. 3 3 Abbastanza fav. 5 8 Favorevole 6 14 Molto fav Estremamente fav La modaè la risposta (modalità) più frequente: Moda = Favorevole Nell elenco ordinato delle risposte: la medianaè la rispostain posizione (n+1)/2 = (20+1)/2 = 10.5 Mediana = Favorevole La colonnadellefrequenzeassolutecumulate siinterpretacosì: nell elencoordinatodeidati, le prime 3 personehannorisposto pocofav. le persone dalla posizione 4 alla 8 hanno risposto abbastanza fav. le personedallaposizione9 alla14 hannorisposto favorevole etc Quindi la posizione cercata 10.5 (tra 10 e 11) corrisponde a favorevole 30

31 QUIZ 4 Se un fenomeno è qualitativo ordinale, è possibile calcolare: (a) solo la moda (b) la media (c) moda, mediana, primo e terzo quartile (d) la varianza La mediana è: QUIZ 5 (a) la modalità più frequente (b) il secondo quartile (c) la modalità con maggior densità (d) maggiore della media 31

32 Esercizio 6 (Es pag.30) E' noto che solo due virus A e B possono provocare una certa patologia P. I due virus non possono convivere nello stesso organismo. Il virus A e'presente nella popolazione nel 30% dei casi, il virus B nel 70% dei casi. La probabilita'che si sviluppi la patologia Pa seguito di infezione da virus A e'2%, mentre per il virus B e'del 10%. Con quale probabilita': (a) preso a caso un individuo dalla popolazione degli infetti, l'individuo sviluppa la patologia P? (b) sapendo che l'individuo infetto ha sviluppato la patologia P, risulta infettato dal virus A? A = individuocon virus A [ \ =0.30 B = individuocon virus B P ^ =0.70 C = individuosenzavirus A, B P C =? A, B, C sonoeventiincompatibilitaliche\ ^ =ˆ: [ \ +[ ^ +[ = [ =1 [ =0 32

33 Esercizio 6 (Es pag.30) E' noto che solo due virus A e B possono provocare una certa patologia P. I due virus non possono convivere nello stesso organismo. Il virus A e'presente nella popolazione nel 30% dei casi, il virus B nel 70% dei casi. La probabilita'che si sviluppi la patologia Pa seguito di infezione da virus A e'2%, mentre per il virus B e'del 10%. Con quale probabilità : (a) preso a caso un individuo dalla popolazione degli infetti, l'individuo sviluppa la patologia P? (b) sapendo che l'individuo infetto ha sviluppato la patologia P, risulta infettato dal virus A? A = individuocon virus A [ \ =0.30 B = individuocon virus B P ^ =0.70 M = individuomalato [ \ =0.02 S = individuosano [ ^ =0.10 DOMANDA (a) [ =? 33

34 A = individuocon virus A [ \ =0.30 B = individuocon virus B P ^ =0.70 M = individuomalato [ \ =0.02 S = individuosano [ ^ =0.10 DOMANDA (a) [ =? Si applica il principio delle probabilità totali [ =[ \ [ \ +[ ^ [ ^ = = =0.076 Preso a caso un individuo dalla popolazione degli infetti, l'individuo sviluppa la patologia P con probabilità 7.6% 34

35 Esercizio 6 (Es pag.30) E' noto che solo due virus A e B possono provocare una certa patologia P. I due virus non possono convivere nello stesso organismo. Il virus A e'presente nella popolazione nel 30% dei casi, il virus B nel 70% dei casi. La probabilita'che si sviluppi la patologia Pa seguito di infezione da virus A e'2%, mentre per il virus B e'del 10%. Con quale probabilità, (a) preso a caso un individuo dalla popolazione degli infetti, l'individuo sviluppa la patologia P? (b) sapendo che l'individuo infetto ha sviluppato la patologia P, risulta infettato dal virus A? A = individuocon virus A [ \ =0.30 B = individuocon virus B P ^ =0.70 M = individuomalato [ \ =0.02 S = individuosano [ ^ =0.10 [ =0.076 DOMANDA (b) [ \ =? 35

36 A = individuocon virus A [ \ =0.30 B = individuocon virus B P ^ =0.70 M = individuomalato [ \ =0.02 S = individuosano [ ^ =0.10 [ =0.076 DOMANDA (b) [ \ =? Dal teorema di Bayes [ \ = [ \ [(\) [( ) = =0.079 La probabilitàche un individuo risulti infetto da virus A, sapendo che è malato, è pari al 7.9% 36

37 QUIZ 6 Una variabilealeatoriax ha distribuzionebinomialecon parametrin=7 e p=0.25 Il valoredi [(U=5)è (a) (b) 0.01 (c) 2.82 (d) 0.18 X ha distribuzionebinomiale( n = 7, p = 0.25 ) [ U= = g 1 g i=0,1,2,,n Quindi si tratta di calcolare: [ U=5 = o j o 37

38 d l= = o j o = = 7! 5! 7 5! 0.25o 0.75 K = = ( ) (1 2) = 1 3 x 7 = ( ) (1 2) = 1 1 = =. 38

39 Esercizio 7 La roulette ha 18 numeri neri, 18 numeri rossi, il numero 0 che fa vincere il banco. (a) In una partita il giocatore punta tutto sul rosso. Qual è la probabilità che il giocatore perda? X = esitodi unapuntata=š 1, Œ, 0, g,ž-, X ha distribuzione Bernoulli (p) dove p è la probabilità di vincere. g=[ U=1 = = g=[ U=0 =1 0.49=0.51 La probabilità che il giocatore perda è parial 51% 39

40 Esercizio 7 La roulette ha 18 numeri neri, 18 numeri rossi, il numero 0 che fa vincere il banco. (b) Si supponga che il giocatore punti 6 volte di seguito sul rosso. Con quale probabilità il giocatore perde tutte le puntate? Siano U!, U K, U n, U, U o, U p gliesitidelle6 puntate. variabili indipendenti con ugual distribuzione Bernoulli ( p=0.49 ) [ U! =0 U K =0 U n =0 U =0 U o =0 U p =0 = =[ 0) [(0 [(0) [(0) [(0) [(0)= =(1 g) p =0.51 p = La probabilità che il giocatore perda 6 volte su 6 è paria 1.76% 40

41 Esercizio 7 La roulette ha 18 numeri neri, 18 numeri rossi, il numero 0 che fa vincere il banco. (b) Si supponga che il giocatore punti 6 volte di seguito sul rosso. Con quale probabilità il giocatore perde tutte le puntate? Altra possibile soluzione Sia T=U! + U K + U n + U + U o + U p = numerodi vincitesu6 giocate Y ha distribuzione Binomiale(n=6, p=0.49) [ T=0 = k p k = Si ricordache!= e.ƒ = 41

42 Esercizio 7 La roulette ha 18 numeri neri, 18 numeri rossi, il numero 0 che fa vincere il banco. (b) Si supponga che il giocatore punti 6 volte di seguito sul rosso. Qualèla probabilità che il giocatore vinca una sola volta? T=U! + U K + U n + U + U o + U p = numerodi vincitesu6 giocate Y ha distribuzione Binomiale(n=6, p=0.49) Si ricordache!= [ T=1 = ! p! =0.10 La probabilità che il giocatore vinca una sola volta su 6 è paria 10% 42

43 QUIZ 7 La variabilex ha distribuzionenormalecon media 3 e varianza5. Il valoredi [(U 5)è paria : (a) 0.6 (c) -2 (b) maggioreo ugualea 0.5 (d) minoredi 0.5 Area = Probabilità Area totalesottostantetuttala curva= Probabilità1 3 43

44 QUIZ 7 La variabilex ha distribuzionenormalecon media 3 e varianza5. Il valoredi [(U 5)è paria : (a) 0.6 (c) -2 (b) maggioreo ugualea 0.5 (d) minoredi 0.5 Area = Probabilità Area totalesottostantetuttala curva= Probabilità1 Area sottostantela curvaa destradi 3 = [ U 3 =. [(U 3) area tratteggiata [(U 3) area bianca 3 44

45 QUIZ 7 La variabilex ha distribuzionenormalecon media 3 e varianza5. Il valoredi [(U 5)è paria : (a) 0.6 (c) -2 (b) maggioreo ugualea 0.5 (d) minoredi 0.5 Area = Probabilità Area totalesottostantetuttala curva= Probabilità1 Area sottostantela curvaa destradi 3 = [ U 3 =. Area sottostantela curvaa destradi 5 = [ U 5 <. [(U 5) area tratteggiata [(U 5) area bianca

46 QUIZ 7 La variabilex ha distribuzionenormalecon media 3 e varianza5. Il valoredi [(U 5)è paria : (a) 0.6 (c) -2 (b) maggioreo ugualea 0.5 (d) minoredi 0.5 Abbiamo capito che [ U 5 <., quindiescludiamo(a) e (b) Escludiamoanche(c) perchéla probabilitàè un numerotra0 e 1 [(U 5) area tratteggiata [(U 5) area bianca